江苏省高等数学竞赛题(本科一级)

2008年江苏省高等数学竞赛题（本科一级）
一．填空题（每题5分，共40分）
1.a = ，b = 时，2lim arctan 2
x ax x x bx x p +=-- 2. a = ，b = 时()ln(1)1x f x ax bx =-+
+在0x ®时关于x 的无穷小的阶数最高。

3.242
0sin cos x xdx p =ò 4.通过点()1,1,1-与直线,2,2x t y z t ===+的平面方程为
5.设222,x z x y =-则(2,1)n n z y ¶¶=
6.设D 为,0,1y x x y ===围成区域，则arctan D
ydxdy =蝌
7.设G 为222(0)x y x y +=?上从(0,0)O 到(2,0)A 的一段弧，则()()x x ye x dx e xy dy G ++-ò=
8.幂级数1
n n nx ¥
=å的和函数为 ，收敛域为 。

二．（8分）设数列{}n x
为122,1,2,)n x x x n +====L L 证明：数列{}n x 收敛，并求其极限
三．（8分）设()f x 在[],a b 上具有连续的导数，求证/1
max ()()()b b a x b a a f x f x dx f x dx b a ＃?-蝌
四．（8分）1）证明曲面:(cos )cos ,sin ,(cos )sin x b a y a z b a q j q q j S =+==+ ()02,02q p j p ＃＃()0a b <<为旋转曲面
2）求旋转曲面S 所围成立体的体积
五．（10分）函数(,)u x y 具有连续的二阶偏导数，算子A 定义为
(),u u A u x y x y
抖=+抖 1）求(())A u A u -；2)利用结论1）以,y x y x
x h =
=-为新的自变量改变方程222222220u u u x xy y x x y y 抖?++=抖抖的形式 六．（8分）求26001lim sin()t t x t dx xy dy t +®蝌
七．（9分）设222:1(0)x y z z S ++=?的外侧，连续函数 222(,)2()()()((,)2)z z z f x y x y x z e dydz y z e dzdx zf x y e dxdy S
=-+
++++-蝌 求(,)f x y 八．（9分）求23(3)()(1)(13)
x x f x x x -=--的关于x 的幂级数展开式。