江西省吉安一中高三数学上学期第一次段考试卷 文(含解析)

江西省吉安一中2015届高三上学期第一次段考数学试卷（文科）
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．（5分）复数Z满足（1+i）Z=|1﹣i|，是Z的虚部为（）
A．﹣i B．i C．﹣D．
2．（5分）将函数y=sinx+cosx的图象向左平移m（m＞0）个长度单位后，所得到的函数为偶函数，则m的最小值是（）
A．B．C．D．
3．（5分）已知全集U=R，A={x|log2x＜0}，B={x|≤1}则（∁U A）∩B=（）
A．（1，+∞）B．B．（﹣∞，] C．（0，] D．（﹣∞，﹣]
6．（5分）已知数列{a n}满足a n+1=a n﹣a n﹣1（n≥2）a1=1，a2=3，记S n=a1+a2+…+a n，则下列结论正确的是（）
A．a2014=﹣1，S2014=2 B．a2014=﹣3，S2014=5
C．a2014=﹣3，S2014=2 D．a2014=﹣1，S2014=5
7．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间B．C．
D．（0，2]
8．（5分）若为单位向量，且=0，，则的最大值为（）
A．﹣1 B．1 C．D．2
9．（5分）设函数f（x）的导函数为f′（x），对任意x∈R都有f′（x）＞f（x）成立，则（）
A．3f（ln2）＞2f（ln3）B．3f（ln2）=2f（ln3）
C．3f（ln2）＜2f（ln3）D．3f（ln2）与2f（ln3）的大小不确定
10．（5分）已知正三角形ABC的边长为2，D，E分别为边AB，AC上的点（不与△ABC的顶点重合）且D E∥BC，沿DE折起，使平面ADE⊥平面BCED，得如图所示的四棱锥，设AD=x，则四棱锥A﹣BCED的体积V=f（x）的图象大致是（）
A．B．C．
D．
二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分）
11．（5分）在函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的一个周期内，当x=时有最大值，当x=时有最小值﹣，若φ∈（0，），则函数解析式f（x）=．
12．（5分）在实数的原有运算中，我们补充定义新运算“⊕”如下：当a≥b时，a⊕b=a；当a＜b时，a⊕b=b2．设函数f（x）=（1⊕x）x﹣（2⊕x），x∈，则函数f（x）的值域为．
13．（5分）已知幂函数在区间（0，+∞）上单调递增，则实数m 的值为．
14．（5分）已知函数f（x）=x2，（x∈），g（x）=a2sin（2x+）+3a，x∈），∀x1∈，总∃x0∈，使得g（x）=f（x1）成立，则实数a的取值范围是．
15．（5分）已知函数f（x）=e x+alnx的定义域是D，关于函数f（x）给出下列命题：
①对于任意a∈（0，+∞），函数f（x）是D上的减函数；
②对于任意a∈（﹣∞，0），函数f（x）存在最小值；
③对于任意a∈（0，+∞），使得对于任意的x∈D，都有f（x）＞0成立；
④存在a∈（﹣∞，0），使得函数f（x）有两个零点．
其中正确命题的序号是．（写出所有正确命题的序号）
三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．（12分）已知函数f（x）=2sinx•cos2+cosx•sinθ﹣sinx（0＜θ＜π）在x=π处取
最小值．
（1）求θ的值；
（2）在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，已知a=1，b=，求角C．
17．（12分）已知m∈R，设p：不等式|m2﹣5m﹣3|≥3；q：函数f（x）=x3+mx2+（m+）x+6在（﹣∞，+∞）上有极值．求使p且q为真命题的m的取值范围．
18．（12分）已知等差数列{a n}的公差大于0，且a3，a5是方程x2﹣14x+45=0的两根，数列{b n}的前n项的和为S n，且S n=1﹣
（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；
（2）记c n=a n b n，求证c n+1≤c n．
19．（12分）在△ABC中，a，b，c分别是角A、B、C的对边，=（2b﹣c，cosC），=（a，cosA），且∥．
（1）求角A的大小；
（2）求y=2sin2B+cos（﹣2B）的值域．
