2020年高考全国1数学理高考真题变式题6-10题-(解析版)

2020年高考全国1数学理高考真题变式题6-10题
原题6
1．函数43()2f x x x =-的图像在点(1(1))f ，处的切线方程为（ ） A ．21y x =-- B ．21y x =-+ C ．23y x =- D ．21y x =+
变式题1基础
2．设函数()()ln f x g x x x =++，曲线()y g x =在点1,1g 处的切线方程为21y x =+，则曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为（ ） A ．4y x = B ．48=-y x C ．22y x =+ D ．21y x =+
变式题2基础 3．曲线2
x
y x =
+在点(1,1)--处的切线方程为 A ．21y x =+ B ．21y x =- C ．23y x =- D ．22y x =-
变式题3巩固
4．函数()2sin x
f x e x =-的图象在点(0, f(0))处的切线方程为（ ）
A ．1y x =-
B ．21y x =+
C ．21y x =-
D ．1y x =+
变式题4巩固
5．若点P 在曲线1
()f x x
=上，且该曲线在点P 处的切线的倾斜角为150°，则点P 的横坐标为（ ） A 3B ．3-C ．3D ．43变式题5巩固
6．已知()f x 为偶函数，当0x ≤时，1()e x f x x --=-，则曲线()y f x =在点(1,2)处的切线斜率是（ ） A ．1 B ．2 C ．e D ．2e 1---
变式题6提升 7．若曲线1
()ln 2
f x x x =+在点()()00,x f x 处的切线方程为y kx b =+，则k b +的最小值为（ ） A ．-1 B ．12
-
C ．1
2
D ．1
8．设函数()cos π
()6
f x x ω=+在[π,π]-的图像大致如下图，则f (x )的最小正周期为（ ）
A ．10π
9
B ．7π6
C ．
4π3
D ．
3π2
变式题1基础
9．设函数()sin 4f x x πω⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭在[,]-ππ上的大致图象如图所示，则()f x 的最小正周期为
（ ）
A ．π
B ．98
π C ．
32
π
D ．
74
π 变式题2基础
10．函数5()cos 6f x x πω⎛
⎫=- ⎪⎝⎭
的部分图像如图所示，则()f x 的最小正周期为（ ）
A ．
2
π
B ．π
C ．
32
π D ．2π
变式题3巩固
11．设函数()cos()f x A x ωϕ=+（其中0,||4,0A ωϕπ><<<）的大致图象如图所示，则()f x 的最小正周期为（ ）
A ．
2
π B ．π C ．2π D ．4π
变式题4巩固
12．函数()cos()0,0,||,02f x A x b A b πωϕωϕ⎛⎫
=++>><> ⎪⎝⎭
的部分图象如图所示，则下
列判断不正确的是（ ）
A ．2A =
B ．1
2
ω=
C ．1b =
D ．6
π=
ϕ 变式题5巩固
13．已知函数()()sin f x A x ωϕ=+（0A >，0>ω）的部分图象如图所示，其中线段BD 的中点在y 轴上，且△BCD 的面积为2π，则()f x 可以为（ ）
A ．1
sin 2
4x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭
B ．sin 3x π⎛
⎫+ ⎪⎝⎭
C ．1
2sin 24x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭
D ．1
2sin 2
6x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭
变式题6提升
14．已知函数()sin()0,0,||2f x A x A πωϕωϕ⎛
⎫=+>>< ⎪⎝
⎭的部分图象如图所示，图象与y
轴交于点M ，与x 轴交于点C ，点N 在()f x 的图象上，且点M ，N 关于点C 对称，则下列说法：
△2ω=；△5()03f x f x π⎛⎫++-= ⎪⎝⎭；△()f x 在2,03π⎛⎫
- ⎪⎝⎭
上单调递增；△将函数()f x 的图象向左平移6
π个单位长度后得到的函数图象关于y 轴对称，其中正确的个数为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
原题8
15．2
5()()x x y x y ++的展开式中x 3y 3的系数为（ ）
A ．5
B ．10
C ．15
D ．20
变式题1基础
16．25
1(1)x x x ⎛⎫++ ⎪⎝
