2022-2023学年上海师范大学附属中学高二年级上册学期期中数学试题【含答案】

2022-2023学年上海师范大学附属中学高二上学期期中数学试题
一、单选题
1．给定一个正方体形状的土豆块，只切一刀，除了可以得到四面体､四棱柱等类型的多面体以外，还能得到的多面体的类型可以含有（ ） A ．五棱柱､七面体 B ．五棱柱､六棱锥 C ．六棱锥､七面体 D ．以上答案都不正确
【答案】A
【分析】根据正方体的几何结构特征，分别取1111,,,AB AD A B A D 的中点11,,,E F E F ，即可得到一个直五棱柱，即可求解.
【详解】如图所示，分别取1111,,,AB AD A B A D 的中点11,,,E F E F ， 分别连接1111,,,EF EE FF E F ，
可得几何体11111BCDFE B C D F E -为一个直五棱柱，且为七面体. 故选：A.
2．设{}n a 是首项为正数的等比数列,公比为,q 则“0q <”是“对任意的正整数212,n n n a a -+<0”的 A ．充要条件 B ．充分而不必要条件 C ．必要而不充分条件 D ．既不充分也不必要条件
【答案】C
【详解】试题分析：由题意得，22
212(1)21210()0(1)0(,1)n n n n n a a a q
q q q q ----+<⇔+<⇔+<⇔∈-∞-，故是必要不充分条件，故选C. 【解析】充要关系
【名师点睛】充分、必要条件的三种判断方法：
①定义法：直接判断“若p 则q”、“若q 则p”的真假．并注意和图示相结合，例如“p ⇒q”为真，则p 是q 的充分条件．
②等价法：利用p ⇒q 与非q ⇒非p ，q ⇒p 与非p ⇒非q ，p ⇔q 与非q ⇔非p 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．
③集合法：若A ⊆B ，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A ＝B ，则A 是B 的充要条件． 3．已知数列{}n x 满足：1100x >，()12log n n x x n N
*
+=∈，则( )
A ．3212x x x x >
B ．3212x x
x x =
C ．3212x x
x x <
D ．以上均不正确
【答案】B
【分析】结合已知条件，通过递推数列求出20x >，然后利用对数运算分别求出321log x x 和222log x
x ，
进而求得答案.
【详解】因为1100x >，12log n n x x +=，
所以6
22122log log 100log 260x x =>>=>，
故32132123log log x x x x x x ==，22222223log log x
x x x x x ==，
所以322122log log x x x x =，故3212x x
x x =.
故选：B.
4．南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法商功》中出现了如图所示的形状，后人称为“三角垛”（下图所示的是一个4层的三角跺）“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，设第n 层有n a 个球，从上往下n 层球的球的总数为n S ，则下列正确的是（ ）.
A ．()112n n a a n n --=+≥
B ．785S =
C ．9899100
2
a ⨯=
D ．
1232022111140442023
a a a a +++⋅⋅⋅+= 【答案】D
【分析】根据1n n a a n --=由累加法可得()
12
n n n a +=
，进而结合选项可判断ABC,根据裂项求和可判
断D.
【详解】由题意得，11a =，212a a -=，323a a -=，…，1n n a a n --=，以上n 个式子累加可得()()11222
+=++⋅⋅⋅+=
≥n n n a n n ，又11a =满足上式，所以()
12
n n n a +=
， 故A 错误；
则23a =，36a =，410a =，515a =，621a =，728a =， 得71271361015212884S a a a =++⋅⋅⋅+=++++++=，故B 错误； 又989899
2
a ⨯=
，故C 错误； 由
()1211211n a n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭
， 得12202211111111140442121223
2022202320232023a a a ⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故D 正确. 故选：D.
二、填空题
5．已知圆锥的底面半径为3，母线与底面所成角为60，则圆锥侧面积等于___________. 【答案】18π
【分析】画出圆锥的直观图，结合题意，求得圆的底面半径和母线长，利用侧面积公式，即可求解. 【详解】根据题意，可得3,60OA SAO =∠=，如图所示， 在直角SOA 中，可得6cos 60
OA
SO =
=，即圆锥的母线长为23，
所以圆锥的侧面积为3618S rl πππ==⨯⨯=. 故答案为：18π.
