中学高中数学奥林匹克竞赛训练题(178)(无答案)(2021年整理)

答案）
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（无答案)
第一试
一、填空题（每小题8分,共64分)
1. 袋内有8只白球和2只红球，每次从中随机取出一只球,然后放回1只白球。

则第四次恰取完所有红球的概率为.
2. 已知函数()f x k =，且存在()a b a b <、使()f x 在[],a b 上的值域为[],a b .则实数k 的取值范围为.
3. 在正四棱锥P ABCD -中，已知3AB =，且侧面PAD 与侧面CPD 所成二面角大小为32π。

则该四棱锥外接球的体积为。

4. 函数()f x =
5. 方程4sin (1cos )x x +=.
6. 记[]x 表示不超过实数x 的最大整数，2014(1,2,,100)k a k k ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦则在这100个整数中，不同的整数的个数为。

7. 设A B 、是集合{},,,,a b c d e 的两个不同子集，使得集合A 不是集合B 的子集，B 也不是集合A 的子集。

则不同的有序集合对(,)A B 的组数为.
8。

函数65422264()(1)441
mx nx x mx nx x x y x ++-+--+=+的最小值为1,最大值为6.则m n +=.
二、解答题（共56分）
9.（16分）已知函数3211,,1;12()1371,0,.3
62x x x f x x x ⎧⎛⎤+∈ ⎪⎥+⎪⎝⎦=⎨⎡⎤⎪-+∈⎢⎥⎪⎣⎦⎩记函数()f x 的值域为A ，且实数a b c A ∈、、.
证明：4abc ab bc ca +≥++。

10。

（20分）已知点(1,0),(1,0)M N -，MNQ ∆的周长为6，
动点Q 的轨迹为曲线C ,P 是圆224x y +=上任一点（不在x 轴上)，PA PB 、分别与曲线C 切于点A B 、。

求OAB ∆面积的最大值(O 为坐标原点).
11。

（20分）设r 为正整数，数列{}n a 满足2112(1)1,(1,2,)2
r
n n na n a a n n +++===+。

证明：对任意正整数,n n a 均为正整数.
加 试
一、（40分）如图1，在等腰Rt ABC ∆中，090C ∠=，M 为斜边AB 的中点，
N 为直角边AC 的中点，联结BN ,过点C 作CH BN ⊥，垂足为H 。

证明:2CH AM MH =.
二、(40分）对一堆100粒的石子进行如下操作：每次任选石子数大于1的一堆任意分成不空的两堆,直到每堆1粒(100堆）为止。

证明：
（1）无论如何操作，必有某个时刻存在20堆,其石子总数为60；
（2）可以进行适当地操作使得任何时刻不存在19堆，其石子总数为60.
三、（50分)记[]x 表示不超过实数x 的最大整数.证明:
（1）方程[][]3223x x x x +=+的解为整数；
（2）方程[][]3223x x x x +=+有非整数解。

四、（50分）求所有正整数a b 、使得多项式5()x a f x b
+=在某三个相继整数处均取整数值.。