⎭展开式中x 3的系数为（ ）
A ．5
B ．10
C ．15
D ．20
变式题2基础
17．()24
2y x x y x ⎛⎫+- ⎪⎝
⎭的展开式中23x y 项的系数为（ ）
A ．24-
B ．40-
C ．24
D ．30-
变式题3巩固
18．(x +y )(2x -y )5的展开式中x 3y 3的系数为 A ．-80 B ．-40 C ．40 D ．80
变式题4巩固
19．已知()6311x a x ⎛
⎫++ ⎪⎝⎭
的展开式中各项系数的和为128，则该展开式中2x 的系数为（ ）
A ．15
B ．21
C ．30
D ．35
变式题5巩固
20．6
2()y x y x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭
的展开式中42x y 的系数为（ ）
A ．36-
B ．24-
C ．24
D ．36
变式题6提升
21．在64(1)(1)x y ++的展开式中，记m n x y 项的系数为(),f m n ，则()()3,01,2f f +=（ ） A ．24 B ．80 C ．56 D ．120
原题9
22．已知 π()0,α∈
，且3cos28cos 5αα-=，则sin α=（ ） A 5
B ．23
C ．13
D 5变式题1基础
23．设0απ<<，7
sin cos 13
αα+=，则1tan 1tan αα-+的值为（ ）
A ．
17
7
B ．
717
C ．177
-
D ．717
-
变式题2基础
24．已知0,2πα⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，且8sin 3cos25αα-=，则cos α=（ ）
A 5
B ．23
C ．13
D 5变式题3巩固
25．已知,2παπ⎛
⎫∈- ⎪⎝
⎭且3cos28cos 50--=αα，则tan α=（ ）
A ．23-
B 5
C 25
D 5
变式题4巩固
26．若1
sin cos 5
αα+=，0απ<<，则sin 2cos2αα+=（ ）
A ．
1725
B ．1725
-
C ．
3125
D ．3125
-
变式题5巩固
27．已知10,,sin 243πθθ⎛⎫
∈= ⎪⎝⎭
，则sin cos θθ-=（ ）
A ．2
3
B ．23
-
C 6
D ．6变式题6提升
28．已知A 是ABC 的内角，且sin 3cos 2A A +=-tan A 的值为（ ） A ．-1或7 B ．2
3
-或1
C ．-1
D ．23
-
原题10
29．已知,,A B C 为球O 的球面上的三个点，△1O 为ABC 的外接圆，若△1O 的面积为4π，1AB BC AC OO ===，则球O 的表面积为（ ）
A ．64π
B ．48π
C ．36π
D ．32π
变式题1基础
30．平面α截球O 的球面所得圆的半径为1，球心O 到平面α，则此球的表面积为（ ）
A ．12π
B ．
C ．3ππ
D ．
变式题2基础
31．在四面体PABC 中，PA PB ⊥，3PA PB ==，AC ==BC 外接球的表面积为（ ）
A ．
B ．
C ．9π
D ．18π
变式题3巩固
32．三棱锥P ABC -的四个顶点均在同一球面上，其中PA ⊥平面ABC ，ABC 是正三角形，24PA BC ==，则该球的表面积是（ ） A ．
83
π
B ．
163
π
C ．
323
π
D ．
643
π
变式题4巩固
33．在ABC 中，AC =B 在以AC 为直径的圆上.点P 在平面ABC 上的射影为AC 的中点，2PA =，则其外接球的表面积为（ ） A ．12π B ．
163
π C ．
94
π D ．16π
变式题5巩固
34．球面上有三点、、A B C 组成这个球的一个截面的内接三角形三个顶点，其中6,8AB BC ==，10AC =，球心O 到这个截面的距离为球半径的一半，则球的表面积为
（ ）
A ．
4003
π
B ．
1003
π
C ．
2003
π
D 变式题6提升
35．已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱垂直于底面且各顶点都在同一球面上,若12AB AC AA a ===,120BAC ∠=︒,则此球的表面积等于
A ．210a π
B ．212a π
C ．24a π
D ．220a π
参考答案：
1．B
【分析】求得函数()y f x =的导数()f x '，计算出()1f 和()1f '的值，可得出所求切线的点斜式方程，化简即可. 【详解】
()432f x x x =-，()3246f x x x '∴=-，()11f ∴=-，()12f '=-，
因此，所求切线的方程为()121y x +=--，即21y x =-+. 故选：B.
