山东省宁阳第一中学平面向量及其应用经典试题(含答案)

一、多选题1．题目文件丢失！
2．下列说法中错误的为（ ）
A ．已知(1,2)a =，(1,1)b =，且a 与a b λ+的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是
5,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭
B ．向量1(2,3)e =-，213,24e ⎛⎫
=-
⎪⎝⎭
不能作为平面内所有向量的一组基底 C ．若//a b ，则a 在b 方向上的投影为||a
D ．非零向量a 和b 满足||||||a b a b ==-，则a 与a b +的夹角为60° 3．已知,,a b c 是同一平面内的三个向量，下列命题中正确的是（ ） A ．||||||a b a b ⋅≤
B ．若a b c b ⋅=⋅且0b ≠，则a c =
C ．两个非零向量a ，b ，若||||||a b a b -=+，则a 与b 共线且反向
D ．已知(1,2)a =，(1,1)b =，且a 与a b λ+的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是
5,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭
4．在ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，已知
cos cos 2B b
C a c
=-，
4
ABC S =
△，且b = ）
A ．1cos 2
B =
B ．cos B =
C ．a c +=
D ．a c +=5．已知在平面直角坐标系中，点()10,1P ，()24,4P .当P 是线段12PP 的一个三等分点
时，点P 的坐标为（ ）
A ．4,23⎛⎫
⎪⎝⎭
B ．4,33⎛⎫ ⎪⎝⎭
C ．()2,3
D ．8,33⎛⎫ ⎪⎝⎭
6．已知点()4,6A ，33,2B ⎛⎫- ⎪⎝
⎭
，与向量AB 平行的向量的坐标可以是（ ） A ．14,33⎛⎫
⎪⎝⎭
B ．97,2⎛
⎫ ⎪⎝⎭
C ．14,33⎛⎫
-
- ⎪⎝⎭
D ．(7，9)
7．设a ，b ，c 是任意的非零向量，且它们相互不共线，给出下列选项，其中正确的有（ ）
A ．()
a c
b
c a b c ⋅-⋅=-⋅ B ．()
()
b c a c a b ⋅⋅-⋅⋅与c 不垂直 C ．a b a b -<-
D ．(
)()
22
323294a b a b a b +⋅-=-
8．已知向量()1,0a =，()2,2b =，则下列结论正确的是（ ） A ．()25,4a b += B ．2b = C ．a 与b 的夹角为45°
D ．()
//2a a b +
9．已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，D ，E 分别是AC 、AB 上的两点，且
AE EB =，2AD DC =，BD 与CE 交于点O ，则下列说法正确的是（ ）
A ．1A
B CE ⋅=- B ．0OE O
C +=
C ．32
OA OB OC ++=
D ．ED 在BC 方向上的投影为
76
10．下列关于平面向量的说法中正确的是（ ）
A ．已知A 、
B 、
C 是平面中三点，若,AB AC 不能构成该平面的基底，则A 、B 、C 共线 B ．若a b b c ⋅=⋅且0b ≠，则a c =
C ．若点G 为ΔABC 的重心，则0GA GB GC ++=
D ．已知()12a =-，，()2,b λ=，若a ，b 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围为1λ< 11．在△ABC 中,若cos cos a A b B =,则△ABC 的形状可能为( ) A ．直角三角形
B ．等腰三角形
C ．等腰直角三角形
D ．等边三角形
12．在ABCD 中，设AB a =，AD b =，AC c =，BD d =，则下列等式中成立的是（ ） A ．a b c +=
B ．a d b +=
C ．b d a +=
D ．a b c +=
13．对于ABC ∆，有如下判断，其中正确的判断是（ ） A ．若sin 2sin 2A B =，则ABC ∆为等腰三角形 B ．若A B >，则sin sin A B >
C ．若8a =，10c =，60B ︒=，则符合条件的ABC ∆有两个
D ．若222sin sin sin A B C +<，则ABC ∆是钝角三角形
14．已知ABC ∆的面积为3
2
,且2,b c ==,则A =( ) A ．30°
B ．60°
C ．150°
D ．120°
15．下列命题中正确的是( )
A ．对于实数m 和向量,a b ,恒有()m a b ma mb -=-
B ．对于实数,m n 和向量a ,恒有()m n a ma na -=-
C ．若()ma mb m =∈R ,则有a b =
