2019-2020年高中全程复习方略数学课件：第八章 解析几何 8.5

1)．Βιβλιοθήκη 求直线 y＝kx＋1 被椭圆截得的线段长(用 a，k 表示)；
解析：设直线 y＝kx＋1 被椭圆截得的线段为 AP，
y＝kx＋1 由ax22＋y2＝1
得(1＋a2k2)x2＋2a2kx＝0，
故 x1＝0，x2＝－1＋2aa2k2k2.
因此|AP|＝ 1＋k2|x1－x2|＝12＋a2a|k2k| 2· 1＋k2.
答案：C
3．已知椭圆中心在原点，焦点 F1，F2 在 x 轴上，P(2， 3)是
椭圆上一点，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则椭圆方程为( ) A.x82＋y62＝1 B.1x62 ＋y62＝1 C.x82＋y42＝1 D.1x62 ＋y42＝1
解析：设椭圆的标准方程为ax22＋by22＝1(a>b>0)．
悟·技法
1.直线与椭圆位置关系判断的步骤
(1)联立直线方程与椭圆方程.
(2)消元得出关于 x(或 y)的一元二次方程．
(3)当 Δ>0 时，直线与椭圆相交；当 Δ＝0 时，直线与椭圆相切；
当 Δ<0 时，直线与椭圆相离
2.直线与椭圆相交时的常见问题的处理方法
涉及问题
处理方法
弦长
根与系数的关系、弦长公式 (直线与椭圆有两交点)
解析：设椭圆的标准方程为ax22＋by22＝1(a>b>0)． 因为椭圆的一个焦点为 F(1,0)，离心率 e＝12，
c＝1， 所以ac＝1a，
a2＝b2＋c2，
解得ab＝2＝23c，＝2，
故椭圆的标准方程为x42＋y32＝1. 答案：x42＋y32＝1
考向一 椭圆的定义及其标准方程
答案：D
4．(2018·河南洛阳一模)已知△ABC 的顶点 B，C 在椭圆x32＋y2 ＝1 上，顶点 A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在 BC 边上，则△ABC 的周长是( )
A．2 3 B．6 C．4 3 D．12
解析：由椭圆的定义知椭圆上一点到两焦点的距离之和等于长 轴长 2a，可得△ABC 的周长为 4a＝4 3.
∴ e＝ac＝ 35.故选 B. 答案：B
2．若直线 x－2y＋2＝0 经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则
该椭圆的标准方程为( ) A.x52＋y2＝1 B.x42＋y52＝1 C.x52＋y2＝1 或x42＋y52＝1
D．以上答案都不对
解析：直线与坐标轴的交点为(0,1)，(－2,0)，
由题意知当焦点在 x 轴上时，c＝2，b＝1， ∴a2＝5，所求椭圆的标准方程为x52＋y2＝1. 当焦点在 y 轴上时，b＝2，c＝1， ∴a2＝5，所求椭圆的标准方程为y52＋x42＝1. 答案：C
定义法
根据椭圆的定义，确定 a2，b2 的值，结合焦点位置可写出 椭圆方程
若焦点位置明确，则可设出椭圆的标准方程，结合已知条
待定系 件求出 a，b；若焦点位置不明确，则需要分焦点在 x 轴和
数法 y 轴上两种情况讨论，也可设椭圆的方程为 Ax2＋By2＝
1(A>0，B>0，A≠B)
考向二 椭圆的几何性质[互动讲练型]
[自主练透型]
1．椭圆 C：2x52 ＋1y62 ＝1 的左、右焦点分别为 F1，F2，过 F2 的
直线交椭圆 C 于 A，B 两点，则△F1AB 的周长为( ) A．12 B．16
C．20 D．24
解析：△F1AB 的周长为 |F1A|＋|F1B|＋|AB| ＝|F1A|＋|F2A|＋|F1B|＋|F2B| ＝2a＋2a＝4a. 在椭圆2x52 ＋1y62 ＝1 中，a2＝25，a＝5，
由点(2， 3)在椭圆上得a42＋b32＝1. 又|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列， 则|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|，
即 2a＝2·2c，ac＝12. 又 c2＝a2－b2，联立得 a2＝8，b2＝6. 即椭圆方程为x82＋y62＝1. 答案：A
悟·技法
求椭圆标准方程的 2 种常用方法
P(x，y)时，则|x|≤a，这往往在求与点 P 有关的最值问题中特别有
用，也是容易被忽略而导致求最值错误的原因．
[小题热身]
1．(2017·浙江卷)椭圆x92＋y42＝1 的离心率是(
)
13
5
2
5
A. 3
B. 3 C.3
D.9
解析：∵ 椭圆方程为x92＋y42＝1， ∴ a＝3，c＝ a2－b2＝ 9－4＝ 5.
