2020-2021无锡市滨湖中学高中必修二数学下期末第一次模拟试卷及答案

2020-2021无锡市滨湖中学高中必修二数学下期末第一次模拟试卷及答案
一、选择题
1．已知集合{
}
2
20A x x x =-->，则A =R ð
A ．{}
12x x -<<
B ．{}
12x x -≤≤ C ．}{}{|12x x x x <-⋃
D ．}{}{
|1|2x x x x ≤-⋃≥
2．某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A ．
73 B ．
8π
3
- C ．8
3
D ．
7π
3- 3．已知D ，E 是ABC V 边BC 的三等分点，点P 在线段DE 上，若AP xAB yAC =+u u u r u u u r u u u r
，则
xy 的取值范围是( ) A ．14,99
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
B ．11,94
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
C ．21,92
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
D ．21,94
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
4．在ABC V 中，角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，且B 为锐角，若
sin 5sin 2A c
B b
=，7sin B =
，57ABC S =△b =（ ） A ．3B ．7
C 15
D 145．《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有这样一道题目：把100个面包分给5个人，使每个人所得成等差数列，且使较大的三份之和的1
7
是较小的两份之和，则最小的一份为（ ）
A ．
5
3
B ．
103
C ．
56
D ．
116
6．C ∆AB 是边长为2的等边三角形，已知向量a r ，b r 满足2a AB =u u u r r ，C 2a b A =+u u u r r r ，则
下列结论正确的是（ ）
A ．1b =r
B ．a b ⊥r r
C ．1a b ⋅=r r
D ．()
4C a b +⊥B u u u r r r
7．设样本数据1210,,,x x x L 的均值和方差分别为1和4，若(i i y x a a =+为非零常数，
1,2,,10)i =L ，则1210,,,y y y L 的均值和方差分别为（ ）
A ．1,4a +
B ．1,4a a ++
C ．1,4
D ．1,4a +
8．若函数()sin cos f x x x ωω=-(0)>ω在,22ππ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
上单调递增，则ω的取值不可能为
（ ） A ．
14
B ．
15
C ．
12
D ．
34
9．函数2
ln ||y x x =+的图象大致为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
10．函数()lg ||f x x x =的图象可能是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
11．在正三棱柱111ABC A B C -中，侧棱长为2，底面三角形的边长为1，则1BC 与侧面
1ACC A 所成角的大小为（ ）
A ．30o
B ．45o
C ．60o
D ．90o
12．在ABC ∆中，根据下列条件解三角形，其中有一解的是（ ） A ．7a =，3b =，30B =o B ．6b =，52c =，45B =o C ．10a =，15b =，120A =o D ．6b =，63c =，60C =o
二、填空题
13．已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为____.
14．函数sin 23cos 2y x x =-的图象可由函数sin 23cos 2y x x =+的图象至少向右平移_______个长度单位得到。

15．函数()2
sin sin 3f x x x =+-的最小值为________.
16．如图，在矩形中，为边
的中点，1AB =，2BC =，分别以A 、D 为
圆心，1为半径作圆弧EB 、EC （在线段AD 上）.由两圆弧EB 、EC 及边
所围成
的平面图形绕直线
旋转一周，则所形成的几何体的体积为 .
17．在圆x 2＋y 2
＋2x ＋4y －3＝0上且到直线x ＋y ＋1＝0的距离为2的点共有________个．
18．在ABC ∆中，120B =o ，1BC =，且ABC ∆的面积为3
，则AC =__________． 19．设0x >，0y >，24x y +=，则
(1)(21)
x y xy
++的最小值为__________.
20．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点E 是棱1CC 上的一个动点，平面1BED 交棱
1AA 于点F ．下列命题正确的为_______________.
①存在点E ，使得11A C //平面1BED F ； ②对于任意的点E ，平面11AC D ⊥平面1BED F ；
③存在点E ，使得1B D ⊥平面1BED F ；
④对于任意的点E ，四棱锥11B BED F -的体积均不变．
三、解答题
21．为了解某地区某种产品的年产量x （单位：吨）对价格y （单位：千元/吨）和利润z 的影响，对近五年该农产品的年产量和价格统计如下表：
（1）求y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆy
bx a =+； （2）若每吨该农产品的成本为2千元，假设该农产品可全部卖出，预测当年产量为多少时，年利润z 取到最大值？（保留两位小数）
参考公式：1
2
1
()()()
ˆn
i
i
i n
i i x x y y b
x x ==--=-∑∑122
1
n
i i
i n
i
i x y nxy
x
nx ==-=
-∑∑ ，
^^y x a b
=- 22．从甲、乙两名学生中选拔一人参加射箭比赛，为此需要对他们的射箭水平进行测试．现这两名学生在相同条件下各射箭10次，命中的环数如下： 甲 8 9 7 9 7 6 10 10 8 6 乙
10
9
8
6
8
7
9
7
8
8
(1)计算甲、乙两人射箭命中环数的平均数和标准差； (2)比较两个人的成绩，然后决定选择哪名学生参加射箭比赛． 23．已知满足
(1)求的取值范围； (2)求函数
的值域．
24．已知数列{}n a 是等比数列，24a =，32a +是2a 和4a 的等差中项. （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）设22log 1n n b a =-，求数列{}n n a b 的前n 项和n T .