D ．若(,,0)ma na m n a =∈≠R ,则m n =
二、平面向量及其应用选择题
16．在△ABC 中，AB ＝a ，BC ＝b ，且a b ⋅>0，则△ABC 是（ ） A ．锐角三角形
B ．直角三角形
C ．等腰直角三角形
D ．钝角三角形
17．已知ABC 所在平面内的一点P 满足20PA PB PC ++=，则
::PAB PAC PBC S S S =△△△（ ）
A ．1∶2∶3
B ．1∶2∶1
C ．2∶1∶1
D ．1∶1∶2
18．在ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C
所对的边，若
lg lg lg sin a c B -==-，且0,2B π⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，则ABC 的形状是（ ）
A ．等边三角形
B ．锐角三角形
C ．等腰直角三角形
D ．钝角三角形
19．设θ为两个非零向量,a b →→
的夹角，已知对任意实数t ，||b t a →
→
-的最小值为1，则（ ）
A ．若θ确定，则||a →
唯一确定 B ．若θ确定，则||b →
唯一确定 C ．若||a →
确定，则θ唯一确定
D ．若||b →
确定，则θ唯一确定
20．在ABC ∆中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C
的对边，若
sin cos sin a b c
A B B
===ABC ∆的面积为（ ） A ．2
B ．4
C
D
．21．在三角形ABC 中，若三个内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，1a =
，c =45B =︒，则sin C 的值等于（ ）
A ．
441
B ．
45
C ．
425
D
22．已知点O 是ABC 内部一点，并且满足2350OA OB OC ++=，OAC 的面积为
1S ，ABC 的面积为2S ，则1
2
S S =
A ．310
B ．38
C ．
25
D ．
421
23．ABC ∆内有一点O ，满足3450OA OB OC ++=，则OBC ∆与ABC ∆的面积之比为（ ） A ．1:4
B ．4:5
C ．2:3
D ．3:5
24．已知非零向量AB 与AC 满足0
AB AC BC AB AC ⎛⎫ ⎪+⋅= ⎪
⎝⎭
且
1
2AB AC AB AC ⋅=，则ABC 的形状是（ ） A ．三边均不相等的三角形 B ．等腰直角三角形 C ．等边三角形
D ．以上均有可能
25．如图，在ABC 中，60,23,3C BC AC ︒===，点D 在边BC 上，且
27
sin 7
BAD ∠=
，则CD 等于（ ）
A ．
23
B ．
3 C ．
33
D ．
43
26．在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别是,.a b c ，若cos 2a
B c
=，则ABC ∆一定是（ ） A ．等腰三角形
B ．等边三角形
C ．直角三角形
D ．等腰直角三角形
27．已知ABC 的面积为30，且12
cos 13
A =，则A
B A
C ⋅等于（ ） A ．72
B ．144
C ．150
D ．300
28．如图所示，在山底A 处测得山顶B 的仰角为45︒，沿倾斜角为30的山坡向山顶走1000米到达S 点，又测得山顶的仰角为75︒，则山高BC =（ ）
A ．500米
B ．1500米
C ．1200米
D ．1000米
29．已知M (3，－2)，N (－5，－1)，且1
2
MP MN =，则P 点的坐标为( ) A ．(－8,1) B ．31,2⎛
⎫-- ⎪⎝
⎭
C ．31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
D ．(8，－1)
30．已知向量()
2
2cos ,3m x =，()1,sin2n x =，设函数()f x m n =⋅，则下列关于函数
()y f x =的性质的描述正确的是( )
A ．关于直线12
x π
=对称
B ．关于点5,012π⎛⎫
⎪⎝⎭
对称 C ．周期为2π
D ．()y f x =在,03π⎛⎫
-
⎪⎝⎭
上是增函数 31．若两个非零向量a ，b 满足2a b a b b +=-=，则向量a b +与a 的夹角为( ) A ．
3
π
B ．
23
π C ．
56
π D ．
6
π 32．如图所示，在ABC 中，点D 是边BC 上任意一点，M 是线段AD 的中点，若存在实数λ和μ，使得BM AB AC λμ=+，则λμ+=（ ）
A ．1-
B ．12
-
C ．2-
D ．32
-
33．已知菱形ABCD 边长为2，∠B ＝3
π
，点P 满足AP ＝λAB ，λ∈R ，若BD ·CP ＝－3，则λ的值为( ) A ．
12
B ．－
12
C ．
13
D ．－
13
34．已知平面向量a ，b ，c 满足2a b ==，()()