20．（13分）已知f（x）=x2+bln（x+1）其中b∈R．
（1）若对f（x）定义域内的任意x，都有f（x）≥f（1），求b的值；
（2）若函数f（x）在其定义域内是单调函数，求b的取值范围；
（3）若b=﹣1，证明：对任意的正整数n，不等式f（）＜1+++…+都成立．
21．（14分）已知函数f（x）=e x（x2+ax+b）的图象在x=0处的切线方程为y=3，其中有e 为自然对数的底数．
（1）求a，b的值；
（2）当﹣2＜x＜t时，证明f（t）＞；
（3）对于定义域为D的函数y=g（x）若存在区间⊆D时，使得x∈时，y=g（x）的值域是．则称是该函数y=g（x）的“保值区间”．设h（x）=f（x）+（x﹣2）e x，x∈（1，+∞），问函数y=h（x）是否存在“保值区间”？若存在，求出一个“保值区间”，若不存在，说明理由．
江西省吉安一中2015届高三上学期第一次段考数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．（5分）复数Z满足（1+i）Z=|1﹣i|，是Z的虚部为（）
A．﹣i B．i C．﹣D．
考点：复数代数形式的乘除运算．
专题：数系的扩充和复数．
分析：利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出．
解答：解：∵复数Z满足（1+i）Z=|1﹣i|，
∴Z===，
∴Z的虚部为﹣．
故选：C．
点评：本题考查了复数的运算法则、虚部的定义，属于基础题．
2．（5分）将函数y=sinx+cosx的图象向左平移m（m＞0）个长度单位后，所得到的函数为偶函数，则m的最小值是（）
A．B．C．D．
考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
专题：计算题；三角函数的图像与性质．
分析：先根据左加右减的原则进行平移得到平移后的解析式，再由其关于y轴对称得到sin（x+m+）=sin（﹣x+m+），再由两角和与差的正弦公式展开后由三角函数的性质可求得m的值，从而得到最小值．
解答：解：y=sinx+cosx=sin（x+）然后向左平移m（m＞0）个单位后得到
y=sin（x+m+）的图象为偶函数，关于y轴对称
∴sin（x+m+）=sin（﹣x+m+）
∴sinxcos（m）+cosxsin（m+）=﹣sinxcos（m）+cosxsin（m）
∴sinxcos（m）=0
∴cos（m）=0
∴m=2kπ+，m=2kπ+．k∈Z
∴m的最小值为．
故选：A．
点评：本题主要考查三角函数的平移和两角和与差的正弦公式．注意平移时要根据左加右减上加下减的原则进行平移．
3．（5分）已知全集U=R，A={x|l og2x＜0}，B={x|≤1}则（∁U A）∩B=（）
A．（1，+∞）B．
分析：解对数不等式log2x＜0，可以求出集合A，进而求出集合CuA，解分式不等式可以求出集合B，代入（CuA）∩B即可得到答案．
解答：解：∵A={x|log2x＜0}=（0，1）
∴C u A=（﹣∞，0]∪B．（﹣∞，] C．（0，] D．（﹣∞，﹣]
考点：简单线性规划的应用．
专题：计算题；数形结合．
分析：本题考查的知识点是简单线性规划的应用，我们要先画出满足约束条件
的平面区域，然后分析平面区域里各个角点，然后将其代入y=kx﹣3k中，求出y=kx﹣3k对应的k的端点值即可．
解答：解：满足约束条件的平面区域如图示：
因为y=kx﹣3k过定点D（3，0）．
所以当y=kx﹣3k过点A（0，1）时，找到k=﹣
当y=kx﹣3k过点B（1，0）时，对应k=0．
又因为直线y=kx﹣3k与平面区域M有公共点．
所以﹣≤k≤0．
故选A．
点评：在解决线性规划的小题时，我们常用“角点法”，其步骤为：①由约束条件画出可行域⇒②求出可行域各个角点的坐标⇒③将坐标逐一代入目标函数⇒④验证，求出最优解．
6．（5分）已知数列{a n}满足a n+1=a n﹣a n﹣1（n≥2）a1=1，a2=3，记S n=a1+a2+…+a n，则下列结论正确的是（）
A．a2014=﹣1，S2014=2 B．a2014=﹣3，S2014=5
C．a2014=﹣3，S2014=2 D．a2014=﹣1，S2014=5
考点：数列的求和．
专题：点列、递归数列与数学归纳法．
分析：根据数列的递推关系得到数列{a n}是周期数列，即可得到结论．
解答：解：∵a n+1=a n﹣a n﹣1（n≥2）a1=1，a2=3，