【点睛】本题考查利用导数求解函图象的切线方程，考查计算能力，属于基础题 2．A
【分析】结合导数的几何意义求出(1)3
(1)2g g =⎧⎨='⎩，从而可以求出(1)f '和(1)f 的值，进而可以求
出结果.
【详解】因为曲线()y g x =在点(1,(1))g 处的切线方程为21y x =+，所以(1)3
(1)2g g =⎧⎨='⎩，
因为()()ln =++f x g x x x ，则1
()()1f x g x x
''=++，所以1(1)(1)141f g ''=++=，
且(1)(1)1ln14f g =++=，
因此曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为()441y x -=-，即4y x =， 故选：A. 3．A 【详解】解：
2
2
12
22
'2(2)(2)2
'|2
(12)x x x x y y x x x y =-+-=
∴==+++∴==-+
利用点斜式方程可知为y=2x+1 4．D
【解析】求得()22cos x
f x e x '=-，得到() 01f '=，()01f =，结合直线的点斜式，即可求解.
【详解】由题意()2sin x f x e x =-，可得()22cos x
f x e x '=-，
可得() 0211f '=-=，()1010f =-=， 所以切线方程为()110y x -=⨯-，即1y x =+. 故选：D. 5．D
【分析】根据导数的几何意义求斜率，再由倾斜角求斜率，建立方程求解即可. 【详解】设点Р的横坐标为0x ， 因为1()f x x
=
， 所以2
1()f x x '=-
． 因为切线的倾斜角为150°，
所以切线的斜率为(
)0201f x x '=-=
所以0x = 故选：D 6．B
【分析】利用偶函数求0x >的解析式再求导，根据导数的几何意义即可求(1,2)处的切线斜率.
【详解】设0x >，则0x -<，1()e x f x x --=+，又()f x 为偶函数， △1()e x f x x -=+，则对应导函数为1()e 1x f x -'=+， △(1)2f '=，即所求的切线斜率为2. 故选：B 7．C
【分析】利用导数的几何意义求出函数在切点出的切线方程，进而得到0011
ln 2
k b x x +=+-，构造函数11
()ln (0)2
u x x x x =
+->，利用导数求出函数的最小值即可得到答案. 【详解】由1()ln 2f x x x =+，则切点为0001,2x x x +⎛
⎫ ⎪⎝
⎭
求导11
()2
f x x '=
+，则切线斜率0112k x =+，
切线方程为0000111
()ln 22y x x x x x ⎛⎫=+-++ ⎪⎝⎭，即0011ln 12y x x x ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭
则00011
ln (0)2
k b x x x +=+-> 令11()ln (0)2u x x x x =
+->，则22111
()x u x x x x
-'=-=，令()0u x '=，得1x = 当01x <<时，()0u x '<，()u x 单调递减；当1x >时，()0u x '>，()u x 单调递增； 故当1x =时，函数()u x 取得最小值1(1)2
u =
，即k b +的最小值为1
2
故选：C
【点睛】方法点睛：本题主要考查了利用导数的几何意义求曲线在某点处的切线方程，以及利用导数研究函数的单调性与极值，求切线常见考法：
(1)已知切点()00(,)A x f x 求斜率k ，即求该点处的导数值：()0k f x ='． (2)已知斜率k ，求切点()11(,)A x f x ，即解方程()1f x k '=.
(3)若求过点00() ,P x y 的切线方程，可设切点为
11 (,)x y ，由1101101()
()()y f x y y f x x x '=⎧⎨-=-⎩，求解即可． 8．C
【分析】由图可得：函数图象过点4,09π⎛⎫- ⎪⎝⎭，即可得到4cos 096ππω⎛⎫-⋅+= ⎪⎝⎭，结合4,09π⎛⎫- ⎪⎝⎭
是函数()f x 图象与x 轴负半轴的第一个交点即可得到4962
πππω-⋅+=-，即可求得32ω=，
再利用三角函数周期公式即可得解.
