高考数学压轴专题(易错题)备战高考《矩阵与变换》分类汇编附答案

【最新】《矩阵与变换》专题
一、15
1．已知,,x y z 是关于的方程组000ax by cz cx ay bz bx cy az ++=⎧⎪
++=⎨⎪++=⎩
的解.
（1）求证：()111a b
c a b c
a b a b c c a b
c
a
b
c =++； （2）设01,,,z a b c =分别为ABC ∆三边长，试判断ABC ∆的形状，并说明理由；
（3）设,,a b c 为不全相等的实数，试判断"0"a b c ++=是“222
000o x y z ++>”的 条
件，并证明.①充分非必要；②必要非充分；③充分且必要；④非充分非必要. 【答案】（1）见解析（2）等边，见解析（3）④，见解析 【解析】 【分析】
（1）将行列式的前两列加到第三列上即可得出结论；
（2）由方程组有非零解得出a b
c c
a b b
c a =0，即1
11
a b c a b c =0，将行列式展开化简即可得出a ＝b ＝c ；
（3）利用（1），（2）的结论即可答案． 【详解】
（1）证明：将行列式的前两列加到第三列上，
得：a b c
a b a b c c
a b c a a b c b c a b c a b c ++=++=++（a +b +c ）•1
11
a b c a b c ．
（2）∵z 0＝1，∴方程组有非零解，
∴a b
c c
a b b
c
a
=0，由（1）可知（a +b +c ）•111
a b c a b c =0． ∵a 、b 、c 分别为△ABC 三边长，∴a +b +c ≠0，
∴1
11
a b c
a b c =0，即a 2+b 2+c 2﹣ab ﹣bc ﹣ac ＝0，
∴2a 2+2b 2+2c 2﹣2ab ﹣2bc ﹣2ac ＝0，即（a ﹣b ）2+（b ﹣c ）2+（a ﹣c ）2＝0， ∴a ＝b ＝c ，
∴△ABC 是等边三角形．
（3）若a +b +c ＝0，显然（0，0，0）是方程组的一组解，即x 02+y 02+z 02＝0， ∴a +b +c ＝0”不是“x 02+y 02+z 02＞0”的充分条件； 若x 02+y 02+z 02＞0，则方程组有非零解，
∴a b
c c
a b b
c
a
=（a +b +c ）•111
a b c a b c =0． ∴a +b +c ＝0或1
11
a b c
a b c =0．
由（2）可知a +b +c ＝0或a ＝b ＝c ． ∴a +b +c ＝0”不是“x 02+y 02+z 02＞0”的必要条件． 故答案为④． 【点睛】
本题考查了行列式变换，齐次线性方程组的解与系数行列式的关系，属于中档题．
2．已知关于x 、y 的二元一次方程组()4360
260x y kx k y +=⎧⎨++=⎩
的解满足0x y >>，求实数k
的取值范围.
【答案】5,42⎛⎫ ⎪⎝⎭
【解析】 【分析】
由题意得知0D ≠，求出x D 、y D 解出该方程组的解，然后由0
0x y D >>⎧⎨≠⎩
列出关于k 的不
等式组，解出即可. 【详解】
由题意可得()4238D k k k =+-=+，()601x D k =-，()604y D k =-.
由于方程组的解满足0x y >>，则0D ≠，该方程组的解为()()6018
6048x y k D x D k D k y D k ⎧-==⎪⎪+⎨-⎪==⎪+⎩
，
由于00
D x y y ≠⎧⎪>⎨⎪>⎩，即()()()806016048860408
k k k k k k k ⎧⎪+≠⎪--⎪>⎨++⎪⎪->⎪+⎩，整理得80
2508408k k k k k ⎧
⎪+≠⎪
-⎪>⎨
+⎪-⎪<⎪+⎩，解得542k <<.
因此，实数k 的取值范围是5,42⎛⎫ ⎪⎝⎭
. 【点睛】
本题考查二元一次方程组的求解，同时也考查了分式不等式的求解，考查运算求解能力，属于中等题.
3．解关于x ，y 的方程组21
22ax y a ax ay a
+=+⎧⎨-=-⎩.
【答案】见解析 【解析】 【分析】
根据对应关系，分别求出D ，x D ，y D ，再分类讨论即可 【详解】 由题可得：()1
22a D a a a a
=
=-+-，()2211=212x a D a a
a
+=
-+--，
221522y a a D a a
a
+=
=--.
