2022--2023学年北师大版九年级数学下册《2-4二次函数的应用》解答专项练习题(附答案)

2022--2023学年北师大版九年级数学下册《2.4二次函数的应用》解答专项练习题（附答案）1．如图，有长为24m的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的长方形的花圃，且花圃的长可借用一段墙体（墙体的最大可用长度a＝10m）．
（1）如果所围成的花圃的面积为45m2，试求宽AB的长；
（2）按题目的设计要求，能围成面积比45m2更大的花圃吗？如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由．
2．图中所示的抛物线形拱桥，当拱顶离水面4m时，水面宽8m．水面上升3米，水面宽度减少多少？
3．如图，某跳水运动员在进行10m跳台比赛时，身体（看成一点）在空中的运动轨迹是一条抛物线，已知该运动员在跳台的水平距离为1m处达到最高点，高度为1m，试建立适当的直角坐标系，求该抛物线的表达式．
4．掷实心球是兰州市高中阶段学校招生体育考试的选考项目．如图1是一名女生投实心球，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系如图2所示，掷出时起点处高度为m，当水平距离为3m时，实心球行进至最高点3m处．（1）求y关于x的函数表达式；
（2）根据兰州市高中阶段学校招生体育考试评分标准（女生），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于6.70m，此项考试得分为满分10分．该女生在此项考
试中是否得满分，请说明理由．
图1来源：《2022年兰州市高中阶段学校招生体育考试规则与测试要求》
5．李大爷每天到批发市场购进某种水果进行销售，这种水果每箱10千克，批发商规定：整箱购买，一箱起售，每人一天购买不超过10箱；当购买1箱时，批发价为8.2元/千克，每多购买1箱，批发价每千克降低0.2元．根据李大爷的销售经验，这种水果售价为12元/千克时，每天可销售1箱；售价每千克降低0.5元，每天可多销售1箱．
（1）请求出这种水果批发价y（元/千克）与购进数量x（箱）之间的函数关系式；
（2）若每天购进的这种水果需当天全部售完，请你计算，李大爷每天应购进这种水果多少箱，才能使每天所获利润最大？最大利润是多少？
6．某超市销售一种商品，成本每千克30元，规定每千克售价不低于成本，且不高于70元，经市场调查，每天的销售量y（千克）与每千克售价x（元）满足一次函数关系，部分数据如下表：
售价x（元/千克）405060
销售量y（千克）1008060
（1）求y与x之间的函数表达式；
（2）设商品每天的总利润为W（元），求W与x之间的函数表达式（利润＝收入﹣成本）；
（3）试说明（2）中总利润W随售价x的变化而变化的情况，并指出售价为多少元时获得最大利润，最大利润是多少？
7．某商家购进一批产品，成本为20元/件，采取商铺和网店两种销售方式同时进行销售，调查发现，该产品在商铺的月销量y（件）与售价x（元/件，25≤x＜35）满足函数关系式y＝﹣100x+3400．
（1）若该产品在商铺的月销量为400件，求该产品在商铺的售价；
（2）若该产品在网店上售价单价始终比商铺便宜2元，且网店上的月销量固定为400件，求当x为多少时，商家销售这批产品的月利润达到最大，最大利润是多少？
8．跳绳是一项很好的健身活动，如图是小明跳绳运动时的示意图，建立平面直角坐标系如图所示，甩绳近似抛物线形状，脚底B、C相距20cm，头顶A离地175cm，相距60cm 的双手D、E离地均为80cm．点A、B、C、D、E在同一平面内，脚离地面的高度忽略不计．小明调节绳子，使跳动时绳子刚好经过脚底B、C两点，且甩绳形状始终保持不变．
（1）求经过脚底B、C时绳子所在抛物线的解析式．
（2）判断小明此次跳绳能否成功，并说明理由．