6．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11
1152S S S =-，则611
a a =______.
【答案】6
5
【分析】根据等差数列的前n 项和公式，化简得到631110a a =，再利用等差数列基本量化简求6
11
a a 的值. 【详解】由
111152S S S =-得：1152S S =，()11111611112
a a
S a +==，()1553552a a S a +==，
∴631110a a =，设等差数列{}n a 公差为d ，
则()6611103a a d =-，解得：6130
d a =-，∴11666615
566a a d a a a =+=-=，∴661165
6
6
5a a a a ==. 故答案为：6
5
7．设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，11a ＝且1238a a a -=，则5
2
S S 等于 __． 【答案】11-
【分析】先由3
12328a a a a ==-得等比数列的公比，再根据等比数列的前n 项和公式即可求出
5
2
S S 的值．
【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，
由3
12328a a a a ==-得22a =-，
所以2
1
2,a q a =
=- 所以55
15212(1)1(2)11,1(2)1,11(2)
S a q S a a q ---=
===+=+-=---- 则5
2
11.S S =- 故答案为：11-
8．等差数列{}n a 中，()1111
,,2022m n a a a m n n m
===≠，则数列{}n a 的公差为______ 【答案】
1
2022
【分析】根据等差数列通项公式基本量计算，题干中两式相减得到1
d mn
=，两式相加得到11
2022
a d ==
. 【详解】设公差为d ，111()m n m n a a m n d d n m mn mn
-∴-=
-==-⇒=, 11111(1)(1)2(2)()m n m n a a a m d a n d a m n d m n d n m mn
++=+-++-=++-=
+==+
即111
2(2)()2022
a m n d m n d a d ++-=+⇒== 故答案为：
1
2022
9．已知{}n a 为递减数列，且对于任意正整数n ，1n n a a +<恒成立，2n a n n λ=-+恒成立，则λ的取值范围是______. 【答案】(),3-∞
【分析】对于任意正整数n ，1n n a a +<恒成立，再由2
n a n n λ=-+,可以构造出一个关于λ的不等式，
解不等式即可得到答案．
【详解】∵1n n a a +<恒成立，又由2
n a n n λ=-+，∴()()2
211n n n n λλ-+++<-+恒成立，
即21n λ<+对于任意正整数n 恒成立，∴3λ<，所以λ的取值范围是(),3-∞. 故答案为：(),3-∞.
10．《九章算术》叙述了一个老鼠打洞的趣事：今有垣厚十尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠亦一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半.问：何日相逢？各穿几何？意思就是说，有一堵十尺厚的墙，两只老鼠从两边向中间打洞.大老鼠第一天打一尺，小老鼠也是一尺.大老鼠每天的打洞进度是前一天的2倍，小老鼠每天的进度是前一天的一半.第3天结束后，两只老鼠相距______尺. 【答案】54
【分析】根据等比数列的前n 和公式进行求解即可.
【详解】设大老鼠第n 天打洞的距离为n a ，则数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，其前n 项和为n S ；小老鼠第n 天打洞的距离为n b ，则数列{}n b 是首项为1，公比为1
2的等比数列，其前n
项和为n T .则111121*********
n
n n n n n S T --
-+=
+=-+--，则33384
S T +=+，从而相距3510844--=尺. 故答案为：5
4
11．如图为一个圆锥形的金属配件，重75.06克，其轴截面是一个等边三角形，现将其打磨成一个体积最大的球形配件，则该球形配件的重量约为______克.