所以，（1）当0a ≠且2a ≠-时，()
()221252a x a a a y a ⎧+⎪=⎪+⎨⎪=⎪+⎩
； 当0a =或2-时，0x D ≠，方程组无解 【点睛】
本题考查二元一次方程的解与行列式的对应关系，属于中档题
4．求证：sin cos 1
sin 2cos 21sin 22sin sin 3cos31
x
x x
x x x x
x =-. 【答案】证明见解析
【解析】 【分析】
先利用三阶矩阵的计算方法，化简等式的左边，再结合两角差的正弦公式化简即可证明． 【详解】
sin cos 1
sin 2cos 2sin cos sin cos sin 2cos 21sin 3cos3sin 3cos3sin 2cos 2sin 3cos31
x x x x x x x x x x x x x x x x
x
x =
-+=sin （-x ）-sin
（-2x ）+sin （-x ）=sin 2x -sin 2x . 【点睛】
本题考查行列式的运算法则及性质的应用，变换的能力及数学分析能力，涉及两角和差的正弦公式，属于中档题．
5．已知P :
矩阵图511
0x x ⎛⎫+
⎪
+ ⎪ ⎝的某个列向量的模不小于2；Q :行列式114
2031
2
1
m
x ----中元素1-的代数余子式的值不大于2,若P 是Q 成立的充分条件,求实数m 的取值范围.
【答案】[2,)+∞ 【解析】 【分析】
先根据行列式中元素1-的代数余子式的值求出P ，再根据矩阵图某个列向量的模不小于2求出Q ，结合P 是Q 成立的充分条件可得实数m 的取值范围. 【详解】
因为矩阵图511
0x x ⎛⎫+
⎪+ ⎪ ⎝的某个列向量的模不小于2，所以5
21x x +≥+，解得
13x -≤≤；
因为行列式1
1
4
2
031
2
1
m
x ----中元素1-的代数余子式的值不大于2，所以23
2321
1
m
m x x --=-+≤，即21m x ≤-； 因为P 是Q 成立的充分条件，所以213m -≥，解得2m ≥；故实数m 的取值范围是[2,)+∞.
【点睛】
本题主要考查矩阵和行列式的运算及充分条件，明确矩阵和行列式的运算规则是求解的关键，充分条件转化为集合的包含关系，侧重考查数学运算的核心素养.
6．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c
，且sin
cos
sin 222sin
cos 022sec
1
2
A A c
B
B B -=-求角
C 的大小.
【答案】
2
π 【解析】 【分析】
先将三阶行列式化简，结合三角形内角和与诱导公式、辅助角公式化简即可求值 【详解】
由sin
cos
sin 222sin
cos 0sin cos sin sin cos 2222222sec
1
2
A A c
B
B A B
C B A B -=⇒++=-
sin sin 22A B C +⎛⎫
⇒+= ⎪
⎝⎭
又()C A B π=-+，∴ sin sin cos 222A B C C π+-⎛⎫
==
⎪
⎝⎭
，
sin sin sin cos 2222A B C C C +⎛⎫
+=⇔+= ⎪
⎝⎭
，
sin 12424C C ππ⎛⎫⎛⎫
+=⇒+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，又Q 3,
2444C πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭
，242C ππ
+=∴， 解得2
C π
=
【点睛】
本题考查三阶行列式的化简求值，三角函数的诱导公式、辅助角公式的使用，属于中档题
7．设函数()()271f x x ax a R =-++∈. (1)若1a =-，解不等式()0f x ≥； (2)若当
01x
x
>-时，关于x 的不等式()1f x ≥恒成立，求a 的取值范围； (3)设()1
21
x g a x x +-=
-，若存在x 使不等式()()f x g x ≤成立，求a 的取值范围.
【答案】（1）[)8,6,3
⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝
⎦
U ；（2）5a ≥-；（3）4a ≥-.
【解析】 【分析】
（1）利用零点分段讨论可求不等式的解.
（2）
01x
x
>-的解为()0,1，在该条件下()1f x ≥恒成立即为()720a x +->恒成立，参变分离后可求实数a 的取值范围.
（3）()()f x g x ≤有解即为12722a x x -≥---有解，利用绝对值不等式可求
()2722h x x x =---的最小值，从而可得a 的取值范围.
【详解】
（1）当1a =-时，()0f x ≥即为2710x x --+≥.
当72x ≥时，不等式可化为72
2710x x x ⎧≥⎪
⎨⎪--+≥⎩，故6x ≥； 当7
2x <时，不等式可化为72
7210
x x x ⎧
<⎪⎨⎪--+≥⎩，故83x ≤. 综上，()0f x ≥的解为[)8,6,3
⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝
⎦
U .
