专题09 二次函数中动点引起的最短路径及图形存在性问题(原卷版)

专题09二次函数中动点引起的最短路径及图形存在性问题
·最短路径思路点拨：
1.两点之间，线段最短；
（1）单动点模型
作图方法：作已知点关于动点所在直线的对称点，连接成线段与动点所在直线的交点即为所求点的位置.如下图所示，P 是x 轴上一动点，求PA +PB 的最小值的作图.
OA 、OB 上动点，求作△PMN 周长最小值.
作图方法：作已知点P 关于动点所在直线OA 、OB 的对称点P ’、P ’’，连接P ’P ’’与动点所在直线的交点M 、N 即为所求
.
O 2.垂线段最短；
3.若A 、B 是平面直角坐标系内两定点，P 是某直线上一动点，当P 、A 、B 在一条直线上时，PA PB 最大，最大值为线段AB 的长（如下图所示）；
利用三角形面积计算方法（铅垂高水平宽法或底乘高法或割补法等）列出方程求解.
·平行四边形存在性问题
题型一、单动点周长最短及面积存在性问题
（2019·四川凉山州中考）如图，抛物线y ＝ax 2+bx +c 的图象过点A （﹣1，0）、B （3，0）、C （0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P ，使得△PAC 的周长最小，若存在，请求出点P 的坐标及△PAC 的周长；若不存在，请说明理由；
（3）在（2）的条件下，在x 轴上方的抛物线上是否存在点M （不与C 点重合），使得S △P AM ＝S △P AC ？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．
2.（2019·四川达州中考）如图，抛物线y＝﹣x2+2x+m+1（m为常数）交y轴于点A，与x轴的一个交点在2和3之间，顶点为B．
①抛物线y＝﹣x2+2x+m+1与直线y＝m+2有且只有一个交点；
②若点M（﹣2，y1）、点N（1
2，y2）、点P（2，y3）在该函数图象上，则y1＜y2＜y3；
③将该抛物线向左平移2个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线解析式为y＝﹣（x+1）2+m；
④点A关于直线x＝1的对称点为C，点D、E分别在x轴和y轴上，当m＝1时，四边形BCDE周长
其中正确判断的序号是．
3.（2019·山东潍坊中考）如图，直线y＝x+1与抛物线y＝x2﹣4x+5交于A，B两点，点P是y轴上的一个动点，当△PAB的周长最小时，S△P AB＝．
题型二、利用特殊角将线段转化求解最短路径
4.（2019·天津中考）已知抛物线2y x bx c =-+（b 、c 为常数，b >0）经过点A (－1,0)，点M (m ,0)是x 轴正半轴上的动点.
（1）当b =2时，求抛物线的顶点坐标；
（2）点D （b ，y D ）在抛物线上，当AM =AD ，m =5时，求b 的值；
（3）点Q （1,2
Q b y +2QM +的最小值为3324时，求b 的值.
题型三、最短路径与平行四边形存在性问题
5.（2019·湖北荆州中考）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的顶点A，C的坐标分别为（6，0），(4，3)，经过B，C两点的抛物线与x轴的一个交点D的坐标为(1，0).
(1)求该抛物线的解析式；
(2)若∠AOC的平分线交BC于点E，交抛物线的对称轴于点F，点P是x轴上一动点，当PE＋PF的值最小时，求点P的坐标；
(3)在(2)的条件下，过点A作OE的垂线交BC于点H，点M，N分别为抛物线及其对称轴上的动点，是否存在这样的点M，N，使得以点M，N，H，E为顶点的四边形为平行边形？若存在，直接写出点M的坐标，若不存在，说明理由.
题型四、面积最值问题及周长最值问题
6.（2019·山东东营中考）已知抛物线y=ax2+bx－4经过点A(2,0)，B(－4,0)与y轴交于点C，
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）如图1，点P是第三象限内抛物线上的一个动点，当四边形ABPC的面积最大时，求点P的坐标；（3）如图2，线段AC的垂直平分线交x轴于点E，垂直为D，M为抛物线的顶点，在直线DE上是否存在一点G，△CMG的周长最小？若存在，求出点G的坐标，若不存在，请说明理由.
图1图2。