2018年秋人教B版数学选修2-3练习：1.1 基本计数原理

1.1基本计数原理
课时过关·能力提升
1.已知集合A中有5个不同元素,集合B中有4个不同元素,且A∩B=⌀,则从A∪B中任取一个元素的方法数为()
A.5
B.4
C.9
D.20
解析:从A∪B中任取一个元素的取法共有5+4=9(种).
答案:C
2.如图所示,从A地到B地要经过C地和D地,已知从A地到C地有三条路,从C地到D地有两条路,从D地到B地有四条路,则从A地到B地不同的走法种数是()
A.9
B.1
C.24
D.3
解析:由分步乘法计数原理,从A地到B地要分三步,即A C D B,所以不同的走法共有3×2×4=24(种).
答案:C
3.从4双不同的鞋子中任取4只,结果都不成双的取法种数是()
A.24
B.16
C.44
D.24×16
解析:从4双鞋中取得的4只都不成双,说明每双鞋中只取一只,于是分四步完成.第一步:从第一双鞋中任取一只,有2种取法;第二步:从第二双鞋中任取一只也有2种取法;同理第三步、第四步也各有2种取法,于是不同的取法共有N=2×2×2×2=16(种).
答案:B
4.如果x, y∈N+,且1≤x≤3,x+y<7,那么满足条件的有序数对(x,y)的个数是()
A.15
B.12
C.5
D.4
解析:当x=1时,y=1,2,3,4,5,有5个,当x=2时,y=1,2,3,4,有4个;当x=3时,y=1,2,3,有3个.由分类加法计数原理得5+4+3=12(个).
答案:B
5.如果一个三位正整数如“a1a2a3”满足a1<a2,且a3<a2,则称这样的三位数为凸数(如120,343,275等),那么所有凸数个数为()
A.240
B.204
C.729
D.920
解析:分8类.当中间数为2时,有1×2=2(个);
当中间数为3时,有2×3=6(个);
当中间数为4时,有3×4=12(个);
当中间数为5时,有4×5=20(个);
当中间数为6时,有5×6=30(个);
当中间数为7时,有6×7=42(个);
当中间数为8时,有7×8=56(个);
当中间数为9时,有8×9=72(个).
故共有2+6+12+20+30+42+56+72=240(个).
答案:A
6.在由数字0,1,2,3,4,5所组成的没有重复数字的四位数中,不能被5整除的数共有个.
解析:方法一:组成四位数可分四步,第一步排个位,因为不能被5整除,所以个位上不能是0或5,有4种;第二步排千位,不能是0,有4种;第三步排百位,有4种;第四步排十位,有3种.由分步乘法计数原理得共有四位数4×4×4×3=192(个).
方法二:组成四位数可分四步,第一步排千位有5种,第二步排百位有5种,第三步排十位有4种,第四步排个位有3种.由分步乘法计数原理得共有四位数5×5×4×3=300(个).
同理,个位数为0的四位数有60个,个位数为5的四位数有48个.
所以不能被5整除的四位数共有300-48-60=192(个).
答案:192
7.有10本不同的数学书,9本不同的语文书,8本不同的英语书,从中任取两本不同类的书,共有种不同的取法.
解析:任取两本不同类的书分为三类:①取数学、语文各一本;②取语文、英语各一本;③取数学、英语各一本.先在每一类中利用分步乘法计数原理,再利用分类加法计数原理即可.共有10×9+8×9+8×10=242(种)不同取法.
答案:242
8.已知椭圆=1的焦点在y轴上,且m∈{1,2,3,4,5},n∈{1,2,3,4,5,6,7},则这样的椭圆的个数为.
解析:当m=1时,n=2,3,4,5,6,7,有6种不同取法;当m=2时,n=3,4,5,6,7,有5种不同取法;当m=3时,n=4,5,6,7,有4种不同取法;当m=4时,n=5,6,7,有3种不同取法;当m=5时,n=6,7,有2种不同取法,故这样的椭圆共有6+5+4+3+2=20(个).
答案:20
9.在7名学生中,有3名会下象棋但不会下围棋,有2名会下围棋但不会下象棋,另2名既会下象棋又会下围棋.现从7人中选出会下象棋和围棋的各1人参加象棋比赛和围棋比赛,共有多少种不同的选法?
解:第一类,从3名只会下象棋的学生中选1名参加象棋比赛,从另外4名会下围棋的学生中选1名参加围棋比赛,有3×4=12(种)选法.
第二类,从2名既会下象棋又会下围棋的学生中选1名学生参加象棋比赛,从只会下围棋的2名学生中选1名参加围棋比赛,有2×2=4(种)选法.
第三类,从2名既会下象棋又会下围棋的学生中选1名参加象棋比赛,剩下的一名参加围棋比赛,有2×1=2(种)选法.所以一共有12+4+2=18(种)不同的选法.
★10.已知直线ax+by+c=0中的a,b,c是取自集合{-3,-2,-1,0,1,2,3}中的3个不同的元素,并且该直线的倾斜角α为锐角.这样的直线存在吗?如果存在,有多少条?
分析倾斜角α为锐角,即tan α>0,tan α=->0,故a,b都不能取0,只有c可以取0,于是可分c=0与c≠0两种情况求解.
解:由题意知ab<0,不妨设a>0,b<0.
第一类:当c=0时,a有3种取法,b有3种取法,排除2个重复(3x-3y=0,2x-2y=0与x-y=0为同一条直线),故这样的直线有3×3-2=7(条);
第二类:当c≠0时,a有3种取法,b有3种取法,c有4种取法,且其中任意两条直线均不相同,故这样的直线有3×3×4=36(条).
于是,这样的直线存在,共有N=7+36=43(条).。