9．合肥老城西大门有一处城门横断面分为两部分，上半部分为抛物线形状，下半部分为正方形（OMNE为正方形），已知城门宽度为4米，最高处离地面6米，如图1所示，现以O点为原点，OM所在的直线为x轴，OE所在的直线为y轴建立直角坐标系．
（1）求出上半部分抛物线的函数表达式，并写出其自变量的取值范围；
（2）有一辆宽3米，高4.5米的货车需要通过该城门进入城区，请问该货车能否正常进入？
（3）由于城门年久失修，需要搭建一个矩形“巩固门”ABCD，该“巩固门”关于抛物线对称轴对称，如图2所示，其中AB、AD、CD为三根承重钢支架，点D在抛物线上，
B、C在地面上，已知钢支架每米300元，问搭建这样一个矩形“巩固门”，仅钢支架一
项，最多需要花费多少元？
10．某公司购进一批受环境影响较大的商品，需要在特定的环境中才能保存，已知该商品成本y（元/件）与保存的时间第x（天）之间的关系满足y＝x2﹣4x+100，该商品售价p（元/件）与保存时间第x（天）之间满足一次函数关系，其对应数据如表：
x（天）……57……
p（元/件）……248264……
（1）求商品的售价p（元/件）与保存时间第x（天）之间的函数关系式；
（2）求保存第几天时，该商品不赚也不亏；
（3）请你帮助该公司确定在哪一天卖出，每件商品能获得最大利润，此时每件商品的售价是多少？
11．某工厂计划在每个生产周期内生产并销售完某型设备，设备的生产成本为10万元/件．（1）如图，设第x（0＜x≤20）个生产周期设备售价z万元/件，z与x之间的关系用图中的函数图象表示．求z关于x的函数解析式（写出x的范围）．
（2）设第x个生产周期生产并销售的设备为y件，y与x满足关系式y＝5x+40（0＜x≤20）．在（1）的条件下，工厂第几个生产周期创造的利润最大？最大为多少万元？（利润＝收入﹣成本）
12．现代城市绿化带在不断扩大，绿化用水的节约是一个非常重要的问题．
如图1、图2所示，某喷灌设备由一根高度为0.64m的水管和一个旋转喷头组成，水管竖直安装在绿化带地面上，旋转喷头安装在水管顶部（水管顶部和旋转喷头口之间的长度、水管在喷灌区域上的占地面积均忽略不计），旋转喷头可以向周围喷出多种抛物线形水柱，从而在绿化带上喷灌出一块圆形区域．现测得喷的最远的水柱在距离水管的水平距离3m 处达到最高，高度为1m．
（1）求喷灌出的圆形区域的半径；
（2）在边长为16m的正方形绿化带上固定安装三个该设备，喷灌区域可以完全覆盖该绿化带吗？如果可以，请说明理由；如果不可以，假设水管可以上下调整高度，求水管高度为多少时，喷灌区域恰好可以完全覆盖该绿化带．（以上需要画出示意图，并有必要的计算、推理过程）
13．为鼓励下岗工人再就业，某地市政府规定，企业按成本价提供产品给下岗人员自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担，老李按照政策投资销售本市生产的一种儿童面条．已知这种儿童面条的成本价为每袋12元，出厂价为每袋16元，每天销售y（袋）与销售单价x（元）之间的关系近似满足y＝﹣3x+90．
（1）老李在开始创业的第1天将销售单价定为17元，那么政府这一天为他承担的总差价为多少元？
（2）设老李获得的利润为w（元），当销售单价为多少元时，每天可获得最大利润？
（3）物价部门规定，这种面条的销售单价不得高于24元，如果老李想要每天获得的利润不低于216元，那么政府每天为他承担的总差价最少为多少元？
14．“全民防控新冠病毒”期间某公司推出一款消毒产品，成本价8元/千克，经过市场调查，该产品的日销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间满足一次函数关系，该产品的日销售量与销售单价几组对应值如表：
销售单价x（元/千克）12162024
日销售量y（千克）220180140m （注：日销售利润＝日销售量×（销售单价﹣成本单价）
（1）求y关于x的函数解析式（不要求写出x的取值范围）；
（2）根据以上信息，填空：
①m＝千克；
②当销售价格x＝元时，日销售利润W最大，最大值是元；