20c a c b ⋅--=，则b c ⋅的最大值为（ ） A ．
5
4
B ．2
C ．
174
D ．4
35．在ABC ∆中，设2
2
2AC AB AM BC -=⋅，则动点M 的轨迹必通过ABC ∆的（ ） A ．垂心
B ．内心
C ．重心
D ． 外心
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一、多选题
1．无 2．ACD 【分析】
由向量的数量积､向量的投影､基本定理与向量的夹角等基本知识，逐个判断即可求解. 【详解】
对于A ，∵，，与的夹角为锐角， ∴ ，
且(时与的夹角为0)， 所以且，故A 错误； 对于B 解析：ACD 【分析】
由向量的数量积､向量的投影､基本定理与向量的夹角等基本知识，逐个判断即可求解. 【详解】
对于A ，∵(1,2)a =，(1,1)b =，a 与a b λ+的夹角为锐角， ∴()(1,2)(1,2)a a b λλλ⋅+=⋅++
142350λλλ=+++=+>，
且0λ≠(0λ=时a 与a b λ+的夹角为0)， 所以5
3
λ>-
且0λ≠，故A 错误； 对于B ，向量12(2,3)4e e =-=，即共线，故不能作为平面内所有向量的一组基底，B 正确；
对于C ，若//a b ，则a 在b 方向上的正射影的数量为||a ±，故C 错误； 对于D ，因为|||a a b =-∣，两边平方得||2b a b =⋅， 则2
2
3()||||2
a a
b a a b a ⋅+=+⋅=
， 222||()||2||3||a b a b a a b b a +=+=+⋅+=，
故2
3||()32cos ,2
||||3||a a a b a a b a a b a a ⋅+<+>===
+⋅∣， 而向量的夹角范围为[]0,180︒︒， 得a 与a b λ+的夹角为30°，故D 项错误. 故错误的选项为ACD 故选：ACD
【点睛】
本题考查平面向量基本定理及向量的数量积，向量的夹角等知识，对知识广度及准确度要求比较高，中档题.
3．AC 【分析】
根据平面向量数量积定义可判断A ；由向量垂直时乘积为0，可判断B ；利用向量数量积的运算律，化简可判断C ；根据向量数量积的坐标关系，可判断D. 【详解】
对于A ，由平面向量数量积定义可知
解析：AC 【分析】
根据平面向量数量积定义可判断A ；由向量垂直时乘积为0，可判断B ；利用向量数量积的运算律，化简可判断C ；根据向量数量积的坐标关系，可判断D. 【详解】
对于A ，由平面向量数量积定义可知cos ,a b a b a b ⋅=，则||||||a b a b ⋅≤，所以A 正确，
对于B ，当a 与c 都和b 垂直时，a 与c 的方向不一定相同，大小不一定相等，所以B 错误，
对于C ，两个非零向量a ，b ，若||||||a b a b -=+，可得22()(||||)a b a b -=+，即
22||||a b a b -⋅=，cos 1θ=-，
则两个向量的夹角为π，则a 与b 共线且反向，故C 正确； 对于D ，已知(1,2)a =，(1,1)b =且a 与a b λ+的夹角为锐角， 可得()0a a b λ⋅+>即2||0a a b λ+⋅>可得530λ+>，解得53
λ>-
， 当a 与a b λ+的夹角为0时，(1,2)a b λλλ+=++，所以2220λλλ+=+⇒= 所以a 与a b λ+的夹角为锐角时5
3
λ>-且0λ≠，故D 错误； 故选:AC. 【点睛】
本题考查了平面向量数量积定义的应用，向量共线及向量数量积的坐标表示，属于中档题.
4．AD 【分析】
利用正弦定理，两角和的正弦函数公式化简，结合，可求，结合范围，可求，进而根据三角形的面积公式和余弦定理可得. 【详解】 ∵，
整理可得：， 可得，
∵A 为三角形内角，， ∴，故A 正确
解析：AD 【分析】
利用正弦定理，两角和的正弦函数公式化简
cos cos 2B b
C a c
=-，结合sin 0A ≠，可求1cos 2
B =
，结合范围()0,B π∈，可求3B π
=，进而根据三角形的面积公式和余弦定理
可得a c += 【详解】 ∵
cos sin cos 22sin sin B b B
C a c A C
==--， 整理可得：sin cos 2sin cos sin cos B C A B C B =-，
可得()sin cos sin cos sin sin 2sin cos B C C B B C A A B +=+==， ∵A 为三角形内角，sin 0A ≠， ∴1
cos 2
B =
，故A 正确，B 错误， ∵()0,B π∈， ∴3
B π
=
，
∵ABC S =△3b =，
∴
11sin 42224
ac B a c ac ==⨯⨯⨯=， 解得3ac =，
由余弦定理得()()2
2
22939a c ac a c ac a c =+-=+-=+-，
解得a c +=C 错误，D 正确. 故选：AD. 【点睛】
本题主要考查正弦定理，余弦定理以及两角和与差的三角函数的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