y＝kx＋2， 将直线方程与椭圆方程联立可得x32＋y22＝1，
即(2＋3k2)x2＋
12kx＋6＝0，
x1＋x2＝2－＋132kk2，
由题意可知 Δ＝72k2－48>0，即 k> 36或 k<－ 36. 设 M(x0，y0)，则 x0＝2－＋63kk2，y0＝k·2－＋63kk2＋2＝2＋43k2， 由 QM⊥AB 可知x0y－0 25·k＝－1，化简得 3k2＋5k＋2＝0，解得 k ＝－1 或 k＝－23(舍)， 此时，直线 l 的方程为 x＋y－2＝0. 综上所述，直线 l 的方程为 x＝0 或 x＋y－2＝0.
编后语
常常可见到这样的同学，他们在下课前几分钟就开始看表、收拾课本文具，下课铃一响，就迫不及待地“逃离”教室。实际上，每节课刚下课时的几分 钟是我们对上课内容查漏补缺的好时机。善于学习的同学往往懂得抓好课后的“黄金两分钟”。那么，课后的“黄金时间”可以用来做什么呢？
解析：(1)由题意可知 a2＋b2＝5，又 e＝ac＝ 33，a2＝b2＋c2， 所以 a＝ 3，b＝ 2，所以椭圆 C 的方程为x32＋y22＝1.
(2)①若直线 l 的斜率不存在，此时 M 为原点，满足 QM⊥AB，
所以，方程为 x＝0.
②若直线 l 的斜率存在，设其方程为 y＝kx＋2，A(x1，y1)，B(x2， y2)，
中点弦或弦的中点 点差法(结果要检验)
[变式练]——(着眼于举一反三) 3．(2018·广东深圳一模)已知椭圆 C：ax22＋by22＝1(a>b>0)的离心
率为 33，其右顶点与上顶点的距离为 5，过点 P(0,2)的直线 l 与椭 圆相交于 A、B 两点．
(1)求椭圆 C 的方程；
(2)设 M 是 AB 中点，且点 Q 的坐标为25，0，当 QM⊥AB 时， 求直线 l 的方程．
二、必明 3●个易误点
1．椭圆的定义中易忽视 2a>|F1F2|这一条件，当 2a＝|F1F2|其轨 迹为线段 F1F2，当 2a<|F1F2|不存在轨迹．
2．求椭圆的标准方程时易忽视判断焦点的位置，而直接设方 程为ax22＋by22＝1(a>b>0)．
3．注意椭圆的范围，在设椭圆ax22＋by22＝1(a>b>0)上点的坐标为
A.
6 3
B.
3 3
C.
2 3
D.13
解析：(1)如图，|OB|为椭圆中心到 l 的距离，则|OA|·|OF|＝ |AF|·|OB|，即 bc＝a·b2，所以 e＝ac＝12.故选 B.
(2)由题意知以 A1A2 为直径的圆的圆心为(0,0)，半径为 a. 又直线 bx－ay＋2ab＝0 与圆相切，
[例 1] (1)(2016·课标全国Ⅰ，5)直线 l 经过椭圆的一个顶点和
一个焦点，若椭圆中心到 l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心 率为( B )
1
1
2
3
A.3
B.2 C.3 D.4
(2)(2017·新课标全国卷Ⅲ)已知椭圆 C：ax22＋by22＝1(a>b>0)的左、
右顶点分别为 A1，A2，且以线段 A1A2 为直径的圆与直线 bx－ay＋ 2ab＝0 相切，则 C 的离心率为( A )
∴ 圆心到直线的距离 d＝ a22a＋b b2＝a，解得 a＝ 3b，
∴
ba＝
1， 3
∴ e＝ac＝ a2a－b2＝ 故选 A.
1－ab2＝

1－

1 2＝ 3
6 3.