25．某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动.参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数.设两次记录的数分别为x ，y.奖励规则如下：
①若3xy ≤，则奖励玩具一个； ②若8xy ≥，则奖励水杯一个； ③其余情况奖励饮料一瓶.
假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀.小亮准备参加此项活动. （Ⅰ）求小亮获得玩具的概率；
（Ⅱ）请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由.
26．如图，在等腰直角OPQ ∆中，0
90POQ ∠=，22OP =，点M 在线段PQ 上.
(Ⅰ) 若5OM =PM 的长；
（Ⅱ）若点N 在线段MQ 上，且030MON ∠=，问：当POM ∠取何值时，OMN ∆的面积最小？并求出面积的最小值.
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．B 解析：B 【解析】
分析：首先利用一元二次不等式的解法，求出220x x -->的解集，从而求得集合A ，之后根据集合补集中元素的特征，求得结果. 详解：解不等式220x x -->得12x x -或， 所以{}
|12A x x x =<->或，
所以可以求得{}|12R C A x x =-≤≤，故选B.
点睛：该题考查的是有关一元二次不等式的解法以及集合的补集的求解问题，在解题的过程中，需要明确一元二次不等式的解集的形式以及补集中元素的特征，从而求得结果.
2．B
解析：B 【解析】 【分析】
由三视图可知，该几何体是由一个四棱锥挖掉半个圆锥所得，故利用棱锥的体积减去半个圆锥的体积，就可求得几何体的体积. 【详解】
由三视图可知，该几何体是由一个四棱锥挖掉半个圆锥所得，故其体积为
21118222123233π
π-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅=
.故选B. 【点睛】
本小题主要考查由三视图判断几何体的结构，考查不规则几何体体积的求解方法，属于基础题.
3．D
解析：D 【解析】 【分析】
利用已知条件推出x +y ＝1，然后利用x ，y 的范围，利用基本不等式求解xy 的最值． 【详解】
解：D ，E 是ABC V 边BC 的三等分点，点P 在线段DE 上，若AP xAB yAC =+u u u r u u u r u u u r
，可得
x y 1+=，x ，12y ,33⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
，
则2x y 1xy ()24+≤=，当且仅当1
x y 2
==时取等号，并且()2xy x 1x x x =-=-，函数的开口向下，
对称轴为：1x 2=
，当1x 3=或2x 3=时，取最小值，xy 的最小值为：2
9
．则xy 的取值范围是：21,.94⎡⎤⎢⎥⎣⎦
故选D ． 【点睛】
本题考查函数的最值的求法，基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力．
4．D
解析：D 【解析】 【分析】
利用正弦定理化简sin5
sin2
A c
B b
=，再利用三角形面积公式，即可得到,a c
，由
sin
4
B=，求得cos B，最后利用余弦定理即可得到答案．
【详解】
由于
sin5
sin2
A c
B b
=，有正弦定理可得：
5
2
a c
b b
=，即
5
2
a c
=
由于在ABC
V
中，sin
4
B=
，
4
ABC
S=
△
1
sin
24
ABC
S ac B
==
V
，
联立
5
2
1
sin
24
sin
a c
ac B
B
⎧
=
⎪
⎪
⎪
=
⎨
⎪
⎪
=
⎪
⎩
，解得：5
a=，2
c=
由于B
为锐角，且sin B=
，所以
3
cos
4
B==
所以在ABC
V中，由余弦定理可得：2222cos14
b a
c ac B
=+-=
，故b=（负数舍去）
故答案选D
【点睛】
本题考查正弦定理，余弦定理，以及面积公式在三角形求边长中的应用，属于中档题．5．A
解析：A
【解析】
【分析】
设5人分到的面包数量从小到大记为{}n a，设公差为d，可得34512
7()
a a a a a
++=+，5
100
S=，求出
3
a，根据等差数列的通项公式，得到关于d关系式，即可求出结论.