（3）该公司决定从每天的销售利润中捐赠100元给“精准扶贫”对象，为了保证捐赠后每天的剩余利润不低于1500元，试确定该产品销售单价的范围．
15．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与一直线相交于A（﹣1，0），C（2，3）两点，与y 轴交于点N．其顶点为D．
（1）抛物线及直线AC的函数关系式；
（2）设点M（3，m），求使MN+MD的值最小时m的值；
（3）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值．
16．在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用30m 长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB、BC两边），设AB＝x米．
（1）求花园的面积S与x的函数关系式；
（2）在P处有一棵树与墙CD、AD的距离分别是16m和6m，要将这棵树围在花园内：（含边界，不考虑树的粗细）
①若花园的面积为216m2，求x的值；
②求花园面积S的最大值．
17．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c交x轴于A（﹣3，0），B（4，0）两点，交y轴于点C，点P是抛物线上一点，连接AC、BC．
（1）求抛物线的表达式；
（2）连接OP，BP，若S△BOP＝2S△AOC，求点P的坐标；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得∠QBA＝75°？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
18．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，直线BC方程为y＝x﹣3．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P为抛物线上一点，若S△PBC＝S△ABC，请直接写出点P的坐标；
（3）点Q是抛物线上一点，若∠ACQ＝45°，求点Q的坐标．
19．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+4x+c（a≠0）与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，连接BC，OA＝1，对称轴为x＝2，点D为抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线上C，D两点之间的距离是；
（3）点E是第一象限内抛物线上的动点，连接BE和CE．求△BCE面积的最大值；
（4）平面内存在点Q，使以点B、C、D、Q为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点Q的坐标．
20．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+bx+c与y轴交于点C，与x轴交于A、B两点，直线y＝x+3恰好经过B、C两点．
（1）求二次函数的表达式；
（2）点D是抛物线上一动点，连接DB、DC．若△BCD的面积为6，求点D的坐标；
（3）设E是抛物线上的一个动点，连结AE，若∠BAE＝2∠ACB，求点E的坐标．
参考答案1．解：（1）设AB的长为x米，根据题意列方程得：﹣3x2+24x＝45
化为x2﹣8x+15＝0
解得x1＝5，x2＝3，
当x＝3时，BC＝24﹣3x＝15＞10，不合题意，舍去，当x＝5时，BC＝24﹣3x＝9，
如果要围成面积为45m2的花圃，AB的长是5米；
（2）设花圃的面积为S，由题意可得：
S＝x（24﹣3x）
＝﹣3x2+24x
＝﹣3（x﹣4）2+48，
∵墙体的最大可用长度a＝10m，