5．AD 【分析】
设，则，然后分点P 靠近点，靠近点两种情况，利用平面向量的线性运算求解. 【详解】
当点P 靠近点时，， 则， 解得， 所以，
当点P 靠近点时，， 则， 解得， 所以， 故选：
解析：AD 【分析】
设(),P x y ，则()()1
2,1,4,4=-=--PP x y PP x y ，然后分点P 靠近点1P ，靠近点2P 两种情况，利用平面向量的线性运算求解. 【详解】
设(),P x y ，则()()1
2,1,4,4=-=--PP x y PP x y ， 当点P 靠近点1P 时，121
2
PP
PP =， 则()()1421142x x y y ⎧=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩
，
解得432
x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，
所以4,23P ⎛⎫ ⎪⎝⎭
， 当点P 靠近点2P 时，12
2PP PP =， 则()()24124x x y y ⎧=-⎪⎨-=-⎪⎩
，
解得833
x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，
所以8,33P ⎛⎫ ⎪⎝⎭
， 故选：AD
本题主要考查平面向量的线性运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
6．ABC 【分析】
先求出向量的坐标，然后由向量平行的条件对选项进行逐一判断即可. 【详解】 由点，，则
选项A . ,所以A 选项正确. 选项B. ,所以B 选项正确. 选项C . ,所以C 选
解析：ABC 【分析】
先求出向量AB 的坐标，然后由向量平行的条件对选项进行逐一判断即可. 【详解】
由点()4,6A ，33,2B ⎛
⎫- ⎪⎝⎭，则972，
AB ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭
选项A . 914
73023
⎛⎫-⨯--⨯= ⎪⎝⎭,所以A 选项正确. 选项B. 9977022⎛⎫
-⨯
--⨯= ⎪⎝⎭
,所以B 选项正确. 选项C .
()91473023⎛⎫⎛⎫
-⨯---⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
,所以C 选项正确. 选项D. 979702⎛⎫
-⨯--⨯≠ ⎪⎝⎭
,所以选项D 不正确 故选：ABC 【点睛】
本题考查根据点的坐标求向量的坐标，根据向量的坐标判断向量是否平行，属于基础题.
7．ACD 【分析】
A ，由平面向量数量积的运算律可判断；
B ，由平面向量垂直的条件、数量积的运算律可判断；
C ，由与不共线，可分两类考虑：①若，则显然成立；②若，由、、构成三角形的三边可进行判断；
D ，由平
解析：ACD 【分析】
A ，由平面向量数量积的运算律可判断；
B ，由平面向量垂直的条件、数量积的运算律可判断；
C ，由a 与b 不共线，可分两类考虑：①若a b ≤，则a b a b -<-显然成立；②
若a b >，由a 、b 、a b -构成三角形的三边可进行判断；D ，由平面向量的混合运算将式子进行展开即可得解.
【详解】
选项A ，由平面向量数量积的运算律，可知A 正确；
选项B ，
()()()()
()()()()
0b c a c a b c b c a c c a b c b c a c b c c a ⎡⎤⋅⋅-⋅⋅⋅=⋅⋅⋅-⋅⋅⋅=⋅⋅⋅-⋅⋅⋅=⎣⎦， ∴()()b c a c a b ⋅⋅-⋅⋅与c 垂直，即B 错误；
选项C ，∵a 与b 不共线，
∴若a b ≤，则a b a b -<-显然成立； 若a b >，由平面向量的减法法则可作出如下图形：
由三角形两边之差小于第三边，可得a b a b -<-.故C 正确；
选项D ，()()22
223232966494a b a b a a b a b b a b +⋅-=-⋅+⋅-=-，即D 正确. 故选：ACD
【点睛】
本小题主要考查向量运算，属于中档题. 8．AC
【分析】
利用向量线性的坐标运算可判断A ；利用向量模的坐标求法可判断B ；利用向量数量积的坐标运算可判断C ；利用向量共线的坐标表示即可求解.
【详解】
由向量，，
则，故A 正确；
，故B 错误；
解析：AC
【分析】
利用向量线性的坐标运算可判断A ；利用向量模的坐标求法可判断B ；利用向量数量积的坐标运算可判断C ；利用向量共线的坐标表示即可求解.
【详解】
由向量()1,0a =，()2,2b =，
则()()()21,022,25,4a b +=+=，故A 正确； 222222b =+=，故B 错误；
22222cos ,21022a b
a b a b ⋅<>===⋅+⋅+，
又[],0,a b π<>∈，所以a 与b 的夹角为45°，故C 正确；
由()1,0a =，()25,4a b +=，140540⨯-⨯=≠，故D 错误.