（2）
01x
x
>-的解为()0,1， 当()0,1x ∈时，有()()72182f x x ax a x =-++=+-，
因为不等式()1f x ≥恒成立，故()821a x +->即()27a x ->-在()0,1上恒成立， 所以72a x ->-
在()0,1上恒成立，而7
7x
-<-在()0,1上总成立， 所以27a -≥-即5a ≥-. 故实数a 的取值范围为5a ≥-.
（3）()1
211
2
x g x x ax a x a +=
=-++--， ()()f x g x ≤等价于27121x ax x ax a -++≤-++，
即27211x x a ---≤-在R 上有解. 令()27212722h x x x x x =---=---，
由绝对值不等式有272227225x x x x ---≤--+=，
所以527225x x -≤---≤，当且仅当7
2
x ≥时，27225x x ---=-成立， 所以()min 5h x =-，故15a -≥-即4a ≥-. 故实数a 的取值范围为4a ≥-. 【点睛】
解绝对值不等式的基本方法有零点分段讨论法、图象法、平方法等，利用零点分段讨论法时注意分类点的合理选择.绝对值不等式指：a b a b a b -≤+≤+及
a b a b a b -≤-≤+，我们常利用它们求含绝对值符号的函数的最值.
8．用矩阵变换的方法，解二元一次方程组23
42x y x y =⎧⎨
-=⎩
－
【答案】17
107x y ⎧
=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
【解析】 【分析】
先将方程组化为矩阵，再根据矩阵运算求结果. 【详解】
2312342412x y x x y y =-⎧⎡⎤⎡⎤⎡⎤⇒=⎨⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=-⎩⎣⎦⎣⎦⎣⎦
－ 所以1
1
2112337
774124
12107
77x y -⎡⎤⎡⎤
-
⎢⎥⎢⎥-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥
--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
因此17
107x y ⎧
=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
【点睛】
本题考查利用矩阵解方程组，考查基本分析求解能力，属基础题.
9．已知a ，b ，c ，d 四个城市，它们之间的道路联结网如图所示，试用矩阵表示这四个城市组成的道路网络.
【答案】02102
0301
3020
02
2a b c d
a b c d
⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 【解析】 【分析】
根据图像计算每两个城市之间的道路数，得到答案. 【详解】
根据图像计算每两个城市之间的道路数，如：,a b 之间有2条路；,b c 之间有3条路；
同理得到矩阵： 02102
0301
3020
02
2a b c d
a b c d
⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 【点睛】
本题考查了矩阵表示道路网络，意在考查学生的应用能力.
10．已知ABC ∆的顶点坐标分别为(5,0)A -、(3,3)B -、(0,2)C ，请分别运用行列式、向量、平面解析几何知识，用其中两种不同方法求ABC ∆的面积.
【答案】
312
【解析】 【分析】
解法一：用行列式求解，面积公式为1
12
23
31
11
ABC x y S x y x y ∆=，代入点的坐标求解即可；解法二：平面解析几何知识求解，先求出直线BC 的方程、点A 到直线BC 的距离d 及BC ，利用1
2
ABC S BC d ∆=⋅⋅计算即可. 【详解】
解法一：行列式求解，
1
12
23
315013113
312
1
2
1
ABC x y S x y x y ∆-==-=
； 解法二：平面解析几何知识求解， 直线BC 的方程为：
33
53
y x +-=-，即：5360x y +-=， 点A 到直线BC
的距离34d =
=
=，
BC ==
所以1131
222
ABC S BC d ∆=⋅⋅==. 【点睛】
本题考查利用三阶行列式计算三角形面积、利用平面向量知识计算三角形面积、利用平面解析几何知识求解三角形面积，属于基础题.
11．已知矩阵4321M -⎡⎤
=⎢⎥
-⎣⎦
，向量75α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦u r . （1）求矩阵M 的特征值及属于每个特征值的一个特征向量； （2）求3M α.
【答案】（1）特征值为11λ=，22λ=，分别对应的特征向量为11⎡⎤⎢⎥⎣⎦和32⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，（2）
34933M α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
r .