∴0＜24﹣3x≤10，
∴≤x＜8，
∵对称轴x＝4，开口向下，
∴当x＝时，花圃面积最大，
当x＝，即AB的长为m时，S＝46m2；2．解：由题意知，抛物线过点（4，﹣4），
设抛物线解析式为y＝ax2，
将点（4，﹣4）代入，得：16a＝﹣4，
解得：a＝﹣，
所以抛物线解析式为y＝﹣x2，
当y＝﹣1时，﹣x2＝﹣1，
解得：x＝2或x＝﹣2，
则水面的宽减少了8﹣4＝4（m）．
3．解：建立如图所示坐标系，
设抛物线的解析式为y＝a（x﹣h）2+k，
由题意得：抛物线的顶点坐标为（1，1），
∴y＝a（x﹣1）2+1，
∵经过（0，0），
∴0＝a（0﹣1）2+1，
解得：a＝﹣1，
∴解析式为：y＝﹣（x﹣1）2+1．
4．解：（1）根据题意设y关于x的函数表达式为y＝a（x﹣3）2+3，
把（0，）代入解析式得：＝a（0﹣3）2+3，
解得：a＝﹣，
∴y关于x的函数表达式为y＝﹣（x﹣3）2+3；
（2）该女生在此项考试中是得满分，理由：
令y＝0，则﹣（x﹣3）2+3＝0，
解得：x1＝7.5，x2＝﹣1.5（舍去），
∵7.5＞6.70，
∴该女生在此项考试中是得满分．
5．解：（1）根据题意得：y＝8.2﹣0.2（x﹣1）＝﹣0.2x+8.4（1≤x≤10，x为整数），答：这种水果批发价y（元/千克）与购进数量x（箱）之间的函数关系式为y＝﹣0.2x+8.4
（1≤x≤10，x为整数）；
（2）设李大爷每天所获利润是w元，
由题意得：w＝[12﹣0.5（x﹣1）﹣（﹣0.2x+8.4）]×10x＝﹣3x2+41x＝﹣3（x﹣）2+，
∵﹣3＜0，x为正整数，且|6﹣|＞|7﹣|，
∴x＝7时，w取最大值，最大值为﹣3×（7﹣）2+＝140（元），
答：李大爷每天应购进这种水果7箱，才能使每天所获利润最大，最大利润140元．6．解：（1）设y与x之间的函数解析式为y＝kx+b，
则，
解得，
即y与x之间的函数表达式是y＝﹣2x+180；
（2）由题意可得，W＝（x﹣30）（﹣2x+180）＝﹣2x2+240x﹣5400，
即W与x之间的函数表达式是W＝﹣2x2+240x﹣5400；
（3）∵W＝﹣2x2+240x﹣5400＝﹣2（x﹣60）2+1800，30≤x≤70，
∴当30≤x≤60时，W随x的增大而增大；
当60≤x≤70时，W随x的增大而减小；
当x＝60时，W取得最大值，此时W＝1800．
7．解：（1）依题意，得﹣100x+3400＝400，
解得：x＝30．
答：该产品在商铺的售价为30元/件；
（2）设商家销售这批产品的月利润总和为w元，则，
w＝400（x﹣2﹣20）+y（x﹣20）
＝400x﹣8800+（﹣100x+3400）（x﹣20）
＝﹣100（x﹣29）2+7300，
∵﹣100＜0，
∴当x＝29时，w有最大值，最大值为7300．
∴当x为29元/件时，商家销售这批产品的月利润达到最大，最大利润为7300元．8．解：（1）建立如图所示的坐标系：结合题意可得：D（﹣30，0），E（30，0），
∵双手D、E离地均为80cm，
∴顶点坐标为：（0，﹣80）．
设抛物线为：y＝ax2﹣80，
∴900a﹣80＝0，
解得：a＝，
所以抛物线为y＝x2﹣80．
（2）小明此次跳绳不能成功；理由：
∵175﹣80＝95＞80，
∴跳绳不过头顶A，
∴小明此次跳绳不能成功．
9．解：（1）由题意得抛物线顶点坐标为（2，6），
设抛物线解析式为y＝a（x﹣2）2+6，
∵四边形OMNE为正方形，
∴点E坐标为（0，4），
将（0，4）代入y＝a（x﹣2）2+6得4＝4a+6，
解得a＝﹣，
∴y＝﹣（x﹣2）2+6（0≤x≤4）．
（2）抛物线对称轴为直线x＝2，货车宽3米，
当货车从门中间驶入时，把x＝2+＝代入y＝﹣（x﹣2）2+6得y＝，∵＞4.5，
∴货车能正常驶入．
（3）设点B坐标为（m，0），
∵点B，C关于直线x＝2对称，
∴点C坐标为（4﹣m，0），
∴AD＝BC＝4﹣2m，
∵y＝﹣（x﹣2）2+6＝﹣x2+2x+4，
