。2017-2018学年上海市徐汇区南洋模范中学高二(上)开学数学试卷

2017-2018学年上海市徐汇区南洋模范中学高二（上）开学数学
试卷
一.填空题
1．（3分）已知平面向量，且，则=．2．（3分）计算：=．
3．（3分）若f（n）=1+2+3+…+（n﹣1）+n+（n﹣1）+…+2+1（n∈N*），则f（k+1）﹣f（k）=．
4．（3分）等比数列{a n}中，已知a2=4，，则通项公式为．5．（3分）化简：=．
6．（3分）函数y=3sin（2x+5θ）的图象关于y轴对称的充要条件是．7．（3分）等比数列{a n}中，各项的和a1+a2+…+a n+…＝，则a1的取值范围是．8．（3分）函数（x≤0）的反函数是．
9．（3分）函数f（x）=log0.5（x2﹣ax+3a）的值域为R，则实数a的取值范围是．10．（3分）记数列a n是首项a1=a，公差为2的等差数列；数列b n满足2b n=（n+1）a n，若对任意n∈N*都有b n≥b5成立，则实数a的取值范围为．
二.选择题
11．（3分）等比数列{a n}中，|a1|=1，a5=﹣8a2，a5＞a2，则a n=（）A．（﹣2）n﹣1B．﹣（﹣2n﹣1）C．（﹣2）n D．﹣（﹣2）n
12．（3分）已知，，，则向量在向量上的投影为（）A．B．3 C．4 D．5
13．（3分）要得到函数y=sin2x的图象，需要将函数的图象（）
A．向左平移 B．向右平移 C．向左平移 D．向右平移
14．（3分）如图，若，，，则向量可用，表示为（）
A． B．C． D．
15．（3分）若f（x）=是R上的减函数，那么a的取值范围是（）
A．（0，1） B．（0，）C．[，）D．[，1）
16．（3分）O是平面上一定点，A、B、C是该平面上不共线的3个点，一动点P 满足：，λ＞0，则直线AP一定通过△ABC的（）
A．外心B．内心C．重心D．垂心
17．（3分）若函数f（x）的值域是，则函数的值域是（）
A． B．C．D．
18．（3分）对于函数f（x）=，下列命题正确的是（）A．值域[﹣1，1]
B．当且仅当x=2kπ+，（k∈Z）取得最大值
C．最小正周期为π
D．当且仅当2kπ+π＜x＜2kπ+，（k∈Z）时f（x）＜0
三.解答题
19．定义在R+的增函数，对任意的x，y∈R+，f（xy）=f（x）+f（y），f（3）=1．（1）求f（9）；
（2）若f（a）＞f（a﹣1）+2，求a的取值范围．
20．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，则?=S△ABC．（1）求sin2+cos2A；
（2）若b=2，△ABC的面积S△ABC=3，求a．
21．已知函数f（x）=sin2x﹣cos2x﹣，x∈R．
（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递减区间；
（2）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c且c=，f（C）=0．若sinB=2sinA，求a，b的值．
22．已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=n﹣5a n﹣85，n∈N*．
（1）证明：{a n﹣1}是等比数列；
（2）求出n为何值时，S n取得最小值，并说明理由．
23．已知函数f（x）=log a（a＞0，a≠1）是奇函数．
（1）求实数m的值
（2）判断函数f（x）在（1，+∞）上的单调性，并给出证明
（3）当x∈（n，a﹣2）时，函数f（x）的值域是（1，+∞），求实数a与n的值．
2017-2018学年上海市徐汇区南洋模范中学高二（上）开
学数学试卷
参考答案与试题解析
一.填空题
1．（3分）已知平面向量，且，则=（﹣4，﹣8）．
【分析】通过向量的平行，求出m，然后直接求解即可．
【解答】解：因为平面向量，且，
所以1×m﹣（﹣2）×2=0，m=﹣4，
所以=2（1，2）+3（﹣2，﹣4）=（﹣4，﹣8）．
故答案为：（﹣4，﹣8）．
【点评】本题考查向量的平行的充要条件，向量的加减法的基本运算，考查计算能力．