【答案】33.36
【分析】分别求出圆锥的体积和内切球的体积，然后利用体积比，计算得到该内切球的重量. 【详解】设圆锥形的体积为：1V ，底面半径为r ；内切球的体积为：2V ， ∴(
)21123V r r π=
，3
241233V r π⎫
=⋅⎪⎪⎝⎭， ∴
12975.069
33.3644
V m V m =⇒=⇒=. 故答案为：33.36
12．在数列{}n a 中，25
n a n n
=+，则12232425a a a a a a -+-+⋅⋅⋅+-=______． 【答案】32
【分析】构造函数25
y x x
=+
，0x >，利用对勾函数的性质，去绝对值后求解. 【详解】解：令函数25
y x x
=+
，0x >， 由对勾函数的性质得函数25
y x x
=+
在()0,5上单调递减，在()5,+∞上单调递增， 所以当5n ≤时，{}n a 是递减数列，当5n ≥时，{}n a 是递增数列， 所以12345672425a a a a a a a a a >>>><<<⋅⋅⋅<<， 所以12232425a a a a a a -+-+⋅⋅⋅+-，
()()()()12233445a a a a a a a a =-+-+-+-()()6576a a a a +-+-+()2524a a ⋅⋅⋅+-，
12552a a a =+-，
262621032=+-⨯=．
故答案为：32
13．若数列{}n a 对任意()2n n ≥∈N 满足：()()11220n n n n a a a a -----=，下面关于数列{}n a 的命题正确命题的序号是______. ①{}n a 可以是等差数列 ②{}n a 可以是等比数列
③{}n a 可以既是等差又是等比数列 ④{}n a 可以既不是等差又不是等比数列 【答案】①②④
【分析】根据()()11220n n n n a a a a -----=将题目拆分为两部分：120 n n a a ---=或120n n a a --=，根据条件分析得出结论.
【详解】因为()()11220n n n n a a a a -----=， 所以120 n n a a ---=或120n n a a --=， 即：12n n a a --=或12n n a a -=，
当0n a ≠，10n a -≠时，{}n a 是等差数列或是等比数列， 当0n a =或10n a -=时，{}n a 可以既不是等差又不是等比数列， 故答案为：①②④.
14．稠环芳香烃化合物中有不少是致癌物质，比如学生钟爱的快餐油炸食品中会产生苯并芘，它是由一个苯环和一个芘分子结合而成的稠环芳香烃类化合物，长期食用会致癌.下面是一组稠环芳香烃的结构简式和分子式： 名称
萘
蒽
并四苯
… 并n 苯
结构简式
… …
分子式 108
C H 1410
C H 1812
C H
… …
由此推断并十苯的分子式为________. 【答案】4224C H
【分析】根据等差数列的定义可以判断出稠环芳香烃的分子式中C 、H 的下标分别成等差数列，结合等差数列的通项公式可以求出并n 苯的分子式，最后求出并十苯的分子式即可.
【详解】因为稠环芳香烃的分子式中C 下标分别是：10,14,18
，H 的下标分别是：8,10,12
所以稠环芳香烃的分子式中C 下标成等差数列，首项为10，公差为4，所以通项公式为： 10(1)446n C n n =+-⋅=+，
稠环芳香烃的分子式中H 下标成等差数列，首项为8，公差为2，所以通项公式为： 8(1)226n H n n =+-⋅=+，
所以并n 苯的分子式为：42n C +24(2,)n H n n N *
+≥∈，
因此当10n =时，得到并十苯的分子式为：4224C H . 故答案为：4224C H
【点睛】本题考查了等差数列的定义，考查了等差数列的通项公式的应用，考查了数学运算能力和推理论证能力.
15．若数列{}n a 和{}n b 满足12a =，10b =，1232n n n a a b +=++，1232n n n b a b +=+-，则20222021a b +=______.
【答案】2020321⨯+
【分析】由题干中两式相加构造等比数列{}n n a b +，进而求出{}1n n a b ++的通项公式，代入计算即可. 【详解】因为1232n n n a a b +=++，1232n n n b a b +=+-， 所以()112232324n n n n n n n n a b a b a b a b ++-+=++++=+， 即()112n n n n a b a b +++=+，
又112a b +=，所以{}n n a b +是以2为首项，2为公比的等比数列，所以2n
n n a b +=，
又1232n n n a a b +=++，即131
122
n n n a a b +=++，所以 ()1313112223
212
n n n n n n n n a b a b b a b +=
==⨯+++++++ 所以20212002222200
213213212
a b +=⨯+=⨯+；
故答案为：2020321⨯+.