∴点A坐标为（m，﹣m2+2m+4），
∴AB＝CD＝﹣m2+2m+4，
∵AB+AD+CD＝﹣m2+2m+12＝﹣（m﹣1）2+13，
∴m＝1时，AB+AD+CD最大值为13米，
∴最多需要花费13×300＝3900（元）．
10．解：（1）设p＝kx+b，将x＝5，p＝248和x＝7，p＝264分别代入表达式，得
解得
∴p＝8x+208．
（2）依题意，得方程：
8x+208＝x2﹣4x+100．
整理方程，得x2﹣12x﹣108＝0．
解得x1＝18，x2＝﹣6（不合题意，舍去）．
答：该商品保存第18天时，不赚也不亏．
（3）设每件商品所获利润为w元，依题意，得：
w＝8x+208﹣（x2﹣4x+100）
＝﹣x2+12x+108
＝﹣（x﹣6）2+144，
∵a＝﹣1＜0，
∴当x＝6时，w最大＝144．
∴p＝8x+208＝8×6+208＝256（元）．
答：该商品在第6天卖出时，每件商品能获得最大利润，此时每件商品的售价为256元．11．解：（1）由图可知，当0＜x≤12时，z＝16，
当12＜x≤20时，z是关于x的一次函数，设z＝kx+b，
则解得：
∴z＝﹣x+19，
∴z关于x的函数解析式为z＝
（2）设第x个生产周期工厂创造的利润为w万元，
①当0＜x≤12时，w＝（16﹣10）×（5x+40）＝30x+240，
∴由一次函数的性质可知，当x＝12时，w最大值＝30×12+240＝600（万元）；
②当12＜x≤20时，
w＝（﹣x+19﹣10）（5x+40）＝﹣x2+35x+360＝﹣（x﹣14）2+605，
因为﹣＜0，
∴当x＝14时，w最大值＝605（万元）．
综上所述，工厂第14个生产周期创造的利润最大，最大是605万元．
12．解：（1）根据题意，以水管在地面安装处为坐标原点，以该处和喷的最远的水柱落地处所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，则喷的最远的水柱所在的抛物线顶点为（3，1），过（0，0.64）．
可设该抛物线对应的函数表达式是y＝a（x﹣3）2+1，代入（0，0.64），
解得，a＝﹣．
所以y＝﹣（x﹣3）2+1．
令y＝0，解得x1＝﹣2（舍），x2＝8
所以，喷灌出的圆形区域的半径为8m．
（2）在边长为16m的正方形绿化带上按如图的位置固定安装三个该设备，
如图1，喷灌出的圆形区域的半径的最小值是＝，8＜，这样安装不能完全覆盖；
如图2，设CD＝x，则BC＝16﹣x，DE＝8，AB＝16，由勾股定理得：
82+x2＝（16﹣x）2+162
解得：x＝14
∴2r＝＝
∴喷灌出的圆形区域的半径的最小值是，8＜，这样安装也不能完全覆盖；
＜，如果喷灌区域可以完全覆盖该绿化带．则一个设备喷灌出的圆形区域的半径的最小值应为m．
设水管向上调整a m，
则调整后喷的最远的水柱所在的抛物线函数表达式是y＝﹣（x﹣3）2+1+a．代入（，0），
解得，a＝．
0.64+＝
答：水管高度为时，喷灌区域恰好可以完全覆盖该绿化带．
13．解：（1）当x＝17时，y＝﹣3x+90＝﹣3×17+90＝39，
39×（16﹣12）＝156（元），即政府这一天为他承担的总差价为156元．
（2）依题意得，
w＝（x﹣12）（﹣3x+90）＝﹣3（x﹣21）2+243（x≥12），
∵a＝﹣3＜0，
∴当x＝21时，w有最大值243．
∴当销售单价定为21元时，每天可获得最大利润243元．
（3）由题意得：﹣3（x﹣21）2+243＝216，
解得：x1＝18，x2＝24．
∵a＝﹣3＜0，抛物线开口向下，
∴当18≤x≤24时，w≥216．
∵y＝﹣3x+90，﹣3＜0，
∴y随x的增大而减小，
∴当x＝24时，y最小＝﹣3×24+90＝18（元），
∴18×（16﹣12）＝72（元）．
即销售单价定为24元时，政府每天为他承担的总差价最少为72元．
14．解：（1）设y关于x的函数解析式为y＝kx+b，将（12，220），（16，180）代入得：，