【解析】 【分析】
（1）根据特征值的定义列出特征多项式，令()0f λ=解方程可得特征值，再由特征值列出方程组即可解得相应的特征向量；（2）7132512α⎛⎫⎡⎤⎡⎤==+ ⎪⎢⎥⎢⎥
⎝⎭⎣⎦⎣⎦
r g ，即可求3M αr ． 【详解】
（1）矩阵M 的特征多项式为()(1)(2)f λλλ=--， 令()0f λ=，可求得特征值为11λ=，22λ=， 设11λ=对应的一个特征向量为x y α⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
，
则由1M λαα=，得330x y -+=，可令1x =，则1y =-，
所以矩阵M 的一个特征值11λ=对应的一个特征向量为11⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，
同理可得矩阵M 的一个特征值22λ=对应的一个特征向量为32⎡⎤
⎢⎥⎣⎦．
（2）7132512α⎛⎫⎡⎤
⎡⎤==+ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦
r g
所以33
1349221233M α⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+⨯⨯=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
r ．
【点睛】
本题主要考查了矩阵特征值与特征向量的计算等基础知识，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．
12．已知关于x ,y 的一元二次方程组：22
3(1)21
mx y x m y m +=⎧⎨+-=+⎩，当实数m 为何值时，并
在有解时求出方程组的解. （1）方程组有唯一解？ （2）方程组无解？ （3）方程组有无穷多解？
【答案】（1）2m ≠-且3m ≠，23233x m
m y m ⎧=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩
；（2）3m =；（3）2m =-
【解析】 【分析】
分别求出二元一次方程组对应的,,x y D D D ，再根据有唯一解、无解、无穷多解情况求解即可； 【详解】 一元二次方程组：22
3(1)21
mx y x m y m +=⎧⎨+-=+⎩对应的
()()22
63231
m D m m m m m =
=--=-+-
()2222211x D m m m =
=-++-，()()2
232321
y m D m m m ==-++
（1）当0D ≠时，方程组有唯一解，即3m ≠且2m ≠-，此时23233x y D x D m
D m y D m ⎧
==⎪⎪-⎨-⎪==⎪-⎩
，即
23233x m
m y m ⎧=⎪⎪-⎨
-⎪=⎪-⎩
； （2）方程组无解的情况等价于0D =时，0x D ≠或者0y D ≠，即只有3m =时符合情况；
（3）方程组有无穷多解等价于0,0,0x y D D D ===，符合的解只有2m =- 【点睛】
本题考查二元一次方程组用二阶行列式求解解的情况，属于中档题
13．用行列式解关于x 、y 的方程组3
(31)484
mx y m x my m -=⎧⎨
+-=+⎩，并讨论说明解的情况.
【答案】当1m =时，无穷解；当14
m =-
时，无解；当1m ≠且1
4m ≠-时，有唯一解，
441x m =
+，83
41m y m +=-
+. 【解析】 【分析】 先求出系数行列式D ，x D ，y D ，然后讨论m ，从而确定二元一次方程解的情况． 【详解】 解：
3(31)484mx y m x my m -=⎧⎨+-=+⎩
Q 21
431(41)(1)431m
m D m m m m m -∴+-==-+=+-++，
44431
48x D m m
m -==--+，
()()23
853*******
y m D m m m m m m =
=--+++=-，
①当1m ≠且1
4
m ≠-时，0D ≠，原方程组有唯一解，
即144(41)4(14)x D m x m D m m -=
==+++-，()()()()83183
41141
y D m m m y D m m m +-+===-+-++， ②当1m =时，0D =，0x D =，0y D =，原方程组有无穷解． ③当1
4
m =-时，0D =，0x D ≠，原方程无解． 【点睛】
本题主要考查了行列式，以及二元一次方程的解法，属于基础题．
14．已知函数cos 2()sin 2m x f x n
x
=
的图象过点(
12
π
和点2(
,2)3
π
-. （1）求函数()f x 的最大值与最小值；
（2）将函数()y f x =的图象向左平移(0)ϕϕπ<<个单位后，得到函数()y g x =的图象；已知点(0,5)P ，若函数()y g x =的图象上存在点Q ，使得||3PQ =，求函数
()y g x =图象的对称中心.
【答案】（1）()f x 的最大值为2，最小值为2-；（2）(,0)()24
k k Z ππ
+∈. 【解析】 【分析】
（1）由行列式运算求出()f x ，由函数图象过两点，求出,m n ，得函数解析式，化函数式为一个角的一个三角函数式，可求得最值；
（2）由图象变换写出()g x 表达式，它的最大值是2，因此要满足条件，只有(0,2)Q 在
()g x 图象上，由此可求得ϕ，结合余弦函数的性质可求得对称中心．
【详解】
（1）易知()sin 2cos 2f x m x n x =-
，则由条件，得sin cos 66
44sin cos 233m n m n ππππ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩
，
解得 1.m n =
=-
故()2cos22sin(2)6
f x x x x π
=+=+
.