【详解】由图可得：函数图象过点4,09π⎛⎫
-
⎪⎝⎭
， 将它代入函数()f x 可得：4cos 09
6π
πω⎛⎫-
⋅+= ⎪⎝⎭ 又4,09π⎛⎫
- ⎪⎝⎭是函数()f x 图象与x 轴负半轴的第一个交点， 所以4962
πππω-
⋅+=-，解得：3
2ω=
所以函数()f x 的最小正周期为224332
T π
ππ
ω
=
=
= 故选：C
【点睛】本题主要考查了三角函数的性质及转化能力，还考查了三角函数周期公式，属于中档题. 9．C
【分析】根据函数图象过点9,016π⎛⎫
⎪⎝⎭
，即可得到ω的取值集合，再根据函数图象可得
22T T π>>，即可求出ω的取值范围，从而求出ω的值，即可求出函数的最小正周期；
【详解】解：由图可得，函数图象过点9,016π⎛⎫
⎪⎝⎭
，所以()9164k k Z ππωπ+=∈，即
()164
99
k k Z ω=
-∈，设函数()f x 的最小正周期为T ，又因为22T T π>>，即
2222π
π
πω
ω
⋅
>>
，解得12ω<<，所以当1k =时4
3
ω=
，所以函数()f x 的最小正周期232
T π
πω
=
=
故选：C 10．B
【分析】由图可知，354
123T ππ⎛⎫
=
-- ⎪⎝⎭
,计算即可. 【详解】由图可知，3553
41231234
T πππππ⎛⎫=
--=+= ⎪⎝⎭,则T π=, 故选：B 11．C
【分析】根据图象求得,,A ϕω，从而求得()f x 的最小正周期.
【详解】由图象可知函数的最低点的纵坐标为-2，所以A =2，函数的图象与y 轴的交点的坐
标为（0，1），所以(0)2cos(0)1f ωϕ=⨯+=，根据单调性可得：
()2,03
k k π
ϕπϕπ=+∈<<Z ，
所以3
π
ϕ=
.
又函数的图象与x 轴的正半轴的第一个交点的坐标为,06
π
⎛⎫
⎪⎝
⎭
，所以
2cos 0663f πππω⎛⎫⎛
⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，
则根据单调性可得()26
3
2
k k π
π
π
ωπ⨯
+
=+
∈Z ，解得()121k k ω=+∈Z ，
又||4ω<，所以1ω=，所以()f x 的最小正周期为2π. 故选：C 12．D
【分析】利用图象求出函数()f x 的解析式，即可判断各选项的正误. 【详解】由图可得()
3122
A --=
=，()3112b +-=
=， 函数()f x 的最小正周期为72433T πππ⎛⎫
=-= ⎪⎝⎭
，则212T πω==， 所以2cos 1336f ππϕ⎛⎫⎛⎫=++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则cos 16πϕ⎛⎫
+= ⎪⎝⎭
，故()26k k Z πϕπ+=∈，
所以，()26
k k Z π
ϕπ=-
∈，2πϕ<，则6π
ϕ=-
，故()1
2cos 12
6f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，
所以，ABC 选项正确，D 选项错误.
故选：D. 13．C
【分析】由图象及BD 的中点在y 轴上知3,0,,022B C ππ⎛⎫⎛⎫
- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
且()f x 的最小正周期为4π求
ω，根据三角形面积求A ，最后由五点法求ϕ，即可确定解析式.
【详解】由题图及线段BD 的中点在y 轴上，知：,02B π⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，由对称性得3,02C π⎛⎫ ⎪⎝⎭，
△()f x 的最小正周期为4π，故24π
πω
=，即1
2
ω=
. 由△BCD 的面积为2π，得：
122BC A A ππ⋅==，得2A =，故()12sin 2ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
f x x . 由22f π⎛⎫= ⎪⎝⎭得sin 14πϕ⎛⎫
+= ⎪⎝⎭，故()242k k Z ππϕπ+=+∈，即()24k k Z πϕπ=+∈，
故()()12sin 224f x x k k Z ππ⎛⎫
=++∈ ⎪⎝⎭
，结合选项知：C 正确.