故选：AC
【点睛】
本题考查了向量的坐标运算，考查了基本运算能力，属于基础题.
9．BCD
【分析】
以E 为原点建立平面直角坐标系，写出所有点的坐标求解即可.
【详解】
由题E 为AB 中点，则，
以E 为原点，EA ，EC 分别为x 轴，y 轴正方向建立平面直角坐标系，如图所示：
所以，，
解析：BCD
【分析】
以E 为原点建立平面直角坐标系，写出所有点的坐标求解即可.
【详解】
由题E 为AB 中点，则CE AB ⊥，
以E 为原点，EA ，EC 分别为x 轴，y 轴正方向建立平面直角坐标系，如图所示：
所以，1(0,0),(1,0),(1,0),(,)33
E A B C D -，
设1(0,),(1,),(,3O y y BO y DO y ∈==-，BO ∥DO ，
所以133y y -=-，解得：2
y =， 即O 是CE 中点，0OE OC +=，所以选项B 正确； 32OA OB OC OE OC OE ++=+==，所以选项C 正确； 因为CE AB ⊥，0AB CE ⋅=，所以选项A 错误；
1
(,33
ED =，(1,BC =， ED 在BC 方向上的投影为127326BC BC
ED +⋅==，所以选项D 正确. 故选：BCD
【点睛】
此题考查平面向量基本运算，可以选取一组基底表示出所求向量的关系，对于特殊图形可以考虑在适当位置建立直角坐标系，利于计算.
10．AC 【分析】
根据平面向量基本定理判断A ；由数量积的性质可判断；由向量的中点表示和三角形的重心性质可判断，由数量积及平面向量共线定理判断D ．
【详解】
解：因为不能构成该平面的基底，所以，又有公共
解析：AC
【分析】
根据平面向量基本定理判断A ；由数量积的性质可判断B ；由向量的中点表示和三角形的重心性质可判断C ，由数量积及平面向量共线定理判断D ． 【详解】 解：因为,AB AC 不能构成该平面的基底，所以//AB AC ，又,AB AC 有公共点A ，所以A 、B 、C 共线，即A 正确； 由平面向量的数量积可知，若a b b c =，则||||cos ,||||cos ,a b a b b c b c <>=<>，所以||cos ,||cos ,a a b c b c <>=<>，无法得到a c =，即B 不正确；
设线段AB 的中点为M ，若点G 为ABC ∆的重心，则2GA GB GM +=，而
2GC GM =-，所以0GA GB GC ++=，即C 正确；
()12a =-，，()2,b λ=，若a ，b 的夹角为锐角，则220a b λ=⋅->解得1λ<，且a 与b 不能共线，即4λ≠-，所以()
(),44,1λ∈-∞--，故D 错误；
故选：AC ．
【点睛】
本题考查向量共线定理和向量数量积的性质和向量的加减运算，属于中档题． 11．ABCD
【分析】
应用正弦定理将边化角，由二倍角公式有即或，进而有△ABC 可能为:直角三角形,等腰三角形,等腰直角三角形,等边三角形
【详解】
根据正弦定理
,
即.
,
或.
即或
解析：ABCD
【分析】
应用正弦定理将边化角，由二倍角公式有sin 2sin 2A B =即A B =或2A B π+=，进而有
△ABC 可能为:直角三角形,等腰三角形,等腰直角三角形,等边三角形
【详解】 根据正弦定理
sin sin a b A B
= cos cos a A b B =
sin cos sin cos A A B B =,
即sin 2sin 2A B =.
2,2(0,2)A B π∈, 22A B =或22A B π+=.
即A B =或2A B π
+=,
△ABC 可能为:直角三角形,等腰三角形,等腰直角三角形,等边三角形.
故选：ABCD
【点睛】
本题考查了正弦定理的边化角，二倍角公式解三角形判断三角形的形状，注意三角形内角和为180°
12．ABD
【分析】
根据平行四边形及向量的加法法则即可判断.
【详解】
由向量加法的平行四边形法则，知成立，
故也成立；
由向量加法的三角形法则，知成立，不成立.
故选：ABD
【点睛】
本题主要考查
解析：ABD
【分析】
根据平行四边形及向量的加法法则即可判断.
【详解】
由向量加法的平行四边形法则，知a b c +=成立， 故a b c +=也成立；
由向量加法的三角形法则，知a d b +=成立，b d a +=不成立.
故选：ABD
【点睛】
本题主要考查了向量加法的运算，数形结合，属于容易题.
