简谐振动初相位之唯一性浅谈

第22卷第3期2024年3月
动力学与控制学报
J O U R N A L O F D Y N AM I C S A N D C O N T R O L
V o l .22N o .3
M a r .2024
文章编号:1672-6553-2024-22(3)-88-005
D O I :10.6052/1672-6553-2023-013
2023-02-02收到第1稿,2023-03-07收到修改稿.
*国家自然科学基金资助项目(11602131,51968020),海南省自然科学基金高层次人才项目(820R C 586),海南省科协青年科技英才学术创新计划项目(Q C X M 201913),海南大学教育教学改革研究项目(h d j y
1967),N a t i o n a l N a t u r a l S c i e n c e F o u n d a t i o n o f C h i n a (11602131,51968020),H a i n a n P r o v i n c i a l N a t u r a l S c i e n c e F o u n d a t i o n o f C h i n a (820R C 586),H a i n a n A s s o c i a t i o n f o r S c i e n c e a n d T e c h n o l o g y
(Q C X M 201913),E d u c a t i o n a n d T e a c h i n g R e f o r m R e s e a r c h P r o j e c t o f H a i n a n U n i v e r s i t y (h d j y
1967).†通信作者E -m a i l :g c z h a n g
@h a i n a n u .e d u .c n 简谐振动初相位之唯一性浅谈*
张国策† 聂磊 陈云
(海南大学土木建筑工程学院,海口 570228
)摘要 振幅㊁频率和相位是简谐振动的三要素.其中,相位角的周期是2π.在一个周期(-π,π]内,任意简谐振动响应的初相位必须具有唯一性.该问题常被忽视.将相位角表示成反正切函数时需要考虑反三角函数的值域.在此对部分著作中的常见错误作简要修正.关键词 自由振动, 受迫振动, 初相位中图分类号:O 321
文献标志码:A
O n t h e U n i q u e n e s s o f I n i t i a l P h a s e i n S i m p
l e H a r m o n i c V i b r a t i o n Z h a n g G
u o c e †
N i e L e i C h e n Y u n (S c h o o l o f C i v i l E n g i n e e r i n g a n d A r c h i t e c t u r e ,H a i n a n U n i v e r s i t y
,H a i k o u 570228,C h i n a )A b s t r a c t A m p l i t u d e ,f r e q u e n c y a n d p h a s e a r e t h r e e p a r a m e t e r s o f s i m p
l e h a r m o n i c v i b r a t i o n .T h e p e r i -o d o f p h a s e a n g l e i s 2π.T h e i n i t i a l p h a s e a n g l e o f a n y s i m p l e h a r m o n i c v i b r a t i o n m u s t b e u n i q
u e i n t h e i n t e r v a l (-π,π].T h i s u n i q u e n e s s i s o f t e n o v e r l o o k e d .W h e n t h e p h a s e a n g l e i s e x p
r e s s e d i n t h e f o r m o f a n a r c t a n g e n t f u n c t i o n ,t h e v a l u e r a n g e o f t h e i n v e r s e t r i g o n o m e t r i c f u n c t i o n n e e d s t o b e c o n s i d e r e d .T h e c o mm o n m i s t a k e s i n s o m e m o n o g r a p
h s a r e c o r r e c t e d h e r e .K e y w
o r d s f r e e v i b r a t i o n , f o r c e d v i b r a t i o n , i n i t i a l p h a s e 引言
振动在土木建筑㊁国防军工㊁道路桥梁㊁防震减灾等工程领域相当重要.根据激励性质不同,机械振动可分为固有振动
[1,2]
㊁自由振动
[3,4]
㊁受迫振
动[5,6]㊁自激振动[7,8]和参数振动[9,10
].
简谐运动是最常见的振动形式.振幅㊁频率和相位是简谐振动的三要素.众多参考书介绍振动响应时,初相位常常需要被修正
[11-27]
.
对于线性振动微分方程,一般可以精确求解.
求解过程中,先构造振动响应的形式解;然后结合
初始条件,分别求得振幅㊁频率和初相位.在求相位角时,通常先求出初相位的正弦值与余弦值,进而将初相位表示成已知参数组合的反三角函数.但是,反三角函数的值域与初相位的取值范围往往不一致.如果不注意值域,对于特定的系统参数组合,将可能导致与实际情况完全不符的振动响应.此类问题层出不穷,需要重视.