【详解】
设5人分到的面包数量从小到大记为{}n a，设公差为d，
依题意可得，15
53
5()
5100
2
a a
S a
+
===，
334512
20,7()
a a a a a a
∴=++=+，
6037(403)
d d
∴+=-，解得
55
6
d=，
13
555
220
33
a a d
∴=-=-=.
【点睛】
本题以数学文化为背景，考查等差数列的前n 项和、通项公式基本量的计算，等差数列的性质应用是解题的关键，属于中档题.
6．D
解析：D 【解析】
试题分析：2,2AB a AC a b ==+u u u r u u u r r Q r
r ,AC AB b ∴=+u u u r u u u r r ,b AC AB BC ∴=-=u u u r u u u r u u u r r ．
由题意知12,cos1201212b a b a b ⎛⎫=⋅=⋅=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭
o
r r r r r ．
()()
2422a b BC AB BC BC AB BC BC
∴+⋅=+⋅=⋅+u u u
r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r r r 2
12cos1202222402AB BC ⎛⎫=⋅+=⨯⨯⨯-+= ⎪⎝⎭
o u u u r u u u r ．()
4a b BC ∴+⊥u u u r r r ．故D 正确．
考点：1向量的加减法；2向量的数量积；3向量垂直．
7．A
解析：A 【解析】
试题分析：因为样本数据1210,,,x x x L 的平均数是1,所以1210,,...y y y 的平均数是
121012101210
.........1101010y y y x a x a x a x x x a a ++++++++++++==+=+；根据
i i y x a =+（a 为非零常数，1,2,,10i =L ），以及数据1210,,,x x x L 的方差为4可知数
据1210,,,y y y L 的方差为2144⨯=，综上故选A. 考点：样本数据的方差和平均数．
8．D
解析：D 【解析】
∵()sin cos (0)4f x x x x πωωωω⎛
⎫=-=-> ⎪⎝
⎭
∴令22,2
4
2
k x k k Z π
π
π
πωπ-
+≤-
≤+
∈，即232,44k k x k Z ππππ
ωωωω
-
+≤≤+∈ ∵()sin cos (0)f x x x ωωω=->在,22
ππ⎛⎫
- ⎪⎝
⎭
上单调递增
∴42ππω-
≤-且342
ππω≥ ∴1
02
ω<≤
故选D.
解析：A 【解析】 【分析】
先确定函数定义域，再确定函数奇偶性，最后根据值域确定大致图像。

【详解】
由题函数定义域为0x ≠，2
2
()()ln ||ln ||()f x x x x x f x -=-+-=+=，函数为偶函数，图像关于y 轴对称，B,C 选项不符合，当0x →时，y →-∞，则函数图像大致为A 选项所示. 故选：A 【点睛】
此类题目通常根据函数的定义域，周期性，奇偶性以及值域和特殊点等来判断大致图像。

10．D
解析：D 【解析】 【分析】
分析函数()y f x =的定义域、奇偶性及其在()0,1上的函数值符号，可得出结论. 【详解】
函数()lg f x x x =的定义域为{}
0x x ≠，定义域关于原点对称，
()()lg lg f x x x x x f x -=--=-=-，函数()y f x =为奇函数，排除A 、C 选项；
当01x <<时，lg 0x <，此时()lg 0f x x x =<，排除B 选项. 故选：D. 【点睛】
本题考查由函数的解析式选择函数图象，一般分析函数的定义域、奇偶性、单调性、零点以及函数值符号，考查推理能力，属于中等题.
