K12推荐学习四川省成都市高新区2019届高三数学10月月考试题 理

2018-2019学年高2016级高三10学月统一检测
数学试题（理科）
本试卷分选择题和非选择题两部分，满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：
1．答题前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上．
2．答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号．
3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上． 4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效． 5．考试结束后，将试题卷带走，仅将答题卡交回。

第I 卷（选择题，共60分）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 设集合{}21|<≤-=x x A ，{}21|≤<-=x x B ，则=B A （ ▲ ） )2,1.(-A ]2,1.(-B ]2,1.[-C )2,1.[-D
2. 若复数z 满足i z z 232-=+，其中i 为虚数单位，则z 等于（ ▲ ）
i A 21.+ i B 21.- i C 21.+- i D 21.--
3. 设R y x ∈>,0，则""y x >是|"|"y x >的（ ） .A 必要不充分条件 .B 充分不必要条件 .C 充要条件 .D 既不充分也不必要条件
4. 命题"01,"2
0300≤+-∈∃x x R x 的否定是（ ▲ ）
01,.23>+-∈∀x x R x A 01,.2030
0<+-∈∃x x R x B 01,.2
0300≥+-∈∃x x R x C 01,.23≤+-∈∀x x R x D
5. 已知33)1()(2
++-=mx x m x f 为偶函数，则)(x f 在区间)2,4(-上为（ ▲ ）
.A 增函数 .B 增函数 .C 先增后减 .D 先减后增
6. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( ▲ )
12.A 18.B 24.C 30.D
7. 我国古代的劳动人民曾创造了灿烂的中华文明，戍边的
官兵通过在烽火台上举火向国内报告，烽火台上点火表示数字1，不点火表示数字0，这蕴含了进位制的思想，如图所示的框图的算法思路就源于我国古代戍边官兵的“烽火传信”.执行该程序框图，若输入
,6,2,110011===n k a 则输出b 的值为 ( ▲ )
19.A 31.B 51.C 63.D 8. 函数)1()(<<-
=b a e x
x f x
，则 ( ▲ ) )()(.b f a f A = )()(.b f a f B <
)()(.b f a f C > )(),(.b f a f D 大小关系不能确定 9. 函数2
2
1x x ln )x (f -
=的图象大致是 ( ▲ )
10. 在第二届乌镇互联网大会中，为了提高安保的级别同时又为了方便接待，现为其中的五个参会国的人员安排酒店，这五个参会国的人员要在c b a ,,三家酒店中任选一家，且这三家都至少有一个参会国的人员入住，则这样的安排方法共有（ ▲ ）
96.A 种 124.B 种 130.C 种 150.D 种
11 . 等差数列}{n a 的公差是d ，且前n 项和为n S ，当首项1a 和d 变化时，1182a a a ++是一个定值，则下列各数也为定值的是（ ▲ ）
7.S A 8.S B 13.S C 15
.S D
12. 已知椭圆)b (a b y a x :C 01112122121>>=+与双曲线)b ,(a b y a x :C 0012222
2
2222>>=-有相同
的焦点21F ,F ，若点P 是1C 与2C 在第一象限内的交点，且2212PF F F =,设1C 与2C
的离心
率分别为21e ,e ，则12e e -的取值范围是( ▲ )
⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+，31.A ⎪⎭⎫ ⎝⎛∞+，31.B ⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+，21.C ⎪⎭
⎫ ⎝⎛∞+，21.D
第II 卷（非选择题，共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13. 已知函数x x x f sin )(2
=，则过点）
，（4
π2π2
的切线方程为 ▲ ．
14. 实数x ，y 满足不等式组 ，则1
1
-+=
x y Z 的最小值为 ▲ ．
15. 在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为0158-2
2
=++x y x ，若直线2-kx y =上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值为 ▲
16. 已知定义在R 上的偶函数)(x f 在[），∞0+上递减，若不等式
)1(2≥)1-ln -()1ln -(f x ax f x ax f +++对[)3,1∈x 恒成立，则实数a 的取值范围是 ▲
≥y 0
≥-y x 0
≥2--2y x
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17．（本小题满分12分）
已知(2sin ,cos )a x x =，(3cos ,2cos )b x x =，设函数()1f x a b =⋅-，x ∈R . （Ⅰ）求函数()f x 的单调递增区间；
（Ⅱ）若ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且()1f B =，b =2c =，
求ABC ∆的面积.