下面以单自由度振动系统为例,分别研究自由
振动和受迫振动,在半开半闭区间(-π,π]内就初相位唯一性作简要论述.
第3期
张国策等:简谐振动初相位之唯一性浅谈
1 自由振动
单自由度无阻尼系统自由振动是最基本的振动现象.以单自由度质量-弹簧系统构成的简谐振子为研究对象,质量块偏离平衡位置的距离x 随时间t 变化的规律满足如下微分方程:
m x ㊃㊃
+k x =0(1
)式中,m 表征质量块的质量,k 表征弹簧刚度,
两者取值均为正数.胡海岩[16
]等指出,自由振动控制方程(1)
的形式解可写作:
x (t )=A s i n (ω0t +α)(2)式中,固有圆频率:
ω0=k
m
>0
(3
)考虑如下初始条件:x (t =0)=x 0,x ㊃
(t =0)=
v 0(4)将式(2)代入式(4
)可得:A s i n α=x 0,A c o s α=
v 0
ω0(5
)解之得振幅:
A =x 20
+v 2
ω2
(6)若初始速度非零,则可得初相位
[11-25
]:
α=a r c t a n
x 0ω0v 0
ɪ-π2,
π
2
(7
)事实上,式(7
)限制了相位角的值域,其余弦值始终为正,这就要求初始速度的代数值大于零.只有当初始速度方向与位移x 正方向一致时,式(7)才是正确的.因此,该相位角(7)
不一定是原系统(1
)的解.如果v 0<0,那么初始速度方向与x 正方向相反,相位角(7
)将给出错误的结果.修正如下:α*
=f (x 0)㊃a r c c o s
v 0
ω2
x 20
+v
20
ɪ(-π,
π](8)式中,f 为分段函数:
f (
x 0)=-1x 0<01
x 0ȡ0
(9
)显然,自由振动响应的初相位与初始条件密切相关.综上所述,自由振动系统(1
)的响应为:x *
(t )=x 0c o s t k
m
+
m k v 0s i n t k m
(10
)2 受迫振动
考虑黏性阻尼力,单自由度振动系统受简谐激励作用时的微分方程为:
m x ㊃㊃
+c x ㊃
+k x =h s i n (ωt )
(11
)式中,c 表征黏性阻尼系数,h 表征简谐激振力的幅
值,ω表征简谐激振力的频率,
三者取值均为正数.闻邦椿等[17,19]
指出,受迫振动稳态响应与初
始条件无关,其形式解可写作:x (t )=B
s i n (ωt +β)(12
)将式(12)代入式(11
)可得:B s i n β=-c ωh c 2ω2+m 2(ω20-ω2)
2
B c o s β=m h (ω20-ω2
)
c 2ω2+m 2(ω20-ω2)
2
(13)解之得振幅:
B =
h
c 2
ω2
+m 2
(ω2
-ω2)
2
(14
)稳态响应时的初相位为[
16-27
]β=a r c t a n c ωm (ω2-ω2
0)
ɪ-π2,π
2
(15
)事实上,式(15)
限制了相位角的值域,其余弦值始终为正,这就要求外激励频率必须足够小.只有当激励频率ω小于派生无阻尼系统(1)的固有频率时,式(15)才是正确的.这与实际振动条件不符.因此,该相位角(15)不一定是原系统(11)稳态响应时的初相位.如果外激励振动过快,激励频率较大,那么相位角(15
)将给出错误的结果.考虑到阻尼系数和激励频率的代数值均为正
数,由式(13)可知,初相位的正弦值小于零.因此,修正相位角如下所示:β*
=-a
r c c o s m (ω20-ω2
)
c 2
ω2
+m 2
(ω2
-ω2)
2
ɪ(-π,
0)(16
)考虑初始条件(4
),根据常微分方程理论,小阻尼情形时受迫振动系统(11
)的响应为:x (t )=h (k -m ω2
)s i n (ωt )-c ωh c o s (ωt )c 2ω2+(k -m ω2)
2
+ x 0+c ωh c 2ω2+(k -m ω2)2
e -c t 2m c o s t 4m k -c 2
2m
+ 2m v 0+c x 04m k -c
2e -c t
2m s i n t 4m k -c 22m +9
8
动 力 学 与 控 制 学 报
2024年第22卷
ωh (c 2-2m k +2m 2ω2
)
c 2ω2+(k -m ω2)2 4
m k -c 2
e
-c t
2m
ˑ
s i n t 4
m k -c 2
2m
(17
)3 数值验证
为了使用龙格-库塔法进行数值计算,引入速
度变量v (t ),将振动方程(11)改写为如下微分方程组:
x ㊃
=v
v ㊃
=
h s i n (ωt )-c v -k x m
(18)考虑如下参数组合:
c =h =0,m =1.0k g
,k =1.0N /m (19
)此时,系统(18)
代表了单自由度无阻尼振动系统(1).