11．A
解析：A 【解析】 【分析】
由题意，取AC 的中点O ，连结1,BO C O ，求得1BC O ∠是1BC 与侧面11ACC A 所成的角，在1BC O ∆中，即可求解． 【详解】
由题意，取AC 的中点O ，连结1,BO C O ,
因为正三棱柱111ABC A B C -，底面三角形的边长为1， 所以1,BO AC BO AA ⊥⊥，
因为1AC AA A ⋂=，所以BO ⊥平面11ACC A ， 所以1BC O ∠是1BC 与侧面11ACC A 所成的角， 因为22211313
1(),(2)()222
BO C O =-=
=+=， 所以1133
2tan 332
BO BC O OC ∠===
， 所以0
130BC O ∠=，1BC 与侧面11ACC A 所成的角030．
【点睛】
本题主要考查了直线与平面所成的角的求解，其中解答中空间几何体的线面位置关系，得到1BC O ∠是1BC 与侧面11ACC A 所成的角是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，以及转化与化归思想，属于中档试题．
12．D
解析：D 【解析】 【分析】
根据三角形解的个数的判断条件得出各选项中对应的ABC ∆解的个数，于此可得出正确选项. 【详解】
对于A 选项，17
sin 722
a B =⨯
=，sin a B b ∴>，此时，ABC ∆无解； 对于B 选项，2
sin 5252
c B ==，sin c B b c ∴<<，此时，ABC ∆有两解； 对于C 选项，120A =o Q ，则A 为最大角，由于a b <，此时，ABC ∆无解； 对于D 选项，60C =o Q ，且c b >，此时，ABC ∆有且只有一解.故选D. 【点睛】
本题考查三角形解的个数的判断，解题时要熟悉三角形个数的判断条件，考查推理能力，属于中等题.
二、填空题
13．【解析】设正方体边长为则外接球直径为【考点】球【名师点睛】求多面体的外接球的面积和体积问题常用方法有（1）三条棱两两互相垂直时可恢复为长方体利用长方体的体对角线为外接球的直径求出球的半径；（2）直棱 解析：
92
π 【解析】
设正方体边长为a ，则226183a a =⇒= ，
外接球直径为34427923,πππ3382
R V R ====⨯=. 【考点】 球
【名师点睛】求多面体的外接球的面积和体积问题常用方法有（1）三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；（2）直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行，借助球的对称性，球心为上下底面外接圆的圆心连线的中点，再根据勾股定理求球的半径；（3）如果设计几何体有两个面相交，可过两个面的外心分别作两个面的垂线，垂线的交点为几何体的球心，本题就是第三种方法.
14．【解析】【分析】利用两角和与差的正弦函数化简两个函数的表达式为同名函数然后利用左加右减的原则确定平移的方向与单位【详解】分别把两个函数解析式化简为：可知只需把函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图 解析：3
π
【解析】 【分析】
利用两角和与差的正弦函数化简两个函数的表达式为同名函数，然后利用左加右减的原则确定平移的方向与单位. 【详解】
分别把两个函数解析式化简为：
sin 222sin(2)3
y x x x π
==+，
sin 222sin(2)2sin[2()]333
y x x x x πππ
==-=-+，
可知只需把函数sin 22y x x =+的图象向右平移3
π
个单位长度，
得到函数sin 22y x x =的图象， 故答案是：3
π. 【点睛】
该题考查的是有关函数图象的平移变换的问题，在解题的过程中，注意正确化简函数解析式，把握住平移的原则是左加右减，以及自变量本身的变化量.
15．【解析】【分析】利用换元法令然后利用配方法求其最小值【详解】令则
当时函数有最小值故答案为【点睛】求与三角函数有关的最值常用方法有以下几种：①化成的形式利用配方法求最值；②形如的可化为的形式性求最值； 解析：134
-
【解析】 【分析】
利用换元法，令sin x t =，[]
1,1t ∈-，然后利用配方法求其最小值． 【详解】
令sin x t =，[]
1,1t ∈-，则2
113324
y t t t ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭， 当12
t =-
时，函数有最小值134-，故答案为13
4-.
【点睛】
求与三角函数有关的最值常用方法有以下几种：①化成2
sin sin y a x b x c =++的形式利用配方法求最值；②形如sin sin a x b
y c x d
+=
+的可化为sin ()x y φ=的形式性求最值；③
sin cos y a x b x =+型，可化为22sin()y a b x φ=++求最值；④形如
()sin cos sin cos y a x x b x x c =±++可设sin cos ,x t ±=换元后利用配方法求最值. 16．【解析】由题意可得所得到的几何体是由一个圆柱挖去两个半球而成；其中圆柱的底面半径为1母线长为2；体积为；两个半球的半径都为1则两个半球的体积为；则所求几何体的体积为考点：旋转体的组合体 解析：
【解析】
由题意，可得所得到的几何体是由一个圆柱挖去两个半球而成；其中，圆柱的底面半径为1，母线长为2；体积为
；两个半球的半径都为1，则两个半球的体积为
；则所求几何体的体积为 .
考点：旋转体的组合体.