悟·技法 椭圆几何性质的应用技巧 (1)与椭圆几何性质有关的问题要结合图形进行分析． (2) 椭 圆 的 范 围 或 最 值 问 题 常 常 涉 及 一 些 不 等 式 ． 例 如 － a≤x≤a，－b≤y≤b,0<e<1，在求椭圆的相关量的范围时，要注意 应用这些不等关系． (3)紧扣定义是解题的一个基本出发点，涉及弦中点的问题常常 用“点差法”解决，往往会更简单.
a，b，c 的关系
长轴 A1A2 的长为 2a 短轴 B1B2 的长为 2b
|F1F2|＝2c e＝ac∈(0,1)
c2＝a2－b2
3.椭圆中的 4 个常用结论 (1)设椭圆ax22＋by22＝1(a>b>0)上任意一点 P(x，y)，则当 x＝0 时， |OP|有最小值 b，这时，P 在短轴端点处；当 x＝±a 时，|OP|有最大 值 a，这时，P 在长轴端点处． (2)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形， 其中 a 是斜边长，a2＝b2＋c2. (3)已知过焦点 F1 的弦 AB，则△ABF2 的周长为 4a. (4)若 P 为椭圆上任一点，F 为其焦点，则 a－c≤|PF|≤a＋c.
3．(2018·四川遂宁模拟)椭圆xm2＋y42＝1 的焦距为 2，则 m 的值 是( )
A．6 或 2 B．5 C．1 或 9 D．3 或 5
解析：由题意，得 c＝1，当椭圆的焦点在 x 轴上时，由 m－4 ＝1，解得 m＝5；当椭圆的焦点在 y 轴上时，由 4－m＝1，解得 m ＝3，所以 m 的值是 3 或 5，故选 D.
ay22＋bx22＝1(a＞b＞0)
图形
范围
性 质
对称性
顶点
－a≤x≤a
－b≤x≤b
－b≤y≤b
－a≤y≤a
对称轴：x 轴，y 轴
对称中心：坐标原点
A1(－a,0)，A2(a,0) B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a) B1(－b,0)，B2(b,0)
轴
性 焦距 质 离心率
答案：C
5．设 e 是椭圆x42＋yk2＝1 的离心率，且 e＝23，则实数 k 的值是 ________．
解析：当 k>4 时，有 e＝ 1－4k＝23，解得 k＝356；当 0<k<4 时，有 e＝ 1－4k＝23，解得 k＝290.故实数 k 的值为290或356.
答案：290或356
6．(教材习题改编)已知椭圆的一个焦点为 F(1,0)，离心率为12， 则椭圆的标准方程为________．
解析：如图所示，
∵线段 PF1 的中垂线经过 F2， ∴PF2＝F1F2＝2c，即椭圆上存在一点 P，使得 PF2＝2c. ∴a－c≤2c≤a＋c.∴e＝ac∈13，1. 答案：C
考向三 直线与椭圆的位置关系
[互动讲练型]
[例 2] (2016·浙江节选，19,15 分)如图，设椭圆ax22＋y2＝1(a＞
[变式练]——(着眼于举一反三)
1．椭圆x92＋4＋y2 k＝1 的离心率为45，则 k 的值为(
)
A．－21
B．21
C．－1295或 21 D.1295或 21
解析：若 a2＝9，b2＝4＋k，则 c＝ 5－k， 由ac＝45，即 53－k＝45，得 k＝－1295； 若 a2＝4＋k，b2＝9，则 c＝ k－5， 由ac＝45，即 k4－＋5k＝45，解得 k＝21. 答案：C
∴△F1AB 的周长为 4a＝20，故选 C. 答案：C
2．(2018·天津红桥区一模)已知椭圆 C 的焦点在 y 轴上，焦距
等于 4，离心率为 22，则椭圆 C 的标准方程是( ) A.1x62 ＋1y22 ＝1 B.1x22 ＋1y62 ＝1 C.x42＋y82＝1 D.x82＋y42＝1
解析：由题意可得 2c＝4，故 c＝2，又 e＝2a＝ 22，解得 a＝2 2， 故 b＝ 2 22－22＝2，因为焦点在 y 轴上，故选 C.
2．已知 F1，F2 分别是椭圆 C：ax22＋by22＝1(a>b>0)的左、右焦点， 若椭圆 C 上存在点 P，使得线段 PF1 的中垂线恰好经过焦点 F2，则 椭圆 C 离心率的取值范围是( )
A.23，1 C.13，1
B.13，
2
2

D.0，31
[知识重温]
一、必记 3●个知识点
1．椭圆的定义
条件
结论 1
平面内的动点 M 与平
面内的两个定点 F1，
F2
M 点的轨迹为椭圆
|MF1|＋|MF2|＝2a
2a＞|F1F2|
结论 2 F1，F2 为椭圆的焦点 |F1F2|为椭圆的焦距
2.椭圆的简单几何性质(a2＝b2＋c2)
标准方程
ax22＋by22＝1(a＞b＞0)