特选取初始条件如下:x (t =0)=0.4m ,x ㊃
(t =0)=-0.
3m /s (20)数值仿真过程中令时间步长为0.0001s
,采样点为0.5s
,计算结果如图1中蓝色实心圆点所示.基于文献[11]~文献[25],由式(2,3,6,7)
可得解析结果:
x 1(t )ʈ0.5s i n (t -53.1301ʎ)m (21
)因所选初始速度为负数,故需修正相位角.由式(2,
3,6,8
)可得改进结果:x *
1(t )ʈ0.5s i n (t +126.8699ʎ)m
(22
)图1 自由振动周期响应
F i g .1 T h e p e r i o d i c r e s p
o n s e o f f r e e v i b r a t i o n 从图1示出了自由振动响应(21)与(22)
的对比结果.图中虚线代表文献[11]~文献[25]中的响应解(21).实线代表改进结果(22),与数值仿真结果一致.图例表明,初相位不同,将导致多数时刻振动响应计算结果偏离真实值,甚至包括初始时刻.
再计算受迫振动系统,不妨考虑如下参数组
合:
c =0.5N ㊃s /m ,m =1.0k g
,k =1.0N /m (23)初始条件仍为式(20
),特选取激励参数为:h =0.4m ,ω=1.2r a d /s
(24
)仿真过程中令时间步长为0.0001s
,采样点为0.5s ,根据式(18)数值计算暂态响应如图2中红色实心圆点所示.图中实线代表小阻尼受迫振动系统的响应(17).
两者完全重合.数值验证结果支持式(17)是有阻尼系统(11
)的一个解析解.图2 受迫振动暂态响应
F i g .2 T h e t r a n s i e n t r e s p
o n s e o f f o r c e d v i b r a t i o n 随着计算时长变大,系统逐渐进入稳态.基于
文献[16]~文献[27],由式(12,14,15)可得近似解析结果:
x 2(t )ʈ0.5376s i n (1.2t +53.7462ʎ)m (25)因所选激励频率大于固有频率,故上式将给出错误的结果.修正相位角后,由式(12,14,16)可得改进结果
.稳态响应近似为:
x *
2(t )ʈ0.5376s i n (1.2t -126.2538ʎ)m
(26
)图3 受迫振动稳态响应
F i g .3 T h e s t e a d y -s t a t e r e s p
o n s e o f f o r c e d v i b r a t i o n 从图3示出了受迫振动稳态响应(25)与(26)
的对比结果.图中虚线代表文献[16]~文献[27]中的响应解(25).实线代表改进结果(26)
,与数值仿0
9
第3期张国策等:简谐振动初相位之唯一性浅谈
真结果吻合.图例表明,相位角不同,将导致多数时刻振动响应计算结果偏离真实值.
4结束语
相位角是简谐振动的三要素之一.分别考虑自由振动和受迫振动,给出了任意初始条件下系统响应的解析解.理论求解过程中,如果不注意反三角函数的值域,将可能导致与实际情况完全不符的振动响应.日常科研中应受到重视.
(1)无阻尼线性系统自由振动时,初相位与初始条件㊁固有频率均相关,且在区间(-π,π]内具有唯一性.
(2)线性阻尼系统受简谐激励时,稳态响应与初始条件无关,但相位角与激励频率㊁固有频率密切相关,且初相位在区间(-π,π]内具有唯一性.参考文献
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