16．“康托尔尘埃”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：在一个单位正方形中，首先，将正方形等分成9个边长为1
3
的小正方形，保留靠角的4个小正方形，记4个小
正方形的面积和为1S ；然后，将剩余的4个小正方形分别继续9等分，分别保留靠角的4个小正方形，记所得的16个小正方形的面积和为2S ；……；操作过程不断地进行下去，以至无穷，保留的图形称为康托尔尘埃．若1219
25
n S S S ++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+≥
，则需要操作的次数n 的最小值为______．
【答案】4
【分析】分别求出1S ，2S 进而可得n S ，可得{}n S 是等比数列，再利用等边数列求和公式求12n S S S ++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+，利用单调性解不等式即可得答案.
【详解】1S 是4个边长为13的小正方形面积之和，所以 2
1143S ⎛⎫
=⨯ ⎪⎝⎭
，
2S 是24个边长为2
13⎛⎫ ⎪⎝⎭的小正方形面积之和，所以2
2222211144333S ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⨯=⨯⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦
；
3S 是34个边长为313⎛⎫ ⎪⎝⎭
的小正方形面积之和，所以3
33
2
3311144333S ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=⨯⨯=⨯⎢⎥ ⎪ ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭
⎝⎭⎢⎥⎣⎦
；
所以214439n
n
n S ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⨯=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎢⎥⎣⎦，
所以{}n S 是首项为49，公比为4
9
的等比数列，
所以124419944145919n n
n
S S S ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+， 所以121925n S S S ++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+≥即4419
15925n
⎡⎤⎛⎫-≥⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦
，
所以41920n
⎛⎫
≤ ⎪⎝⎭
，
因为()49x
f x ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
在R 上单调递减，
而()3
464130.088972920f ⎛⎫
==≈>
⎪⎝⎭不成立， ()4
4256140.0399656120f ⎛⎫==≈< ⎪⎝⎭，即4
41920
⎛⎫
≤ ⎪⎝⎭， 所以需要操作的次数n 的最小值为4次， 故答案为：4.
三、解答题
17．半正多面体亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形为面的多面体，体现了数学
的对称美.如图，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，如此共可截去八个三棱锥，得到一个有十四个面的半正多面体，它们的棱长都相等，其中八个为正三角形，六个为正方形，称这样的半正多面体为二十四等边体.若二十四等边体的棱长2，
（1）求其体积；
（2）若其各个顶点都在同一个球面上，求该球的表面积. 【答案】（1）
402
3
；（2）16π. 【分析】（1）将二十四正多面体放入正方体中，利用正方体减去8个三棱锥即可求得体积；（2）求得正方体的中心O 到正方体各棱中点的距离即可求得球的半径，从而求得球的表面积. 【详解】将二十四正多面体放入正方体中，如下图所示，
由于二十四等边体的棱长为2，则正方体的棱长为22（1）该二十四正四面体是由棱长为28个三棱锥所得， 所以该二十四正四面体的体积为311402
(22)822232-⨯⨯=
. （2）由于正方体的中心O 22
(22)(22)2+=，
所以该二十四正四面体外接球的球心为O ，且半径为2，其表面积为24216ππ⨯=. 18．已知数列{}n a 中，11a =，113n
n n
a a a +=
+ (1)判断数列1n a ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
是否为等差数列？并求数列{}n a 的通项公式；
(2)设数列{}n b 满足：2n
n n b a =，求{}n b 的前n 项和n T .
【答案】(1)是，1
32
n a n =
-
(2)()110352n n T n +=+-⨯
【分析】（1）对已知等式变形可得1113n n
a a +-=，从而可证得数列1n a ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
为等差数列，进而可求出其通项公式；
（2）由（1）可得()232n
n b n =⋅-，然后利用错位相减法可求得结果.
【详解】（1）∵11a =，113n n n a a a +=+，∴1113n n
a a +=+，
∴111
3n n a a +-=， 又
1
11a ，∴数列1n a ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
是首项为1，公差为3的等差数列.