2．（3分）计算：=﹣4．
【分析】根据极限的运算法则，对所求极限的代数式进行转化、求值即可．
【解答】解：
=
=
=
=﹣4．
故答案为：﹣4．
【点评】本题考查了极限的计算问题，也考查了转化思想，是基础题．
3．（3分）若f（n）=1+2+3+…+（n﹣1）+n+（n﹣1）+…+2+1（n∈N*），则f（k+1）﹣f（k）=2k+1．
【分析】利用倒序相加法求出f（k），进一步求得f（k+1），与f（k）作差后得答案．
【解答】解：∵f（k）=1+2+3+…+（k﹣1）+k+（k﹣1）+…+3+2+1
=2[1+2+3+…+（k﹣1）]+k
=2×+k=k2．
∴f（k+1）﹣f（k）=（k+1）2﹣k2=2k+1．
故答案为：2k+1．
【点评】本题考查倒序相加法求数列的和，考查了学生观察问题和分析问题的能力，是中低档题．
4．（3分）等比数列{a n}中，已知a2=4，，则通项公式为a n=（﹣1）n?24﹣n．
【分析】利用通项公式即可得出．
【解答】解设：等比数列{a n}的公比为q，∵a2=4，，
∴，解得q=﹣．
∴a n==（﹣1）n?24﹣n．
故答案为：a n=（﹣1）n?24﹣n．
【点评】本题考查了等比数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
5．（3分）化简：=﹣sinθ．
【分析】根据诱导公式的口诀”奇变偶不变，符号看象限”和三角函数在各个象符
号限中的符号，对式子进行化简．
【解答】解：式子===﹣sinθ，
故答案为：﹣sinθ．
【点评】本题考查了诱导公式的应用，利用口诀“奇变偶不变，符号看象限”和三角函数在各个象符号限中的符号，一定注意符号问题，这也是易错的地方．
6．（3分）函数y=3sin（2x+5θ）的图象关于y轴对称的充要条件是
（k∈Z）．
【分析】直接利用整体思想和函数的图象关于y轴对称的条件得出结论．
【解答】解：函数y=3sin（2x+5θ）的图象关于y轴对称，
则：5θ=kπ（k∈Z），
解得：（k∈Z）．
故答案为：（k∈Z）．
【点评】本题考查的知识要点：正弦型函数的性质的应用．
7．（3分）等比数列{a n}中，各项的和a1+a2+…+a n+…＝，则a1的取值范围是
．
【分析】依题意知|q|＜1且q≠0，由=和题意，求出公比q 的表达式，再由公比的范围列出不等式组，可求得a1的取值范围
【解答】解：依题意知，等比数列的公比满足|q|＜1且q≠0
所以，
则=．
∴=
那么：q=1﹣2a1．
则，
解得：或．
故答案为：
【点评】本题考查数列的求和与数列的极限，求得q是解题的关键，考查转化思想与运算能力，属于中档题
8．（3分）函数（x≤0）的反函数是（x≥﹣1）．【分析】先求函数（x≤0）的值域，从而确定反函数的定义域，再解
方程化出x=﹣，从而写出反函数．
【解答】解：∵（x≤0），
∴y≥﹣1，
∴（y+1）3=x2，
∵x≤0，
故x=﹣，
函数（x≤0）的反函数是（x≥﹣1）．
故答案为：（x≥﹣1）．
【点评】本题考查了反函数的求法，属于基础题．
9．（3分）函数f（x）=log0.5（x2﹣ax+3a）的值域为R，则实数a的取值范围是（﹣∞，0]∪[12，+∞）．
【分析】由函数f（x）=log0.5（x2﹣ax+3a）的值域为R，可得t=x2﹣ax+3a能够取到大于0的所有数，再由判别式≥0求得a的取值范围．
【解答】解：∵函数f（x）=log0.5（x2﹣ax+3a）的值域为R，
∴t=x2﹣ax+3a能够取到大于0的所有数，
则△=（﹣a）2﹣12a≥0，解得a≤0或a≥12，
∴实数a的取值范围是（﹣∞，0]∪[12，+∞）．
故答案为：（﹣∞，0]∪[12，+∞）．
【点评】本题考查函数的值域，考查数学转化思想方法，是中档题．
10．（3分）记数列a n是首项a1=a，公差为2的等差数列；数列b n满足2b n=（n+1）a n，若对任意n∈N*都有b n≥b5成立，则实数a的取值范围为[﹣22，﹣18] ．【分析】根据题意数列{a n}是等差数列可得其通项公式为a n=2n+（a﹣2），进而得到b n=+﹣1，结合二次函数的性质解决问题即可．