故选：C. 14．B
【分析】先根据点M ，N 关于点C 对称求出点C 的坐标，则函数的周期可求，然后再结合图象即可求出解析式，然后逐一判断即可．
【详解】由点M ，N 关于点C 对称可知,03C π⎛⎫ ⎪⎝⎭，故236T πππ⎛⎫⎛⎫=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，所以22T π
ω==，故△正确，
所以()sin(2)f x A x ϕ=+，所以又()06f π-=，所以sin()03
πϕ-+=，即03πϕ-+=，得3π
ϕ=，
所以()sin(2)3f x A x π
=+，因为5()sin 206f A ππ==，故()f x 图象关于5(,0)6π对称，则
5(
)()03
f x f x π
++-=，故△正确， 当2(,0)3x π∈-
时，2(,)33
x πππ+∈-，因为函数sin y x =在(,)2ππ--上单调递减，在(,)23ππ-上单调递增，故()f x 在2(,0)3
π
-
上不满足单调递增，故△错误， 将函数()f x 的图象向左平移6π
个单位长度后得2sin[2()]sin(2)633
y A x A x πππ=++=+，0
x =时显然取不到最值，故不是偶函数，即△错误． 故选：B ． 15．C
【分析】求得5()x y +展开式的通项公式为515
r
r
r
r T C x
y -+=（r N ∈且5r ≤），即可求得2y x x ⎛⎫
+ ⎪
⎝
⎭与5()x y +展开式的乘积为65r r
r C x y -或425r r r C x y -+形式，对r 分别赋值为3，1即可求得33x y 的
系数，问题得解.
【详解】5()x y +展开式的通项公式为515r r
r r T C x
y -+=（r N ∈且5r ≤）
所以2y x x ⎛⎫
+ ⎪⎝
⎭的各项与5()x y +展开式的通项的乘积可表示为：
5615
5
r r
r
r r
r
r xT xC x
y C x
y --+==和22542155r r r
r r r r T C x y x
C y y y x x --++==
在615r
r
r r xT C x
y -+=中，令3r =，可得：333
45xT C x y =，该项中33x y 的系数为10，
在42
152r r r r T C x x
y y -++=中，令1r =，可得：5
21332T C y x x y =，该项中33x y 的系数为5 所以33x y 的系数为10515+= 故选：C
【点睛】本题主要考查了二项式定理及其展开式的通项公式，还考查了赋值法、转化能力及分析能力，属于中档题. 16．C
【分析】利用乘法分配律和二项式展开式通项公式，求得3x 的系数.
【详解】依题意，展开式中3x 的项为()122433
55151015x C x C x x x x
⋅+⋅=+=，所以3x 的系数为15.
故选：C
【点睛】本小题主要考查二项式展开式，考查乘法分配律，属于基础题. 17．B
【分析】将式子分成两项之和，再利用二项式定理的展开式，求特定的项.
【详解】()()()22444
222y y x x y x x y x y x x ⎛⎫+-=-+- ⎪⎝⎭
因为()4
2x y -
()4
2x y =+-⎡⎤⎣⎦
()()()()()0
1
2
3
4
0413223140
4444422222C x y C x y C x y C x y C x y =-+-+-+-+-
4322348243216x x y x y xy y =-+-+，
所以()24
2y x x y x ⎛⎫+- ⎪⎝
⎭的展开式中23x y 项的为
()()2
332332840y x xy x y x y x
⋅-+
⋅-=-，系数为40-.
故选：B. 18．C
【详解】()()()()555
222x y x y x x y y x y +-=-+-，
由()52x y -展开式的通项公式()()515C 2r r
r
r T x y -+=-可得： 当3r =时，()5
2x x y -展开式中33x y 的系数为()3
325C 2140⨯⨯-=-；
当2r =时，()52y x y -展开式中33x y 的系数为()2
2
35
C 2180⨯⨯-=， 则33x y 的系数为804040-=. 故选C.
【名师点睛】（1）二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n 和r 的隐含条件，即n ，r 均为非负整数，且n ≥r ，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项. （2）求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解.
19．B
【分析】先根据已知条件求出a 的值，然后求出()6
1x +的展开式的通项公式，根据多项式的乘法即可求出结果.
【详解】由题意知()631128111a ⎛⎫+⨯+ ⎪=⎝⎭，所以1a =，又因为()6
1x +的展开式的通项公式为
6r r C x ，
所以展开式中2x 的系数25
6615621C C +=+=，
故选：B. 20．B
【分析】由二项式定理写出6()x y +的展开式通项公式，结合乘积形式确定含42x y 项，即可得其系数.