∴()1
11332n
n n a =+-⨯=-， ∴1
32
n a n =
-； （2）∵()232n
n b n =⋅-，
∴()()1231124272352322n n
n T n n -=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+-⨯，
()()23412124272352322n n n T n n +=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+-⨯，
∴()231
2323232322n n n T n +-=+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯--⨯
()()()1111121223222123232212
n n n n n n -+++-=+
--⨯=-+⨯--⨯-
()110532n n +=-+-⨯ ，
∴()1
10352n n T n +=+-⨯.
19．甲、乙两人同时分别入职,A B 两家公司，两家公司的基础工资标准分别为：A 公司第一年月基础工资数为3700元，以后每年月基础工资比上一年月基础工资增加300元；B 公司第一年月基础工资数为4000元，以后每年月基础工资都是上一年的月基础工资的1.05倍． (1)分别求甲、乙两人工作满10年的基础工资收入总量（精确到1元）
(2)设甲、乙两人入职第n 年的月基础工资分别为n a 、n b 元，记n n n c a b =-，讨论数列{}n c 的单调性，指出哪年起到哪年止相同年份甲的月基础工资高于乙的月基础工资，并说明理由． 【答案】(1)甲的基础工资收入总量606000元；乙的基础工资收入总量603739元 (2)单调性见解析；从第5年到第14年甲的月基础工资高于乙的月基础工资；理由见解析
【分析】（1）易得甲的工资满足等差数列，乙的工资满足等比数列，再根据等差等比数列的求和公式求解即可
（2）根据题意可得1
34003004000 1.05n n c n -=+-⨯，再求解10n n c c +->分析{}n c 的单调性，并计算
0n c <时n 的取值范围即可
【详解】（1）甲的基础工资收入总量
11
(370010109300)126060002S =⨯+⨯⨯⨯⨯=元
乙的基础工资收入总量
()1024000 1.0511********.051
S ⨯-=
⨯=-元
（2）()37003001n a n =+-，1
4000 1.05n n b -=⨯
134003004000 1.05n n c n -=+-⨯，()1340030014000 1.05n n c n +=++-⨯，
设1
1300200 1.050n n n c c -+-=-⨯>，即11.05 1.5n -<，解得18n ≤≤
所以当18n ≤≤时，{}n c 递增，当9n ≥时，n c 递减
又当0n c <，即134003004000 1.05n n -+<⨯，解得514n ≤≤，所以从第5年到第14年甲的月基础工资高于乙的月基础工资． ．
20．数列{}n a 满足：2
1n n
n a a a +=-+，110,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
； (1)求证：2222
1231n a a a a a +++⋅⋅⋅+<；
(2)求证：对任意正数b ，都存在正整数m 使得1231111
1111m
b a a a a +++⋅⋅⋅+>----成立； (3)求证：11
n a n <
+ 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析
【分析】（1）显然()()()222
121223111n n n n a a a a a a a a a a a ++++⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+-=-，然后利用题里面给
的条件证明10n a +>即可；（2）根据题意证明
1231111
1111m
m a a a a +++⋅⋅⋅+>----，任意取一个正数b ，
都存在m b >，原式得证；（3）显然11
11a <+成立，只需证明前一项11n a n <+成立时，后一项112
n a n +<+成立即可.