18．（本小题满分12分）
高新区某高中德育处为了调查学生对“一带一路”的关注情况,在全校组织了“一带一路知多少”的知识问卷测试,并从中随机抽取了12份问卷,得到其测试成绩(百分制)的茎叶图如下：
（1） 写出该样本的中位数,若该校共有3000名学生,试估计该校测试成绩在70分以上的人数；
（2） 从所抽取的70分以上的学生中再随机选取4人，记ξ表示测试成绩在80分以上的人数,求ξ的分布列和数学期望
19．（本小题满分12分）
如图，图②为图①空间图形的主视图和侧视图，其中侧视图为正方形．在图①中，设平面BEF 与平面ABCD 相交于直线l ． （Ⅰ）求证：l ⊥面CDE ；
（Ⅱ）在图①中，线段DE 上是否存在点M ，使得直线MC 与平面BEF 所成角的正弦值等于5
5
？若存在，求出点M 的位置；若不存在，请说明理由．
20. （本小题满分12分）
在直角坐标系xoy 中，椭圆)0(1:22
22>>=+b a b
y a x E 的左、右焦点分别为1F 、2F ，点M 在椭
圆E 上，且x MF ⊥2轴，2
2
2=MF ，21F MF ∆的周长为222+. （Ⅰ）求椭圆E 的方程；
（Ⅱ）过点S （4，0）作两条直线与椭圆E 分别将于交于A 、B 、C 、D ，且使x AD ⊥轴，如图，问四边形ABCD 的两条对角线的交点是否为定点？若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由.
21．（本小题满分12分）
已知函数f (x )＝(x －2)e x
＋a (x －1)2
.
(1)讨论f (x )的单调性；
(2)若f (x )有两个零点，求a 的取值范围.
（二）选考题：共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答。

如果多做，则按所做的第一题计分，作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上． 22．（本小题满分10分） 选修4-4 坐标系与参数方程
已知曲线C 的参数方程是(sin x y α
αα
⎧=⎪⎨
=⎪⎩为参数） （1）将C 的参数方程化为普通方程；
（2）在直角坐标系xOy 中，(0,2)P ，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标
系，直线l 的极坐标方程为cos sin 0,Q ρθθ+=为C 上的动点，求线段PQ 的中点M 到直线l 的距离的最小值．
23.（本小题满分10分） 选修4-5 不等式选讲
设函数()33f x x a x =-+-，()13g x x =-+，其中0a >. （Ⅰ）求不等式()5g x x ≥-的解集；
（Ⅱ）若对任意1x ∈R ，都存在2x ∈R ，使得12()()f x g x =，求实数a 的取值范围.
2018-2019学年高2016级高三10学月统一检测
数学试题（理科）参考答案
第I卷（选择题，共60分）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1~6 ABAACC 7~12 DCBDCD
第II卷（非选择题，共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13. 14. 15. 16.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17．（本小题满分12分）
已知，，设函数，.
（Ⅰ）求函数的单调递增区间；
（Ⅱ）若的内角，，所对的边分别为，，，且，，，求的面积.
17．解：（I）
，……………2分
令，……………3分
则，……………5分
所以函数的单调增区间为：．……………6分
（II）由（I）知，即，
而，知，所以，即．……………8分
由，有
解得.……………10分
．
故所求面积为．……………12分
18．（本小题满分12分）
高新区某高中德育处为了调查学生对“一带一路”的关注情况,在全校组织了“一带一路知多少”的知识问卷测试,并从中随机抽取了12份问卷,得到其测试成绩(百分制)的茎叶图如下：
（1）写出该样本的中位数,若该校共有3000名学生,试估计该校测试成绩在70分以上的人数；（2）从所抽取的70分以上的学生中再随机选取4人，记表示测试成绩在80分以上的人数,求的分布列和数学期望.
18.解：（1）中位数为76 ……2分, 样本中70分以上的所占比例为，故可估计该校测试成绩在70分以上的约为30002000人………5分
（2由题意可得，的可能取值为0，1，2，3，4，……………6分
,,,
..……………8分所以的分别列为：
……………10分
.……………12分
19．（本小题满分12分）
如图，图②为图①空间图形的主视图和侧视图，其中侧视图为正方形．在图①中，设平面BEF 与平面ABCD相交于直线l．
（Ⅰ）求证：l⊥面CDE；
（Ⅱ）在图①中，线段DE上是否存在点M，使得直线MC与平面BEF所成角的正弦值等于？若存在，求出点M的位置；若不存在，请说明理由．
19．（I）证明：由题意，AD//EF，∵EF面BEF，AD面BEF，
∴AD//面BEF．………………………………………………………………2分
又∵AD面ABCD，面ABCD∩面BEF=l，∴AD//l，……………4分
由主视图可知，AD⊥CD，由侧视图可知，DE⊥AD，……………5分
∵CD∩AD=D，∴AD⊥面CDE．∴l⊥面CDE．………………6分
（II）如图，建立空间直角坐标系D-xyz，
则A(1，0，0)，B(1，1，0)，C(0，2，0)，E(0，0，1)，F(1，0，1)，
∴=(1，0，0)，=(0，-1，1)，……7分
设面BEF的一个法向量n=(x，y，z)，
则由·n=0，·n=0可得
令y=1，则z=1，
∴n=(0，1，1)，…………………………9分
设M(0，0，m)，则=(0，2，-m)，
∴ cos<，n>=，解得m=或m=6（舍），……11分
即存在满足点M，此时M的位置在线段DE的处（靠近E点）．……12分
20.（本小题满分12分）
在直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分
别为、，点M在椭圆上，且轴，，
的周长为.