【解答】解：由题意可得：数列{a n}是首项a1=a，公差为2的等差数列
所以a n=a+2（n﹣1）=2n+（a﹣2）．
所以b n=+﹣1，即b n是关于n的一元二次函数．
由二次函数的性质可得：，
解得：﹣22≤a≤﹣18．
故答案为：[﹣22，﹣18]．
【点评】解决此类问题的关键是熟悉等差数列的通项公式以及二次函数的性质，
并且进行正确的运算也是关键．
二.选择题
11．（3分）等比数列{a n}中，|a1|=1，a5=﹣8a2，a5＞a2，则a n=（）A．（﹣2）n﹣1B．﹣（﹣2n﹣1）C．（﹣2）n D．﹣（﹣2）n
【分析】根据等比数列的性质，由a5=﹣8a2得到等于q3，求出公比q的值，
然后由a5＞a2，利用等比数列的通项公式得到a1大于0，化简已知|a1|=1，得到a1的值，根据首项和公比利用等比数列的通项公式得到a n的值即可．
【解答】解：由a5=﹣8a2，得到=q3=﹣8，解得q=﹣2，
又a5＞a2，得到16a1＞﹣2a1，解得a1＞0，所以|a1|=a1=1
则a n=a1q n﹣1=（﹣2）n﹣1
故选：A．
【点评】此题考查学生灵活运用等比数列的性质及前n项和的公式化简求值，是一道中档题．
12．（3分）已知，，，则向量在向量上的投影为（）A．B．3 C．4 D．5
【分析】向量在向量上的投影为，代入数据计算即可．
【解答】解：向量在在向量上的投影为=
故选：A．
【点评】本题考查向量投影的概念，牢记公式是前提，准确计算是关键．
13．（3分）要得到函数y=sin2x的图象，需要将函数的图象（）A．向左平移 B．向右平移 C．向左平移 D．向右平移
【分析】化简函数表达式，由左加右减上加下减的原则判断函数的平移的方向．【解答】解：要得到函数y=sin2x的图象，需要将函数=sin[2（x ﹣）]的图象，向左平移单位即可．
故选：C．
【点评】本题考查三角函数的图象的平移变换，考查平移的原则的应用，基础题．
14．（3分）如图，若，，，则向量可用，表示为（）
A． B．C． D．
【分析】由===+（），化简可得结果．
【解答】解：===+（）=，
故选：A．
【点评】本题考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，得到=
=，是解题的关键．
15．（3分）若f（x）=是R上的减函数，那么a的取值范围是（）
A．（0，1） B．（0，）C．[，）D．[，1）
【分析】利用分段函数是减函数，列出不等式组求解即可．
【解答】解：因为f（x）为（﹣∞，+∞）上的减函数，
所以有，解得≤a＜，
故选：C．
【点评】本题考查分段函数的性质，函数单调性的性质，属中档题．
16．（3分）O是平面上一定点，A、B、C是该平面上不共线的3个点，一动点P 满足：，λ＞0，则直线AP一定通过△ABC的（）A．外心B．内心C．重心D．垂心
【分析】取线段BC的中点E，则=2．动点P满足：，λ＞0，则=2．即可判断出结论．
【解答】解：取线段BC的中点E，则=2．
动点P满足：，λ＞0，则=2．
第11页（共17页）则直线AP 一定通过△ABC 的重心．
故选：C ．
【点评】本题考查了向量平行四边形法则、
三角形重心的性质，考查了推理能力
与计算能力，属于中档题．17．（3分）若函数f （x ）的值域是
，则函数的值域是（
）A ． B ．C ．D ．
【分析】令f （x ）=t ，则t ∈
，然后利用“对勾函数”的单调性求函数的值域．
【解答】解：令f （x ）=t ，则t ∈
，∴函数
化为y=t+，t ∈，该函数在[，1]上为减函数，在[1，4]上为增函数，
而f （1）=2，f （）=f （4）=，
∴函数
的值域是[2，
]．故选：D ．【点评】本题考查函数值域的求法，训练了利用
“对勾函数”的单调性求函数的值
域，是基础题．18．（3分）对于函数f （x ）=
，下列命题正确的是（）A ．值域[﹣1，1]
B ．当且仅当x=2k π+
，（k ∈Z ）取得最大值C ．最小正周期为π
D ．当且仅当2k π+π＜x ＜2k π+，（k ∈Z ）时f （x ）＜0
【分析】根据题意，讨论函数f （x
）的定义域、值域，单调性与最值，从而得出。