解得：．
∴y＝﹣10x+340；
（2）①∵当x＝24时，y＝﹣10×24+340＝100，
∴m＝100．
故答案为：100；
②由题意得：
W＝（﹣10x+340）（x﹣8）
＝﹣10x2+420x﹣2720
＝﹣10（x﹣21）2+1690，
∵﹣10＜0，
∴当x＝21时，W有最大值为1690元．
故答案为：21，1690；
（3）由题意得：
W＝﹣10x2+420x﹣2720﹣100≥1500，
∴x2﹣42x+432≤0，
当x2﹣42x+432＝0时，
解得：x1＝18，x2＝24，
∵函数y＝x2﹣42x+432的二次项系数为正，图象开口向上，
∴18≤x≤24，
∴该产品销售单价的范围为18≤x≤24．
15．解：（1）由抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A（﹣1，0）及C（2，3）得，
解得，
∴抛物线为y＝﹣x2+2x+3；
设直线为y＝kx+n过点A（﹣1，0）及C（2，3），得
，
解得，
∴直线AC为y＝x+1；
（2）如图1，
∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴D（1，4），
作直线x＝3，作点D关于直线x＝3的对称点D′
得D′坐标为（5，4），
连结ND′交直线x＝3于点M，
此时N、M、D′三点共线时，NM+MD′最小，
即NM+MD最小，
设直线ND′的关系式为：y＝ax+b，
把点N（0，3）和D′（5，4）代入得，
得a＝，b＝3，
∴直线NM的函数关系式为：y＝x+3，
当x＝3时，y＝，
∴m＝；
（3）如图2，过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q，交x轴于点H；过点C作CG⊥x轴于点G，
设Q（x，x+1），则P（x，﹣x2+2x+3），
∴PQ＝（﹣x2+2x+3）﹣（x+1）
＝﹣x2+x+2
又∵S△APC＝S△APQ+S△CPQ
＝PQ•AG＝（﹣x2+x+2）×3＝﹣（x﹣）2+，
∴△APC面积的最大值为．
16．解：（1）∵AB＝xm，
∴BC＝（30﹣x）m，
则S＝AB•BC＝x（30﹣x）＝﹣x2+30x，
∴花园的面积S与x的函数关系式S＝﹣x2+30x（0＜x＜30）；
（2）①当S＝216m2时，﹣x2+30x＝216，
解得：x1＝12，x2＝18（不合题意，舍去），
答：x的值为12m；
②S＝﹣x2+30x＝﹣（x﹣15）2+225，
∵在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是16m和6m，
∵30﹣x≥16，
∴x≤14，
∴当x＝14时，S取到最大值为：S＝﹣（14﹣15）2+225＝224，
答：花园面积S的最大值为224平方米．
17．解：（1）将A（﹣3，0），B（4，0）两点代入y＝﹣x2+bx+c，
∴，
解得，
∴y＝﹣x2+x+4；
（2）令x＝0，则y＝4，
∴C（0，4），
∴OC＝4，
∵A（﹣3，0），
∴OA＝3，
∴S△OAC＝×3×4＝6，
∵S△BOP＝2S△AOC，
∴S△BOP＝12，
设P（t，﹣t2+t+4），
∵B（4，0），
∴OB＝4，
∴×4×|﹣t2+t+4|＝12，
解得t＝6或t＝﹣5，
∴P（﹣5，﹣6）或（6，﹣6）；
（3）存在点Q，使得∠QBA＝75°，理由如下：∵y＝﹣x2+x+4＝﹣（x﹣）2+，
∴抛物线的对称轴为x＝，
在对称轴上取点M使QM＝MB，
∴∠EMB＝2∠MQB，
∵∠QBA＝75°，
∴∠MQB＝15°，
∴∠EMB＝30°，
∴MB＝2BE，
∵B（4，0），E（，0），
∴BE＝，
∴BM＝QM＝7，ME＝，
∴QE＝7+，
∴Q（，7+）；
Q点关于x轴对称的点为（，﹣7﹣）；
综上所述：点Q的坐标为（，7+）或（，﹣7﹣）．
18．解：（1）在y＝x﹣3中，令x＝0，则y＝﹣3，