∴a3=3﹣1=2，a4=2﹣3=﹣1，a5=﹣1﹣2=﹣3，a6=﹣3﹣（﹣1）=﹣2，a7=﹣2﹣（﹣3）=1，a7=1﹣（﹣2）=3
…
即数列{a n}是周期数列，周期是6，
则a2014=a335×6+4=a4=﹣1，
a1+a2+…+a6=1+3+…+（﹣2）=0，
则S2014=335×（a1+a2+…+a6）+a1+a2+a3+a4=1+3+2﹣1=5，
故选：D
点评：本题主要考查数列的通项公式和前n项和，根据数列的递推关系得到数列{a n}是周期数列是解决本题的关键．
7．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间B．C．
D．（0，2]
考点：奇偶性与单调性的综合．
专题：函数的性质及应用．
分析：根据偶函数的定义将所给的式子化为：f（|log2a|）≤f（1），再利用偶函数的单调性列出关于a的不等式求解．
解答：解：∵f（x）是定义在R上的偶函数，
∴，
∴可变为f（log2a）≤f（1），
即f（|log2a|）≤f（1），
又∵在区间，则函数f（x）的值域为．
考点：函数的值域．
分析：首先理解新定义，按x与1 的大小分类，将f（x）转化为我们熟悉的函数，再求其值域即可．
解答：解：当﹣2≤x≤1时，1⊕x=1，2⊕x=2，所以f（x）=（1⊕x）x﹣（2⊕x）=x﹣2∈，当1＜x≤2时，1⊕x=x2，2⊕x=2，f（x）=x3﹣2∈（﹣1，6]，
综上可得，函数f（x）的值域为
故答案为：
点评：本题考查函数的值域问题、分类讨论问题，考查对问题的分析理解能力．
13．（5分）已知幂函数在区间（0，+∞）上单调递增，则实数m
的值为3．
考点：幂函数的单调性、奇偶性及其应用．
专题：计算题；函数的性质及应用．
分析：利用幂函数的定义，及在区间（0，+∞）上单调递增，建立关系式，即可求实数m 的值．
解答：解：由题意，∵幂函数在区间（0，+∞）上单调递增，∴
∴m=3
故答案为：3
点评：本题考查幂函数的定义与性质，考查计算能力，属于基础题．
14．（5分）已知函数f（x）=x2，（x∈），g（x）=a2sin（2x+）+3a，x∈），∀x1∈，总
∃x0∈，使得g（x）=f（x1）成立，则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣4]∪，
成立得到函数
f（x）的值域是函数g（x）的值域的子集，建立不等关系即可．
解答：解：∵x∈
∴sin（2x+）
则的值域为
而f（x）=x2，（x∈）的值域为
∵∀x1∈，成立
∴⊆
则，解得a∈（﹣∞，﹣4]∪∪
不等式②的解为m≤﹣1或m≥6．
所以，当m≤﹣1或0≤m≤5或m≥6时，p为真命题．
对函数f（x）=求导得，
f′（x）=3x2+2mx+m+
令f′（x）=0，即3x2+2mx+m+=0，
当且仅当△＞0时，函数f（x）在（﹣∞，+∞）上有极值．
由△=4m2﹣12m﹣16＞0得m＜﹣1或m＞4，
所以，当m＜﹣1或m＞4时，q为真命题．
综上所述，使p且q为真命题时，实数m的取值范围为
（﹣∞，﹣1）∪（4，5]∪
18．（12分）已知等差数列{a n}的公差大于0，且a3，a5是方程x2﹣14x+45=0的两根，数列{b n}的前n项的和为S n，且S n=1﹣
（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；
（2）记c n=a n b n，求证c n+1≤c n．
考点：等差数列的通项公式；等比数列的通项公式；数列递推式．
专题：计算题；证明题．
分析：（1）根据a3，a5是方程x2﹣14x+45=0的两根，求得a3和a5，则公差可求，进而求得数列{a n}，的通项公式，代入S n=1﹣中根据
b n=S n﹣S n﹣1求得n≥2时的判断出其为等比数列，公比为进而根据等比数列的通
项公式求得b n．
（2）把（1）中求得的a n和b n代入c n=a n b n，求得c n，进而可求得c n+1﹣c n求得结果小于等于0，原式得证．
解答：解：（1）∵a3，a5是方程x2﹣14x+45=0的两根，且数列{a n}的公差d＞0，
∴a3=5，a5=9，公差
∴a n=a5+（n﹣5）d=2n﹣1．
又当n=1时，有b1=S1=1﹣
当
∴数列{b n}是等比数列，
∴
（2）由（Ⅰ）知，
∴
∴c n+1≤c n．
点评：本题主要考查了等差数列的通项公式和等比数列的通项公式，属基础题．19．（12分）在△ABC中，a，b，c分别是角A、B、C的对边，=（2b﹣c，cosC），=（a，