【详解】由题意得：6()x y +的展开式的通项为616(0,1,,6)r
r
r r T C x
y r -+=⋅⋅=；
当1r =时，1615
266T C x y x y -==，此时只需乘以因式2y x ⎛⎫- ⎪⎝⎭中的y x 即可，得到426x y ；
当2r =时，262242
3615T C x y x y -==，此时只需乘以因式2y x ⎛⎫- ⎪⎝⎭
中的2-即可，得到4230x y -；
据此可得，6
2()y x y x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭
的展开式中42x y 的系数为24-.
故选：B.
21．C
【分析】由题意根据定义、二项展开式的通项公式，求得要求式子的值． 【详解】在64(1)(1)x y ++的展开式中，记m n x y 项的系数为(,)f m n ， 则()()3,01,2f f +，即30x y 项的系数加上12x y 项的系数，
又()()3012
64643,01,2203656f f C C C C +=⋅+⋅=+=，
故选：C ． 22．A
【分析】用二倍角的余弦公式，将已知方程转化为关于cos α的一元二次方程，求解得出cos α，再用同角间的三角函数关系，即可得出结论.
【详解】3cos28cos 5αα-=，得26cos 8cos 80αα--=， 即23cos 4cos 40αα--=，解得2
cos 3
α=-或cos 2α=（舍去），
又(0,),sin απα∈∴== 故选：A.
【点睛】本题考查三角恒等变换和同角间的三角函数关系求值，熟记公式是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题. 23．C
【分析】依题意可知
2
απ
<<π，得到cos sin 0αα-<，再利用正余弦和差积三者的关系可求得cos sin αα-的值，将所求关系式切化弦，代入所求关系式计算即可． 【详解】由7sin cos 13
αα+=
，平方得到491sin 2169α+=，
49120
sin 21216916s 9
in cos ααα∴=
-=-=， 0απ<<，
∴
2
απ
<<π， cos 0α∴<，而sin 0α>，
cos sin 0αα∴-<； 令cos sin (0)t t αα=-<， 则21sin 2t α=-，
2120289
1sin 21169169
t α∴=-=+=，0t < 1713
t ∴=-
∴
1tan cos sin 13131717
(cos sin )()1tan cos sin 77137
αααααααα--==-=⨯-=-++，
故选：C ． 24．A
【分析】把已知等式利用倍角公式变形，求解sin α，再由同角三角函数基本关系式求解cos α． 【详解】解：由8sin 3cos25αα-=，得28sin 3(12sin )50αα---=， 即23sin 4sin 40αα+-=，解得sin 2α=-（舍)或2
sin 3
α=
．
(0,)2
π
α∈，cos α∴．
故选：A ．
【点睛】本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式与倍角公式的应用，属于基础题． 25．D
【分析】利用二倍角公式化简已知方程求得cos α，进而确定α的范围，得到sin 0α<，由同角三角函数关系可求得结果.
【详解】23cos 28cos 56cos 8cos 80αααα--=--=，解得：2
cos 3
α=-或cos 2α=（舍），
,2παπ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，2cos 03α=-<，,2παπ⎛
⎫∴∈-- ⎪⎝
⎭，sin 0α∴<，
sin α∴==，sin 5tan cos 2
. 故选：D. 26．D
【分析】将1
sin cos 5αα+=两边同时平方得到242sin cos 25αα=-，进而可以缩小角的范围，
得到32
4π
πα<<
，从而得到322
απ
π<<，然后结合二倍角以及同角的平方关系即可求出结果.
【详解】将1
sin cos 5αα+=两边同时平方，112sin cos 25αα+=，所以242sin cos 25αα=-，
因此，sin ,cos αα异号，故
2
απ
<<π，且sin cos 0αα+>，则324ππα<<，
因此322αππ<<，而24sin 22sin cos 25ααα==-，7cos 225==-α，
所以24731
sin 2cos 2252525
⎛⎫+=-
+-=- ⎪⎝⎭αα，
故选：D. 27．D
【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦函数公式即可求解． 【详解】解：因为10,,sin 243πθθ⎛⎫
∈= ⎪⎝⎭
，
sin cos 0θθ∴-<，
sin cos θθ∴-=． 故选：D ． 28．C
【分析】将等式两边平方，应用同角三角函数的平方关系及商数关系可得
2tan 6tan 70A A --=，结合题设即可确定tan A 的值.