13．BD
【分析】
对于A ，根据三角函数的倍角公式进行判断；对于B ，根据正弦定理即可判断证明；对于C ，利用余弦定理即可得解；对于D ，根据正弦定理去判断即可．
【详解】
在中，
对于A ，若，则或，
当A ＝
解析：BD
【分析】
对于A ，根据三角函数的倍角公式进行判断；对于B ，根据正弦定理即可判断证明；对于C ，利用余弦定理即可得解；对于D ，根据正弦定理去判断即可．
【详解】
在ABC ∆中，
对于A ，若sin 2sin 2A B =，则22A B =或22A B π+=，
当A ＝B 时，△ABC 为等腰三角形；
当2A B π
+=时，△ABC 为直角三角形，故A 不正确，
对于B ，若A B >，则a b >，由正弦定理得
sin sin a b A B
=，即sin sin A B >成立．故B 正确；
对于C ，由余弦定理可得：b C 错误； 对于D ，若222sin sin sin A B C +<，由正弦定理得222a b c +<，∴222
cos 02a b c C ab
+-=<，∴C 为钝角，∴ABC ∆是钝角三角形，故D 正确； 综上，正确的判断为选项B 和D ．
故选：BD ．
【点睛】
本题只有考查了正弦定理，余弦定理，三角函数的二倍角公式在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于中档题．
14．BD
【分析】
由三角形的面积公式求出即得解.
【详解】
因为,
所以,
所以,因为,
所以或120°.
故选：BD
【点睛】
本题主要考查三角形面积的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 解析：BD
【分析】
由三角形的面积公式求出sin A =
即得解. 【详解】 因为13sin 22S bc A =
=,
所以13222
A ⨯=,
所以sin 2A =
,因为0180A ︒︒<<,
所以60A =或120°.
故选：BD
【点睛】
本题主要考查三角形面积的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
15．ABD
【详解】
解：对于：对于实数和向量、，根据向量的数乘满足分配律，故恒有：，故正确．
对于：对于实数，和向量，根据向量的数乘运算律，恒有，故 正确． 对于：若，当 时，无法得到，故不正确．
对
解析：ABD
【详解】
解：对于A ：对于实数m 和向量a 、b ，根据向量的数乘满足分配律，故恒有：()m a b ma mb -=-，故A 正确．
对于B ：对于实数m ，n 和向量a ，根据向量的数乘运算律，恒有()m n a ma na -=-，故 B 正确．
对于C ：若()ma mb m =∈R ，当 0m =时，无法得到a b =，故C 不正确． 对于D ：若(,,0)ma na m n a =∈≠R ，则m n =成立，故D 正确．
故选：ABD ．
【点睛】
本题考查相等的向量，相反的向量的定义，向量的数乘法则以及其几何意义，注意考虑零向量的情况．
二、平面向量及其应用选择题
16．D
【分析】
由数量积的定义判断B 角的大小，得三角形形状．
【详解】 由题意cos()0a b a b B π⋅=->，∴cos()0B π->，cos 0B ->，cos 0B <，又B 是三角形内角，∴2B π
π<<．
∴ABC 是钝角三角形．
故选：D ．
【点睛】
本题考查考查三角形形状的判断，解题关键是掌握数量积的定义．向量夹角的概念．
17．B
【分析】
延长PB 至D ，可得出点P 是ADC 的重心，再根据重心的性质可得出结论。

【详解】
延长PB 至D ，使得2PD PB =，于是有0PA PD PC ++=，即点P 是ADC 的重心，依据重心的性质，有PAD PAC PDC S S S ==△△△.由B 是PD 的中点，得
::1:2:1PAB PAC PBC S S S =△△△.
故选：B
【点睛】
本题考查了三角形重心和向量的关系，主要是用向量表达重心的数量关系。

另外本题是奔驰定理直接推导得出。

18．C
【分析】
化简条件可得
sin 2
a B c ==，由正弦定理化边为角，整理cos 0C =，即可求解. 【详解】
lg lg lg sin a c B -==-，
sin a B c ∴==0,2B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 4
B π∴=.
由正弦定理，得
sin sin a A c C ==，
3
sin cos sin 422C A C C C π⎫⎛⎫∴==-=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭
， 化简得cos 0C =.
()0,C π∈，
2
C π∴=， 则4A B C π
π=--=
， ∴ABC 是等腰直角三角形.
故选：C.
【点睛】
本题主要考查了正弦定理，三角恒等变换，属于中档题.