cosA），且∥．
（1）求角A的大小；
（2）求y=2sin2B+cos（﹣2B）的值域．
考点：平面向量数量积坐标表示的应用；两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦；正弦函数的定义域和值域；正弦定理的应用．
分析：（1）用向量的共线的充要条件及三角形中的正弦定理求得角A．
（2）用三角函数的二倍角公式化简函数，再利用正弦函数的图象求出范围．
解答：解：（1）由∥得（2b﹣c）•cosA﹣acosC=0，
由正弦定理得2sinBcosA﹣sinCcosA﹣sinAcosC=0，2sinBcosA﹣sin（A+C）=0，
∴2sinBcosA﹣sinB=0，
∵，∴
（2），=．
=，
由（1）得，
∴∴．
答：角A的大小；函数的值域为
点评：本题考查向量与三角函数相结合的综合问题，是2015届高考中常出现的形式．
20．（13分）已知f（x）=x2+bln（x+1）其中b∈R．
（1）若对f（x）定义域内的任意x，都有f（x）≥f（1），求b的值；
（2）若函数f（x）在其定义域内是单调函数，求b的取值范围；
（3）若b=﹣1，证明：对任意的正整数n，不等式f（）＜1+++…+都成立．
考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．
专题：计算题；导数的综合应用．
分析：（1）求f（x）=x2+bln（x+1）的定义域为（﹣1，+∞），且f′（x）=2x+，
则由题意可得f′（1）=2+=0，从而求b；
（2）由题意可得f′（x）=2x+≥0或f′（x）≤0在（﹣1，+∞）恒成立，从而可解
得，b；
（3）令h（x）=f（x）﹣x3=x2﹣ln（x+1）﹣x3，可证明x2﹣ln（x+1）＜x3，从而可证对任意的正整数n，不等式f（）＜1+++…+都成立．
解答：解：（1）∵f（x）=x2+bln（x+1）的定义域为（﹣1，+∞），
f′（x）=2x+，
又∵f（x）≥f（1），
∴f′（1）=2+=0，
解得：b=﹣4；
（2）∵f′（x）=2x+，
若使函数f（x）在其定义域内是单调函数，
∴f′（x）=2x+≥0或f′（x）≤0在（﹣1，+∞）恒成立，
解得，b．
（3）证明：令h（x）=f（x）﹣x3=x2﹣ln（x+1）﹣x3，
h′（x）=﹣3x2﹣+2x=＜0，
∴h（x）在⊆D时，使得x∈时，y=g（x）的值域是．则称是该函数y=g（x）的“保值区间”．设h（x）=f（x）+（x﹣2）e x，x∈（1，+∞），问函数y=h（x）是否存在“保值区间”？若存在，求出一个“保值区间”，若不存在，说明理由．
考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．
专题：计算题；导数的综合应用．
分析：（1）f（x）=e x（x2+ax+b），f′（x）=e x（x2+（a+2）x+b+a）；由题意得，
从而解a，b的值；
（2）求导确定函数的单调区间，从而求得f（x）在（﹣∞，0），（1，+∞）上是增函数，在（0，1）上是减函数，从而求f（x）在（﹣2，+∞）的取值范围；
（3））h（x）=f（x）+（x﹣2）e x=e x（x2﹣2x+1），x∈（1，+∞），h′（x）=e x（x2﹣1）＞0，从而得方程x+﹣﹣2=0在（1，+∞）存在两个根，构建d（x）=x+﹣﹣2在（1，
+∞）存在两个零点．从而判断．
解答：解：（1）f（x）=e x（x2+ax+b），f′（x）=e x（x2+（a+2）x+b+a）；
，
解得，a=﹣3，b=3；
（2）证明：f′（x）=e x（x2﹣x）＞0；
则x∈（﹣∞，0）∪（1，+∞），
故f（x）在（﹣∞，0），（1，+∞）上是增函数，
在（0，1）上是减函数，
又∵f（﹣2）=＜f（1）=e；
∴t＞﹣2时，f（t）＞，
（3）由题意，h（x）=f（x）+（x﹣2）e x=e x（x2﹣2x+1），x∈（1，+∞），
h′（x）=e x（x2﹣1）＞0，
则h（x）在（1，+∞）单调递增，
设存在，
则
即方程x+﹣﹣2=0在（1，+∞）存在两个根，
构建d（x）=x+﹣﹣2在（1，+∞）存在两个零点．
又d′（x）=+＞0，
∴d（x）=x+﹣﹣2在（1，+∞）上单调递增，
又∵d（1）＜0，d（3）＞0；
∴存在（1，3）之内只有一个实数根，
因此不存在如题所述的“保值区间”．
点评：本题考查了导数的综合应用及对新定义的接受能力，属于难题．。