度高中数学第二章基本初等函数(Ⅰ)2.2对数函数2.2.2第二课时对数函数的图象及性质的应用(习题课

2.(比较大小)已知a=log32,b=log2 1 ,c=20.5,则a,b,c的大小关系为( B )
(A)a<b<c (B)b<a<c
3
(C)c<b<a (D)c<a<b
3.(比较大小)若0>ln x>ln y,则( B )
(A)0<x<y<1 (B)0<y<x<1
(C)0<x<1<y (D)x<0<y<1
1 log2
1 3
<
1 log2
1 5
,所以 log1
3
2<
log 1
5
2.
(3)取中间值1,因为log23>log22=1=log55>log54,所以 log23>log54.
题后反思 比较对数式的大小,主要依据对数函数的单调性. (1)若底数为同一常数,则可由对数函数的单调性直接进行比较. (2)若底数为同一字母,则根据底数对对数函数单调性的影响,对底数进行 分类讨论. (3)若底数不同,真数相同,则可以先用换底公式化为同底后,再进行比较,也 可以画出对数函数的图象,再进行比较. (4)若底数与真数都不同,则常借助1,0等中间量进行比较.
即时训练3-1:函数y= log 1 (-x2+6x-5)的单调递减区间是
.
2
解析:由-x2+6x-5>0,解得 1<x<5,即函数的定义域为(1,5).
函数 y= log 1 (-x2+6x-5)可看作 y= log 1 t 和 t(x)=-x2+6x-5 的复合函数.
2
2
由复合函数的单调性可知只需求 t(x)的单调递增区间即可,而函数 t(x)是一
(C)(1,+∞)
(D)(3,+∞)
解析:由 x2-2x-3>0 得 x<-1 或 x>3,当 x∈(-∞,-1)时,f(x)=x2-2x-3 单调递减,
而
0<
1 2
<1,由复合函数单调性可知
y=
log 1
2
(x2-2x-3)在(-∞,-1)上是单调递增的,
在(3,+∞)上是单调递减的.故选 A.
方法技巧 对数型复合函数的单调性 (1)对数型复合函数一般可以分为两类:一类是对数函数为外函数,即y= logaf(x)型;另一类是内函数为对数函数,即y=f(logax)型,对于y=logaf(x) 型的单调性,有以下结论:函数y=logaf(x)的单调性与函数u=f(x)(f(x)>0) 的单调性在a>1时相同,在0<a<1时相反. (2)研究y=f(logax)型复合函数的单调性,一般用复合法判定即可,即令 t=logax,则只需研究t=logax及y=f(t)的单调性即可. (3)研究对数型复合函数的单调性,一定要注意先研究函数的定义域,也就是 要坚持“定义域优先”的原则.
方法技巧
常见对数函数有关的复合函数的性质问题求解方法:(1)若
涉及函数奇偶性可利用奇偶性定义f(-x)=f(x)(或f(-x)=-f(x))求解;(2)若
涉及函数单调性的判定可利用复合函数单调性判断方法;(3)若涉及函数单
调性的证明可利用对数运算性质及函数单调性证明方法.
即时训练4-1:已知f(x)=log4(4x-1). (1)求f(x)的定义域; (2)讨论f(x)的单调性;
2
解:(1)由 loga 1 >1 得 loga 1 >logaa.
2
2
①当 a>1 时,有 a< 1 ,此时无解. 2
②当 0<a<1 时,有 1 <a,从而 1 <a<1.
2
2
所以 a 的取值范围是( 1 ,1). 2
(2)已知log0.72x<log0.7(x-1),求x的取值范围.
解:(2)因为函数 y=log0.7x 在(0,+∞)上为减函数,
所以 0>log0.71.1>log0.71.2.
所以 1 < 1 , log0.7 1.1 log0.7 1.2
由换底公式可得 log1.10.7<log1.20.7.
法二 作出 y=log1.1x 与 y=log1.2x 的图象,如图所示,两图象与 x=0.7 相交可知 log1.10.7<log1.20.7.
(2)已知 log 1 b< log 1 a< log 1 c,比较 2b,2a,2c 的大小关系.