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）过点S（4，0）作两条直线与椭圆E分别将于交于A、B、C、D，且使轴，如图，问四边形ABCD的两条对角线的交点是否为定点？若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由.
20.解：(Ⅰ)设，由题意可得，即.…………1分
则，∴，又的周长为……3分
∴又∵∴……5分
∴所求椭圆E的方程为.……………6分
(Ⅱ)设，，则由对称性可知，.
设直线与轴交于点，直线的方程为，
联立，消去，得，……………8分
∴，，
由三点共线，即，
将，代入整理得，
即，……………10分
从而，化简得，解得，于是直线的方程为，故直线过定点.同理可得过定点，
∴直线与的交点是定点，定点坐标为.……………12分
21．（本小题满分12分）
已知函数f(x)＝(x－2)e x＋a(x－1)2.
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)若f (x )有两个零点，求a 的取值范围.
21.解：(1)f ′(x )＝(x －1)e x
＋2a (x －1)＝(x －1)(e x
＋2a ).……………1分 (ⅰ)设a ≥0，则当x ∈(－∞，1)时，f ′(x )<0； 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0.
所以f (x )在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增.……………2分 (ⅱ)设a <0，由f ′(x )＝0得x ＝1或x ＝ln(－2a ). ①若a ＝－2e ，则f ′(x )＝(x －1)(e x
－e)，
所以f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增.……………3分
②若a >－2e
，则ln(－2a )<1，故当x ∈(－∞，ln(－2a ))∪(1，＋∞)时，f ′(x )>0；当x ∈(ln(－2a )，1)时，f ′(x )<0.
所以f (x )在(－∞，ln(－2a ))，(1，＋∞)上单调递增，在(ln(－2a )，1)上单调递减.……4分
③若a <－2e
，则ln(－2a )>1，
故当x ∈(－∞，1)∪(ln(－2a )，＋∞)时，f ′(x )>0；……………5分 当x ∈(1，ln(－2a ))时，f ′(x )<0.
所以f (x )在(－∞，1)，(ln(－2a )，＋∞)上单调递增，在(1，ln(－2a ))上单调递减.……6分
(2)(ⅰ)设a >0，则由(1)知，f (x )在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增.又f (1)＝－e ，f (2)＝a ，取b 满足b <0且b <ln2a ，则f (b )>2a (b －2)＋a (b －1)2
＝a b 3>0，所以f (x )有两个零点.……………8分
(ⅱ)设a ＝0，则f (x )＝(x －2)e x ，所以f (x )只有一个零点.……………9分
(ⅲ)设a <0，若a ≥－2e
，则由(1)知，f (x )在(1，＋∞)上单调递增.又当x ≤1时f (x )<0，故
f (x )不存在两个零点.若a <－2e
，则由(1)知，f (x )在(1，ln(－2a ))上单调递减，在(ln(－2a )，
＋∞)上单调递增.又当x ≤1时，f (x )<0，故f (x )不存在两个零点.……………11分 综上，a 的取值范围为(0，＋∞).……………12分
（二）选考题：共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答。

如果多做，则按所做的第一题计分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上．22．（本小题满分10分）选修4-4 坐标系与参数方程
已知曲线C的参数方程是为参数）
（1）将C的参数方程化为普通方程；
（2）在直角坐标系中，，以原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线的极坐标方程为为C上的动点，求线段PQ的中点M到直线的距离的最小值．
22．解：(Ⅰ)消去参数得．…………………………………4分（Ⅱ）将直线l 的方程化为普通方程为．……………6分
设Q()，则M()，
∴，……………8分
∴最小值是．……………………………………10分
23.（本小题满分12分）选修4-5：不等式选讲
设函数，，其中.
（Ⅰ）求不等式的解集；
（Ⅱ）若对任意，都存在，使得，求实数的取值范围.
23．解：（I）不等式，
……………2分
则
解得：或，即……………4分
所以不等式的解集为．……………5分
（II）设的值域为,的值域为．
对任意的，都存在，使得等价于：，而．……………7分
①当时，不满足题意；
②当时，，由得，得，不满足题意；
③当时，，由得，得，
满足题意；……………9分
综上所述，实数的取值范围是：．……………10分。