故函数()f x 的最大值为2，最小值为 2.-
（2）由（1）可知： ()()2sin(22)6
g x f x x π
ϕϕ=+=++
.
于是，当且仅当(0,2)Q 在()y g x =的图象上时满足条件.
(0)2sin(2)26g πϕ∴=+=. 由0ϕπ<<，得.6
π
ϕ=
故()2sin(2)2cos 22
g x x x π
=+
=. 由22
x k =+
π
π，得().24
k x k Z ππ
=
+∈ 于是，函数()y g x =图象的对称中心为：(,0)()24
k k Z ππ
+∈. 【点睛】
本题考查行列式计算，考查两角和的正弦公式，图象平移变换，考查三角函数的性质，如最值、对称性等等．本题主要是考查知识点较多，但不难，本题属于中档题．
15．设函数()271f x x ax =-++（a 为实数）.
（1）若1a =-，解不等式()0f x ≥； （2）若当
01x
x
>-时，关于x 的不等式()1f x ≥成立，求a 的取值范围； （3）设21
()1
x g x a
x +=
--，若存在x 使不等式()()f x g x ≤成立，求a 的取值范围. 【答案】(1)8
{|3
x x ≤或6}x ≥;(2)[5,)-+∞;(3)[4,)-+∞ 【解析】 【分析】
(1)代入1a =-直接解不等式即可; (2)由
01x
x
>-解得01x <<,故可将()1f x ≥化为(2)70a x -+≥,从而求出a 的范围; (3)化简()g x ,故可将题设条件变为:存在x 使1|27||22|a x x -≥---成立,因此求出2722x x ---的最小值即可得出结论.
【详解】
(1)若1a =-,则()271f x x x =-+- 由()0f x ≥得|27|1x x -≥-, 即270271x x x ->⎧⎨
-≥-⎩或270
721x x x -≤⎧⎨
-≥-⎩
, 解得6x ≥或8
3
x ≤
, 故不等式的解集为8
{|3
x x ≤或6}x ≥; (2)由
01x
x
>-解得01x <<, 由()1f x ≥得|27|0x ax -+≥,
当01x <<时,该不等式即为(2)70a x -+≥,
设()(2)7F x a x =-+,则有(0)70
(1)50F F a =>⎧⎨=+≥⎩
解得5a ≥-,
因此实数a 的取值范围为[5,)-+∞; (3)21
()1
x g x a
x +=
--2|1|(1)x a x =-++, 若存在x 使不等式()()f x g x ≤成立,
即存在x 使271x ax -++2|1|(1)x a x ≤-++成立, 即存在x 使1|27||22|a x x -≥---成立,
又272227(22)5x x x x ---≤---=, 所以527225x x -≤---≤, 所以15a -≥-,即4a ≥-, 所以a 的取值范围为:[4,)-+∞ 【点睛】
本题主要考查了绝对值不等式,结合了恒成立,能成立等问题,属于综合应用题.解决恒成立,能成立问题时,常将其转化为最值问题求解.
16．用行列式讨论下列关于x 、y 、z 的方程组121ax y z x y az x y z --=⎧⎪
+-=⎨⎪--=⎩
的解的情况，并求出相应
的解.
【答案】（i ）当1a ≠±时有唯一解.∴方程组的解为：02131x a y a z a ⎧
⎪=⎪
-⎪
=⎨+⎪
⎪=-⎪+⎩
；
（ii ）当1a =-时，无解；
(iii) 当1a =时,有无穷多解.∴通解为：3212x t y z t ⎧
=+⎪⎪
⎪
=⎨⎪=⎪⎪⎩
.
【解析】 【分析】
首先由二元一次方程组得到矩阵：,,,x y z D D D D ，然后根据条件判断a 的不同取值方程组解的情况，并分类讨论. 【详解】
方程组可转化为： 1 111 1 21 1 11a x a y z --⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥
-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦
2 1 1
1 1 1(1)(1)1 1 1
a D a a a a --=-=-=-+---,
21 1 1 1 1 1 12 1 0, 1 2 32, 1 1 2331 1 1
1 1 1
1 1 1
x y z a a D a D a a a D a ----=-==-=-+==-----Q
（i ）当1a ≠±时有唯一解.∴方程组的解为：02131x a y a z a ⎧
⎪=⎪
-⎪
=⎨+⎪
⎪=-⎪+⎩
；
（ii ）当1a =-时，无解；
(iii ) 当1a =时,有无穷多解.∴通解为：3212x t y z t ⎧=+⎪⎪
⎪
=⎨⎪=⎪⎪⎩
.