19．B
【分析】
2222||2b ta b a bt a t -=-⋅+，令222
()2f t b a bt a t =-⋅+，易得2cos b a b t a a θ⋅==时，222min 244()()14a b a b f t a
-⋅==，即222||cos 1b b θ-=，结合选项即可得到答案. 【详解】 2222||2b ta b a bt a t -=-⋅+，令222()2f t b a bt a t =-⋅+，因为t R ∈， 所以当2cos b a b t a a
θ⋅==时，222min 244()()4a b a b f t a -⋅=，又||b t a →→-的最小值为1， 所以2||b ta -的最小值也为1，即222min 244()()14a b a b f t a
-⋅==，222||cos 1b b θ-=， 所以22||sin 1(0)b b θ=≠，所以1sin b θ=
，故若θ确定，则||b →唯一确定. 故选：B
【点睛】
本题考查向量的数量积、向量的模的计算，涉及到二次函数的最值，考查学生的数学运算求解能力，是一道容易题. 20．A
【分析】
首先由条件和正弦定理判断ABC 是等腰直角三角形，由三角形的性质可知直角三角形的外接圆的圆心在斜边的中点，所以由ABC 外接圆的半径可求得三角形的边长，再求面积.
【详解】 由正弦定理可知
2sin sin
sin a b c r A B C === 已知sin cos sin a b c A B B ===sin cos B B =和sin sin C B =， 所以
45B =，45C
=，所以ABC 是等腰直角三角形， 由条件可知ABC
，即等腰直角三角形的斜边长为 所以122
ABC S =⨯=. 故选：A
【点睛】
本题考查正弦定理判断三角形形状，重点考查直角三角形和外接圆的性质，属于基础题型. 21．B
【分析】
在三角形ABC 中，根据1a =，c =45B =︒，利用余弦定理求得边b ,再利用正弦
定理sin sin b c B C =求解. 【详解】 在三角形ABC 中， 1a =，42c =，45B =︒，
由余弦定理得：2222cos b a c ac B =+-，
21322142252=+-⨯⨯⨯
=， 所以5b =，
由正弦定理得：sin sin b c B C
=， 所以242sin 42sin 55
c B C b ⨯===，
故选：B
【点睛】
本题主要考查余弦定理和正弦定理的应用，所以考查了运算求解的能力，属于中档题. 22．A
【解析】
∵2350OA OB OC ++=，∴()()23OA OC OB OC +=-+．
设AC 中点为M ，BC 中点为N ，则23OM ON =-,
∵MN 为ABC 的中位线，且32
OM ON =， ∴361322554
10OAC OMC CMN ABC ABC S S S S S ⎛⎫==⨯=⨯= ⎪⎝⎭，即12310S S =．选A ． 23．A
【解析】
分析：由题意，在ABC ∆内有一点O ，满足3450++=OA OB OC ，利用三角形的奔驰定理，即可求解结论．
详解：由题意，在ABC ∆内有一点O ，满足3450++=OA OB OC ，
由奔驰定理可得::3:4:5BOC AOC BOA S S S ∆∆∆=，所以:3:121:4BOC ABC S S ∆∆==， 故选A ．
点睛：本题考查了向量的应用，对于向量的应用问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用，利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决．
24．C
【分析】
AB AB 和AC AC 分别表示向量AB 和向量AC 方向上的单位向量，0AB AC BC AB AC ⎛⎫ ⎪+⋅= ⎪⎝⎭表示A ∠平分线所在的直线与BC 垂直，可知ABC 为等腰三角形，再由
12
AB AC AB AC ⋅=可求出A ∠，即得三角形形状。

【详解】 由题的，∵0AB AC BC AB AC ⎛⎫ ⎪+⋅= ⎪⎝⎭
，∴A ∠平分线所在的直线与BC 垂直，∴ABC 为等腰三角形.又
12AB AC AB AC ⋅=，∴1cos 2A =，∴3
A π
=，故ABC 为等边三角形. 故选：C
【点睛】
本题考查向量的几何意义和三角形角平分线的性质，以及求两个向量的夹角，是一道中档难度的综合题。

25．A
【分析】
首先根据余弦定理求AB ，再判断ABC 的内角，并在ABD △和ADC 中，分别用正弦定理表示
AD ，建立方程求DC 的值.
【详解】 AB
=
3==， 222cos 2
AB BC AC B AB BC +-
∴===⋅
又因为角B 是三角形的内角，所以6B π
=，
90BAC ∴∠=，
sin BAD ∠=，cos 7
BAD ∴∠==， sin cos 7
DAC BAD ∴∠=∠=， 在ABD △中，由正弦定理可得sin sin BD B AD BAD ⋅=
∠， 在ADC 中，由正弦定理可得sin sin DC C AD DAC
⋅=∠，
(
)1DC DC ⨯=
，解得：DC =. 故选：A
【点睛】
本题考查正余弦定理解三角形，重点考查数形结合，转化与化归，推理能力，属于中档题型.