17．3【解析】【分析】圆方程化为标准方程找出圆心坐标与半径求出圆心到已知直线的距离判断即可得到距离【详解】圆方程变形得：（x+1）2+（y+2）2＝8即圆心（﹣1-2）半径r ＝2∴圆心到直线x+y+1＝
解析：3 【解析】
【分析】
圆方程化为标准方程，找出圆心坐标与半径，求出圆心到已知直线的距离，判断即可得到距离． 【详解】
圆方程变形得：（x +1）2+（y +2）2＝8，即圆心（﹣1，-2），半径r ＝，
∴圆心到直线x +y +1＝0的距离d ==，
∴r ﹣d =
则到圆上到直线x +y +1＝03个， 故答案为3. 【点睛】
本题考查了直线与圆的位置关系，解题时注意点到直线的距离公式的合理运用.
18．【解析】【分析】根据三角形面积公式得到再由余弦定理得到AC 长【详解】在中且的面积为由正弦定理的面积公式得到：再由余弦定理得到故得到故答案为：【点睛】本题主要考查余弦定理的应用以及三角形面积公式;在解
【解析】 【分析】
根据三角形面积公式得到11 2.222
S AB AB =⨯⨯⨯=⇒=再由余弦定理得到AC 长. 【详解】
在ABC ∆中，120B =o ，1BC =，且ABC ∆
到：11 2.222
S AB AB =
⨯⨯⨯=⇒= 再由余弦定理得到22202cos1207AC AB BC AB BC =+-⨯⨯⨯=
故得到AC =
.
【点睛】
本题主要考查余弦定理的应用以及三角形面积公式;在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现ab 及2b 、2a 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.
19．【解析】【分析】把分子展开化为再利用基本不等式求最值【详解】由得得等号当且仅当即时成立故所求的最小值为【点睛】使用基本不等式求最值时
一定要验证等号是否能够成立
解析：92. 【解析】 【分析】
把分子展开化为(1)(21)221255
2x y xy x y xy xy xy xy xy
++++++===+，再利用基本不等式
求最值． 【详解】
由24x y +=，得24x y +=≥，得2xy ≤
(1)(21)221255592222
x y xy x y xy xy xy xy xy ++++++===+≥+=，
等号当且仅当2x y =，即2,1x y ==时成立． 故所求的最小值为9
2
． 【点睛】
使用基本不等式求最值时一定要验证等号是否能够成立．
20．①②④【解析】【分析】根据线面平行和线面垂直的判定定理以及面面垂直的判定定理和性质分别进行判断即可【详解】①当为棱上的一中点时此时也为棱上的一个中点此时//满足//平面故①正确；②连结则平面因为平面
解析：①②④ 【解析】 【分析】
根据线面平行和线面垂直的判定定理，以及面面垂直的判定定理和性质分别进行判断即可． 【详解】
①当E 为棱1CC 上的一中点时，此时F 也为棱1AA 上的一个中点，此时11A C //EF ，满足11A C //平面1BED F ，故①正确；
②连结1BD ，则1B D ⊥平面11AC D ，因为1BD ⊂平面1BED F ，所以平面11A C D ⊥平面
1BED F ，故②正确；
③1BD ⊂平面1BED F ，不可能存在点E ，使得1B D ⊥平面1BED F ，故③错误； ④四棱锥11B BED F -的体积等于1111D BB F D BB E V V --+，设正方体的棱长为1. ∵无论E 、F 在何点，三角形1BB E 的面积为
11
1122⨯⨯=为定值，三棱锥11D BB E -的高111D C =，保持不变，三角形1BB F 的面积为
11
1122
⨯⨯=为定值，三棱锥11D BB F -的
高为111D A =，保持不变.
∴四棱锥11B BED F -的体积为定值，故④正确. 故答案为①②④. 【点睛】
本题主要考查空间直线和平面平行或垂直的位置关系的判断，解答本题的关键正确利用分割法求空间几何体的体积的方法，综合性较强，难度较大．
三、解答题
21．(1) 8.69 1.ˆ23y
x =- (2) 2.72x =，年利润z 最大 【解析】
分析：（1）由表中数据计算平均数与回归系数，即可写出线性回归方程； （2）年利润函数为(2)z x y =-，利用二次函数的图象与性质，即可得到结论. 详解：（1）3x =，5y =，
5
1
15i i x ==∑
，5
1
25i
i y
==∑，51
62.7i i i x y ==∑，52
1
55i x ==∑，5
21
55i i x ==∑，
解得：^ 1.23b
=-，
^8.69a
=，
所以：8.69 1.ˆ23y
x =-， （2）年利润()2
8.69 1.232 1.23 6.69z x x x x x =--=-+
所以 2.72x =，年利润z 最大.