2
2
2
解:(2)因为 y= log 1 x 为减函数,且 log 1 b< log 1 a< log 1 c,所以 b>a>c.
2
2
2
2
而 y=2x 是增函数,所以 2b>2a>2c.
【备用例1】 (1)若a=0.32,b=log20.3,c=20.3,则a,b,c三个数的大小关系 是( ) (A)c<a<b (B)b<c<a (C)c<b<a (D)b<a<c
所以 x1 >1,所以 lg x1 >0,所以 f(x1)>f(x2),
x2
x2
所以函数 f(x)在(-∞,0)上是减函数,即函数 f(x)的单调递减区间是(-∞,0).
即时训练2-1:已知函数f(x)=loga(1-ax)(a>0,a≠1).解关于x的不等式 loga(1-ax)>f(1).
解:因为 f(x)=loga(1-ax),所以 f(1)=loga(1-a).
所以 1-a>0.所以 0<a<1.
所以不等式可化为 loga(1-ax)>loga(1-a).
当
x>0
时,由
log 1
3
x>1
得
0<x<
1 3
,所以
0<x<
1 3
.
综上所述,不等式 f(x)>1 的解集为(-1, 1 ). 3
答案:(-1, 1 ) 3
题型三 对数型复合函数的单调性
【例3】 函数f(x)= log1(x2-2x-3)的单调递增区间是( )
(A)(-∞,-1)
2
(B)(-∞,1)
4
3
4
3
(2) log1 2 与 log 1 2;
3
5
(3)log23 与 log54.
解:(2)由于
log 1
3
2=
1 log2
1 3
,
log 1
5
2=
1 log2
1 5
.
又因对数函数 y=log2x 在(0,+∞)上是增函数,且 1 > 1 , 35
所以
0>log2
1 3
>log2
1 5
,所以
解:(1)由4x-1>0,解得x>0, 因此f(x)的定义域为(0,+∞). (2)设0<x1<x2,则0<4x1-1<4x2-1, 因此log4(4x1-1)<log4(4x2-1),即f(x1)<f(x2), 故f(x)在(0,+∞)上单调递增.
(3)求f(x)在区间[ 1 ,2]上的值域.
2 解:(3)因为 f(x)在区间[ 1 ,2]上单调递增,
所以
1 1
a a
x＞0, x＜1
a.
即
a a
x＜1, x＞ a.
所以 0<x<1.
所以不等式的解集为(0,1).
【备用例 2】
已知函数
f(x)=
3x1 x 0,
log
1 3
x
x＞0
,
则不等式 f(x)>1 的解集为
.
解析:当 x≤0 时,由 3x+1>1 得 x+1>0,解得 x>-1,所以-1<x≤0;
个开口向下的抛物线,对称轴为 x=- 6 =3,
2 1
故函数 t(x)在(-∞,3]上单调递增,又因为函数的定义域为(1,5),
故函数 y= log 1 (-x2+6x-5)的单调递减区间是(1,3].
2
答案:(1,3]
【备用例3】 若函数y=loga(3-ax)在[0,1]上是减函数,则a的取值范围
(3)求函数f(x)的单调递减区间,并证明.
解:(3)由函数 f(x)的图象得函数 f(x)的单调递减区间是(-∞,0),证明如下:
设 x1,x2∈(-∞,0),且 x1<x2,
则 f(x1)-f(x2)=lg|x1|-lg|x2|=lg x1 =lg| x1 |.
x2
x2
因为 x1,x2∈(-∞,0),且 x1<x2,所以|x1|>|x2|>0,
2 又 f( 1 )=0,f(2)=log415,
2 因此 f(x)在区间[ 1 ,2]上的值域为[0,log415].
2
【备用例4】 已知函数f(x)=lg|x|. (1)判断函数f(x)的奇偶性; (2)画出函数f(x)的图象的草图;
解:(1)要使函数有意义,x的取值需满足|x|>0,解得x≠0,即函数定义域是(∞,0)∪(0,+∞),f(-x)=lg|-x|=lg|x|=f(x),所以函数f(x)是偶函数. (2)由于函数f(x)是偶函数,则其图象关于y轴对称,将函数y=lg x的图象对 称到y轴的左侧与函数y=lg x的图象合起来得函数f(x)的图象,如图 所示.