∴C（0，﹣3），
令y＝0，则x＝3，
∴B（3，0），
将B、C两点代入y＝﹣x2+bx+c，
∴，
解得，
∴y＝﹣x2+4x﹣3；
（2）令y＝0，则﹣x2+4x﹣3＝0，
解得x＝1或x＝3，
∴A（1，0），
∴AB＝2，
∴S△ABC＝×2×3＝3，
∵S△PBC＝S△ABC，
∴S△PBC＝，
过点P作PQ⊥x轴交BC于点Q，
设P（t，﹣t2+4t﹣3），则Q（t，t﹣3），
∴PQ＝|﹣t2+3t|，
∴＝×3×|﹣t2+3t|，
解得t＝或t＝，
∴P点坐标为（，）或（，）或（，）或（，）；
（3）过点B作BE⊥BC交CQ于点E，过E点作EF⊥x轴交于F，
∵OB＝OC，
∴∠OCB＝45°，
∵∠ACQ＝45°，
∴∠BCQ＝∠OCA，
∵OA＝1，
∴tan∠OCA＝，
∴tan∠BCE＝＝，
∵BC＝3，
∴BE＝，
∵∠OBC＝45°，
∴∠EBF＝45°，
∴EF＝BF＝1，
∴E（4，﹣1），
设直线CE的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得，
∴y＝x﹣3，
联立方程组，
解得（舍）或，∴Q（，﹣）．
19．解：（1）∵OA＝1，
∴A（﹣1，0），
∵对称轴为x＝2，
∴B（5，0），
将A（﹣1，0），B（5，0）代入y＝ax2+4x+c，
∴，
∴，
∴y＝﹣x2+4x+5；
（2）令x＝0，则y＝5，
∴C（0，5），
∵y＝﹣x2+4x+5＝﹣（x﹣2）2+9，
∴D（2，9），
∴CD＝2，
故答案为：2；
（3）设直线BC的解析式为y＝kx+b，
∴，
∴，
∴y＝﹣x+5，
过点E作EF⊥x轴交直线BC于点F，
设E（t，﹣t2+4t+5），则F（t，﹣t+5），
∴EF＝﹣t2+5t，
∴S△BCE＝×5×（﹣t2+5t）＝﹣（t﹣）2+，∴当t＝时，S△BCE有最大值；
（4）设Q（m，n），
①当BD为平行四边形对角线时，
BD的中点（，），CQ的中点（，），
∴＝，＝，
∴m＝7，n＝4，
∴Q（7，4）；
②当BC为平行四边形对角线时，
BC的中点（，），DQ的中点（，），
∴＝，＝，
∴m＝3，n＝﹣4，
∴Q（3，﹣4）；
③当BQ为平行四边形对角线时，
BQ的中点（，），CD的中点（1，7），
∴＝1，＝7，
∴m＝﹣3，n＝14，
∴Q（﹣3，14）；
综上所述：Q点坐标为（7，4）或（3，﹣4）或（﹣3，14）．
20．解：（1）令y＝0，则x＝﹣3，
∴B（﹣3，0），
令x＝0，则y＝3，
∴C（0，3），
将点B（﹣3，0），C（0，3）代入y＝x2+bx+c，
∴，
∴，
∴y＝x2+4x+3；
（2）点D在直线BC上方时，过点D作DP⊥x轴交AC于点P，设D（t，t2+4t+3），则P（t，t+3），
∴DP＝t2+4t+3﹣t﹣3＝t2+3t，
∴S△BCD＝S△CPD﹣S△PBD＝×DP×（﹣t+3+t）＝（t2+3t）
∵△BCD的面积为6，
∴（t2+3t）＝6，
∴t＝1或t＝﹣4，
∴D（1，8）或D（﹣4，3）；
当点D在直线BC下方时，
S△BCD＝S△CPD+S△PBD＝×DP×3＝（﹣t2﹣3t）＝6，
∴（t2+3t）＝﹣6，
∴此时t不存在，
综上所述：D点坐标为（1，8）或（﹣4，3）；
（3）设E（m，m2+4m+3），
过点A作AG⊥BC交于点G，在BC上截取HC＝HA，
∵B（﹣3，0），C（0，3），
∴OB＝OC，BC＝3，
∴∠CBO＝45°，
∵x2+4x+3＝0时，x＝﹣1或x＝﹣3，
∴A（﹣1，0），
∴AB＝2，
在Rt△ABG中，BG＝AG＝，
∴CG＝2，
∵HC＝HA，
∴∠GHA＝2∠ACB，
在Rt△AGH中，HA2＝（CG﹣HA）2+AG2，
∴HA2＝（2﹣HA）2+2，
解得HA＝，
∴HG＝，
∴tan∠GHA＝＝＝，
∵∠BAE＝2∠ACB，
∴∠BAE＝∠GHA，
∴＝，
解得m＝﹣1（舍）或m＝﹣或m＝﹣，
∴E点坐标为（﹣，﹣）或（﹣，）．。