【详解】△sin 3cos A A +=
△222sin 6sin cos 9cos 28cos 6sin cos 1A A A A A A A ++=⇒+= △2tan 6tan 70tan 1A A A --=⇒=-或tan 7A =．
由0A π<<且sin 3cos A A +=tan 0A <． △tan 1A =-. 故选：C ． 29．A
【分析】由已知可得等边ABC 的外接圆半径，进而求出其边长，得出1OO 的值，根据球的截面性质，求出球的半径，即可得出结论.
【详解】设圆1O 半径为r ，球的半径为R ，依题意， 得24,2r r ππ=∴=，
ABC 为等边三角形，
由正弦定理可得2sin 60AB r =︒=
1OO AB ∴==，根据球的截面性质1OO ⊥平面ABC ，
11,4OO O A R OA ∴⊥====，
∴球O 的表面积2464S R ππ==.
故选：A
【点睛】本题考查球的表面积，应用球的截面性质是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题. 30．A
【分析】根据球心到平面α的距离,结合球的截面圆的性质,利用勾股定理求出球的半径R ,代入球的表面积公式求解即可.
【详解】因为平面α截球O 的球面所得圆的半径为1，
球心O 到平面α
由球的截面圆的性质可得,球的半径R =
根据球的表面积公式可得，2
24412S R πππ==⨯=，
故选：A 31．D
【解析】易得AB =222AB AC BC =+，得到AC BC ⊥，然后利用直角三角形中线定理得到AB 的中点为球的球心求解 . 【详解】如图所示：
因为PA PB ⊥，3PA PB ==，
所以AB =
.因为AC ==BC 所以222AB AC BC =+，
所以AC BC ⊥.
设AB 的中点为O ，则OA OB OC OP ====
所以外接球表面积为2418r ππ=. 故选：D 32．D
【分析】找到三棱锥P ABC -的外接球的球心，在三角形中求得球半径，从而求得表面积. 【详解】取PB 的中点E ，AB 的中点F ，联结EF ，取ABC 的外接圆圆心为D ，分别从E ，D 作各自平面的垂线，交于O 点，则O 为三棱锥P ABC -的外接球的球心，
由线线，线面关系易知四边形OEFD 为矩形，1
22
OD EF PA ===，AD =
则在Rt ODA 中，外接球半径OA ==
则外接球表面积为26443
π
π=
故选：D 33．D
【分析】根据题意画出图形，先求出O P '，再在Rt O OC '求出R ，即可求解. 【详解】解：如图所示，
设AC 的中点为O '，外接球的球心为O 在Rt PO A '中，
1O P ∴=='，
设外接球的半径为R ，
在Rt O OC '中：222(1)R R -+=， 解得：2R =，
∴外接球的表面积为：2244216R πππ=⨯=.
故选：D. 34．A
【分析】ABC ∆是直角三角形，AC 的中点M 是其外接圆圆心，OM 与平面ABC 垂直，由勾股定理可求得球半径，从而得表面积．
【详解】如图，设M 是AC 中点，△222AB BC AC +=，△ABC ∆是直角三角形，AC 是斜边，则M 是ABC ∆的外心，OM ⊥平面ABC ，OM AC ⊥，设球半径为R ，1
,2
OA R OM R ==
，152AM AC =
=，2221()52R R -=，21003
R =， △21004004433
π
S πR π==⨯=． 故选：A ．
【点睛】本题考查球的表面积，解题时需求出球的半径，解题关键是掌握球的截面圆性质：球心与截面圆圆心连线与截面圆所在平面垂直． 35．D
【解析】通过已知条件求出底面外接圆的半径,设此圆圆心为O ,球心为O ',在Rt OBO '中,求出球的半径,然后求出球的表面积.
【详解】解: 在ABC 中2AB AC a ==,120BAC ∠=︒
可得BC =,
由正弦定理,可得ABC 外接圆半径2r a =, 设此圆圆心为O ,球心为O ',
在Rt OBO '中,易得球半径R =, 故此球的表面积为22420R a ππ= 故选：D
【点睛】本题是基础题,解题思路是：先求底面外接圆的半径,转化为直角三角形,求出球的半径,这是三棱柱外接球的常用方法；本题考查空间想象能力,计算能力.。