【点睛】
本题考查了二元一次方程组和矩阵形式、以及行列式值的计算，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于中档题.
17．
在平面直角坐标系xOy 中，直线20x y +-=在矩阵12a A b ⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
对应的变换作用下得到
的直线仍为20x y +-=，求矩阵A 的逆矩阵1A -.
【答案】_1
112102A ⎡⎤-⎢⎥=⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
. 【解析】 试题分析：
应用结合矩阵变换的定义可得：01b a =⎧⎨=-⎩
，据此求解逆矩阵可得：_1
112102A ⎡
⎤-⎢⎥=⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
. 试题解析：
设(),P x y 是直线20x y +-=上任意一点，其在矩阵110
2
A -=
对应的变化下得到
122a x x ay b y bx y +⎡⎤⎡⎤⎡⎤
=⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦⎣⎦
仍在直线上， 所以得220x ay bx y +++-=， 与20x y +-=比较得1121b a +=⎧⎨+=⎩，解得0
1b a =⎧⎨=-⎩，故
1102A -⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
, 求得逆矩阵_1
112102A ⎡
⎤-⎢⎥=⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
.
18．已知矩阵12A c d ⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
（c ，d 为实数）.若矩阵A 属于特征值2，3的一个特征向量分
别为21⎡⎤⎢⎥⎣⎦，11⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，求矩阵A 的逆矩阵1A -.
【答案】1
2133116
6A -⎡⎤
-⎢⎥=⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
【解析】 【分析】
根据特征值的定义可知A αλα=，利用待定系数法建立等式关系，求出矩阵A ，即可求出逆矩阵1A -． 【详解】
解：由题意知，122422121c d c d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，12131311c d c d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤
==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 所以223c d c d +=⎧⎨+=⎩，解得1
4c d =-⎧⎨
=⎩
. 所以1214A ⎡⎤=⎢⎥
-⎣⎦
，所以1
2
133116
6A -⎡⎤
-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
. 【点睛】
本题主要考查了二阶矩阵，以及特征值与特征向量的计算，属于基础题．
19．已知矩阵2132A ⎡⎤=⎢
⎥⎣⎦，列向量x X y ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，47B ⎡⎤=⎢⎥
⎣⎦
，且AX B =.
（1）求矩阵A 的逆矩阵1A -； （2）求x ，y 的值. 【答案】（1）1
2132A --⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦（2）1
2x y =⎧⎨=⎩
【解析】 【分析】
（1）求出二阶矩阵对应的行列式值不为0，进而直接代入公式求得逆矩阵； （2）由AX B =可得1
214327X A B --⎡⎤⎡⎤
==⎢⎥⎢⎥
-⎣⎦⎣⎦
，计算矩阵的乘法，即可得答案. 【详解】 （1）由2132A ⎡⎤=⎢
⎥⎣⎦，()det 223110A =⨯-⨯=≠，所以A 可逆，从而1
2132A --⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦
. （2）由AX B =得到1
21413272X A B --⎡⎤⎡⎤⎡⎤
===⎢
⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦
， ∴1
2x y =⎧⎨
=⎩
. 【点睛】
本题考查公式法求矩的逆矩阵及矩阵的乘法计算，考查运算求解能力，属于基础题.
20．[选修4-2：矩阵与变换]
已知矩阵11a A b ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦的一个特征值为2，其对应的一个特征向量为21α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦． 若x a A y b ⎡⎤⎡⎤
=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
，求x ，y 的值．
【答案】x ，y 的值分别为0，1．
【解析】
试题分析：利用矩阵的乘法法则列出方程，解方程可得x ，y 的值分别为0，1． 试题解析：
由条件知，2A αα=，即][1222111a b ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦，即][2422a b +⎡⎤=⎢⎥-+⎣⎦
， 所以24,{
22,a b +=-+= 解得2,{ 4.a b == 所以1214A ⎡⎤
=⎢⎥-⎣⎦
． 则][][][12221444x
x x y A y y x y +⎡⎤⎡⎤===⎢
⎥⎢⎥
--+⎣⎦⎣⎦
，所以22,{44,x y x y +=-+= 解得0,{ 1.x y == 所以x ，y 的值分别为0，1．。