点睛：本题考查了线性回归方程以及利用回归方程预测生产问题，试题比较基础，对于线性回归分析的问题：（1）判断两个变量是否线性相关及相关程度通常有两种方法：（1）利用散点图直观判断；（2）将相关数据代入相关系数r 公式求出r ，然后根据r 的大小进行判断．求线性回归方程时在严格按照公式求解时，一定要注意计算的准确性． 22．（1）的平均数为8,标准差为2,乙的平均数为8,标准差为30
5
；（2）乙 【解析】 【分析】 【详解】
(1)根据题中所给数据,则甲的平均数为
,
乙的平均数为,
甲的标准差为,
乙的标准差为,
故甲的平均数为8,标准差为2,乙的平均数为8,标准差为305
; (2)
,且
,
乙的成绩较为稳定, 故选择乙参加射箭比赛. 考点：平均数与方差 23．(1) (2)
【解析】
试题分析（1）先将不等式化成底相同的指数，再根据指数函数单调性解不等式（2）令
，则函数转化为关于 的二次函数，再根据对称轴与定义区间位置关系确定最
值，得到值域. 试题解析： 解：(1) 因为
由于指数函数
在上单调递增
(2) 由（1）得
令，则
，其中
因为函数开口向上，且对称轴为
函数在
上单调递增
的最大值为，最小值为
函数
的值域为
.
24．（1）2n
n a =（*n N ∈）；（2）()1
6232
n n T n +=+-．
【解析】 【分析】
（1）根据等比数列通项的性质求出34,a a 的表达式，利用等差中项列方程求得公比，然后求得数列的通项公式.（2）利用错位相减求和法求得数列{}n n a b 的前n 项和n T 【详解】
解：（1）设数列{}n a 的公比为，
因为24a =，所以34a q =，2
44a q =．
因为32a +是2a 和4a 的等差中项，所以()32422a a a +=+． 即()2
24244q q +=+，化简得2
20q q -=．
因为公比0q ≠，所以2q =．
所以2
22422n n n n a a q
--==⨯=（*n N ∈）． （2）因为2n
n a =，所以22log 121n n b a n =-=-．
()212n n n a b n =-．
则()()2
3
1
123252232
212n n n T n n -=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-+-，①
()()23412123252232212n n n T n n +=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-+-.②
①－②得，
()2312222222212n n n T n +-=+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯--
()()()11141222212623212
n n n n n -++-=+⨯
--=----，
所以()1
6232n n T n +=+-．
【点睛】
本小题主要考查等比数列基本量的计算，等比数列通项公式的求解，考查等差中项的性质，考查错位相减求和法求数列的前n 项和，属于中档题. 25．（Ⅰ）5
16
.（Ⅱ）小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率. 【解析】 【分析】 【详解】
（Ⅰ）两次记录的所有结果为（1,1），（1,,2），（1,3），（1,4），（2,1），（2,2），（2,3），（2,4），
（3,1），（3,2），（3,3），（3,4），（4,1），（4,2），（4,3），（4,4），共16个． 满足xy≤3的有（1,1），（1,,2），（1,3），（2,1），（3,1），共5个，所以小亮获得玩具的概率为
516
． （Ⅱ） 满足xy≥8的有（2,4），（3,,3），（3,4），（4,2），（4,3），（4,4），共6个，所以小亮获得水杯的概率为616
； 小亮获得饮料的概率为565
1161616
-
-=，所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率． 26．(Ⅰ)1MP =或3MP =（Ⅱ）当30POM ∠=︒时， OMN ∆
的面积的最小值为
8-
【解析】 【分析】 【详解】
解:(1)在△OMP 中,∠OPM=45°
, 由余弦定理得,OM 2=OP 2+MP 2-2OP·MP·cos45°, 得MP 2-4MP+3=0, 解得MP=1或MP=3. (2)设∠POM=α,0°≤α≤60°, 在△OMP 中,由正弦定理, 得
sin OM OPM ∠=sin OM
OPM
∠,
所以OM=
()
sin 45sin 45+OP α。

, 同理ON=
()
sin 45sin 45+OP α。

. 故S △OMN =
1
2
OM·ON·sin ∠MON =1
2×()()
22sin 45sin 45+sin 75+OP αα。

=()()
1
sin 45+sin 45+30αα+。

22⎣⎦
因为0°≤α≤60°,
30°≤2α+30°≤150°,
所以当α=30°时,sin(2α+30°)的最大值为1,此时△OMN的面积取到最小值.
即∠POM=30°时,△OMN的面积的最小值为。