是
.
解析:由于函数y=loga(3-ax)在[0,1]上是减函数, 可得a>0,y=logat, 所以函数t=3-ax是减函数, 故a>1,且3-a×1>0,所以3>a>1. 答案:(1,3)
题型四 对数函数性质的综合应用 【例4】 已知函数f(x)=log2(3+x)+log2(3-x). (1)求f(1)的值; (2)判断函数f(x)的奇偶性,并加以证明;
解析:(1)因为0<a=0.32<0.30=1,b=log20.3<log21<0, c=20.3>20=1,所以a,b,c三个数的大小关系为b<a<c. 故选D.
(2)已知 a= 1 log23,b= 1 ,c= 1 log53,则( )
4
22
(A)c<a<b (B)a<b<c
(C)b<c<a (D)b<a<c
【例 1】 比较下列各组值的大小.
(1)log5 3 与 log5 4 ;
4
3
解:(1)法一 对数函数 y=log5x 在(0,+∞)上是增函数,而 3 < 4 , 43
所以 log5 3 <log5 4 .
4
3
法二 因为 log5 3 <0,log5 4 >0,所以 log5 3 <log5 4 .
2x＞0,
所以由
log0.72x<log0.7(x-1)得
x
1＞0,
解得 x>1.
2x＞x 1，
即 x 的取值范围是(1,+∞).
方法技巧 (1)解对数不等式(组)的方法是把对数不等式(组)转化为 一般不等式(组)求解,其依据是对数函数的单调性.若含有字母,应考虑 分类讨论.
(2)求解对数不等式易忽略定义域优先的原则,导致增解.
第二课时 对数函数的图象及性质的应用 (习题课)
课标要求:1.进一步理解对数函数的图象与性质.2.掌握对数函数图象与 性质的应用.3.体会数形结合思想、分类讨论思想在函数问题中的作用.
自主学习——新知建构·自我整合
自我检测
1.(比较大小)下列不等式成立的是( A )
(A)log32<log23<log25 (B)log32<log25<log23 (C)log23<log32<log25 (D)log23<log25<log32
4.(解不等式)设集合A={-1,0,1},B={x|lg x≤0},则A∩B等于( B ) (A){-1,0,1} (B){1}
(C){-1}
(D){-1,1}
5.(值域)若函数y=log3x的定义域是[1,27],则值域是
.
答案:[0,3]
课堂探究——典例剖析·举一反三
题型一 对数值的大小比较
解:(1)f(1)=log2(3+1)+log2(3-1)=3.
(2)偶函数.
证明:由
3 x＞0, 3 x＞0,
解得-3<x<3,定义域关于原点对称,
而f(-x)=log2(3-x)+log2(3+x)=f(x), 故函数f(x)是偶函数.
(3)若f(x)<0,求实数x的取值范围.
解:(3)若 f(x)<0, 则 log2(3+x)+log2(3-x)=log2(3+x)(3-x)<0, 即 0<9-x2<1,解得-3<x<-2 2 或 2 2 <x<3. 所以实数 x 的取值范围是(-3,-2 2 )∪(2 2 ,3).
即时训练 1-1:(1)比较下列各组数的大小:
①log3 2 与 log5 6 ;②log1.10.7 与 log1.20.7;
3
5
解:(1)①因为 log3 2 <log31=0,而 log5 6 >log51=0,所以 log3 2 <log5 6 .
3
5
3
5
②法一 因为 0<0.7<1,1.1<1.2,
解析:(2)a= 1 log23= 1 lg 3 ,
4
2 lg 2
c= 1 log53= 1 lg3 1 lg 3 < 1 lg 3 =a,
2
2 lg5 2 lg 5 2 lg 2
另一方面:a=log2 4 3 <log2 4 4 = 1 ,b= 1 ,所以 c<a<b.故选 A. 22
题型二 简单的对数不等式 【例 2】 (1)已知 loga 1 >1,求 a 的取值范围;