【详解】（1）由已知得：2
1n n n a a a +=-，
所以()()()222
121223111n n n n a a a a a a a a a a a ++++⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+-=-
因为2
1n n n a a a +=-+，110,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
易知2211110,42a a a ⎛⎫=-<∈ ⎪⎝⎭，2
322310,162a a a ⎛⎫=-<∈ ⎪⎝⎭，
，
21110,2n n n a a a --⎛⎫∈ ⎪⎝=-⎭+2
110,2n n n a a a +⎛⎫∈ ⎪⎝=+⎭
-
所以有222
12111n n a a a a a a +++⋅⋅=-<⋅+
（2）由（1）可知10,2n a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以有：1112n
a <-<，1121n
a <<-， 所以
12111
111m
m a a a ++⋅⋅⋅+>---，显然对任意的正数b ，在在正整数m ，使得m b >， 此时
1231111
1111m
b a a a a +++⋅⋅⋅+>----成立； （3）当1n =时，由己知得：11
2
a <成立， 假设当1,n n N ≥∈时，1
1
n a n <
+成立， 则2
2
2
111112411n n
n n a a a a n n +⎛⎫⎛⎫
=-+=--+<-+
⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭， 又()
()()2
21
111012121n n n n n -
+
-=-<+++++，即()2
111
12
1n n n -+<+++， 所以112n a n +<+，综上所述：当()0n n ∈>N 时，11
2
n a n +<
+. 因为11
11a <+成立，若11n a n <+成立，则112
n a n +<
+ 故21
21a <+成立 得31
31
a <+成立
得1
1
n a n <
+成立. 21．《九章算术·商功》：“斜解立方，得两堑堵.斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑.阳马居二，鳖臑居一，不易之率也.合两鳖臑三而一，验之以棊，其形露矣.”刘徽注：“此术臑者，背节也，或曰半阳马，
其形有似鳖肘，故以名云.中破阳马，得两鳖臑，鳖臑之起数，数同而实据半，故云六而一即得.”
如图，在鳖臑ABCD 中，侧棱AB ⊥底面BCD ；
(1)若BC CD ⊥，ADB θ∠=1，2BDC θ∠=，3ADC θ∠=，求证：123cos cos cos θθθ⋅=； (2)若1AB =，2BC =，1CD =，试求异面直线AC 与BD 所成角的余弦.
(3)若BD CD ⊥，2AB BD CD ===，点P 在棱AC 上运动.试求PBD △面积的最小值. 【答案】(1)详见解析 (2)4515； 2
【分析】（1）不同的直角三角形中，分别表示所求角的余弦值，即可证明；
（2）首先将异面直线所成角转化为相交直线所成的角，再分BC CD ⊥和BD DC ⊥两种情况求余弦值；
（3）首先作辅助线，构造PBD △的高PM ，再设CQ x =，利用相似关系，勾股定理表示PM ，并表示PBD △的面积，求面积的最小值.
【详解】（1）如图，因为AB ⊥底面BCD ，CD ⊂平面BCD 所以AB CD ⊥，又CD BC ⊥，且AB BC B ⋂=， 所以CD ⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ， 所以CD AC ⊥，
所以1cos BD AD θ=
，2cos CD BD θ=，3cos CD
AD
θ=
, 所以123cos cos cos θθθ=；
（2）如图，以,DB DC 为临边作平行四边形BDCE ，连结AE ，则异面直线AC 和BD 所成的角为
ACE ∠或其补角，
当BC CD ⊥时，1,2,1AB BC CD ===，并且由（1）可知，22112AE =+=22125AC +22215EC BD ==+=ACE △中，2224
cos 25
AC EC AE ACE AC EC +-∠==⨯⨯，所以异面直线AC 和BD 所成的角的余弦值为45；
当BD DC ⊥时，2AE =5AC 22213EC BD =-,
ACE △中，22215cos 2AC EC AE ACE AC EC +-∠=⨯⨯所以异面直线AC 和BD 15
； 综上可知，异面直线AC 和BD 所成的角的余弦值为4515
（3）如图，作PQ BC ⊥于点Q ，作QM BD ⊥于点M ，连结PM ，
ABC 中，,AB PQ 都垂直于BC ，所以//AB PQ ，
所以PQ ⊥平面BCD ，且BD ⊂平面BCD ，所以PQ BD ⊥， 又因为QM BD ⊥，PQ QM Q =，
所以BD ⊥平面PQM ，PM ⊂平面PQM ，所以PM BD ⊥， 设CQ x =，22CB =222
PQ CQ PQ AB CB =⇒= 得2
PQ =
(022x ≤≤， BCD △中，
22222BQ QM x QM BC CD -==，得222
x
QM -= ()
2
2
2222222422
x x
PM PQ QM x x -++-+
()
2
222x =
-+
当且仅当
x
所以11
222
PBD S BD PM =
⋅≥⨯=△
所以PBD △。