26．A
【分析】
利用余弦定理化角为边，得出c b ABC =， 是等腰三角形．
【详解】
ABC ∆中，c cos 2a B c =，由余弦定理得，222
2a c b cosB ac
+-= ， ∴222
22a a c b c ac
+-= 220c b ∴-= ，
∴c b ABC =，是等腰三角形．
【点睛】
本题考查余弦定理的应用问题，是基础题．
27．B
【分析】
首先利用三角函数的平方关系得到sin A ，然后根据平面向量的数量积公式得到所求．
【详解】
解：因为ABC 的面积为30，且12cos 13A =，所以5sin 13
A =，所以1||||sin 302
AB AC A ⨯=，得到||||626AB AC ⨯=⨯， 所以12|||||cos 62614413
AB AC AB AC A =⨯=⨯⨯=； 故选：B ．
【点睛】 本题考查了平面向量的数量积以及三角形的面积；属于中档题．
28．D
【分析】
作出图形，过点S 作SE AC ⊥于E ，SH AB ⊥于H ，依题意可求得SE 在BDS ∆中利用正弦定理可求BD 的长，从而可得山顶高BC ．
【详解】
解：依题意，过S 点作SE AC ⊥于E ，SH AB ⊥于H ，
30SAE ∠=︒，1000AS =米，sin30500CD SE AS ∴==︒=米，
依题意，在Rt HAS ∆中，453015HAS ∠=︒-︒=︒，sin15HS AS ∴=︒，
在Rt BHS ∆中，30HBS ∠=︒，22000sin15BS HS ∴==︒，
在Rt BSD ∆中，
sin75BD BS =︒2000sin15sin75=︒︒2000sin15cos15=︒︒1000sin30=⨯︒500=米， 1000BC BD CD ∴=+=米，
故选：D ．
【点睛】
本题主要考查正弦定理的应用，考查作图与计算的能力，属于中档题．
29．B
【分析】
由向量相等的坐标表示，列方程组求解即可.
【详解】
解：设P(x ，y )，则MP ＝ (x －3，y ＋2)，而12MN ＝12(－8,1)＝14,2⎛⎫- ⎪⎝
⎭， 所以34122x y -=-⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得132x y =-⎧⎪⎨=-⎪⎩，即31,2P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 故选B.
【点睛】
本题考查了平面向量的坐标运算，属基础题.
30．D
【详解】
()22cos 32cos 23212sin(2)16f x x x x x x π=+=+=++，当12x π
=时,sin(2)sin 163x ππ+=≠±,∴f (x )不关于直线12
x π=
对称； 当512x π=时,2sin(2)116x π++= ,∴f (x )关于点5(,1)12π对称； f (x )得周期22T ππ=
=， 当(,0)3x π
∈-时,2(,)626x π
ππ+∈- ,∴f (x )在(,0)3π
-上是增函数．
本题选择D 选项.
31．D
【分析】
根据条件利用平方法得到向量数量积的数值，结合向量数量积与夹角之间的关系进行求解即可．
【详解】
∵非零向量a ，b 满足2a b a b b +=-=， ∴平方得22
a b a b +=-，即2222||2||2a b a b a b a b ++⋅=+-⋅ ， 则0a b ⋅=，由2a b b +=， 平方得222||24||a b a b b ++⋅=，得2
23a b =，即3a b =则2a b b +=，22|3|a b a a a b b +⋅=+⋅=（），
则向量a b +与a 的夹角的余弦值23||3223a b a b cos a b a b b θ+⋅===+⋅⋅（）， ，0.6πθπθ≤≤∴=
， ， 故选D.
【点睛】
本题主要考查向量数量积的应用，求解向量数量积的大小是解决本题的关键． 32．B
【分析】
由题意结合中点的性质和平面向量基本定理首先表示出向量BD ，BM ，然后结合平面向量的运算法则即可求得最终结果.
【详解】
如图所示，因为点D 在线段BC 上，所以存在t R ∈，使得()
BD tBC t AC AB ==-， 因为M 是线段AD 的中点，所以： ()()
()111112222
BM BA BD AB t AC t AB t AB t AC =+=-+-=-++， 又BM AB AC λμ=+，所以()112t λ=-+，12t μ=， 所以12
λμ+=-
. 故选：B.
【点睛】
(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．
(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．
33．A
【分析】
根据向量的基本定理，结合数量积的运算公式，建立方程即可得到结论．
【详解】
法一：由题意可得BA ·BC ＝2×2cos 3 ＝2， BD ·CP ＝(BA ＋BC )·
(BP －BC ) ＝(BA ＋BC )·
[(AP －AB )－BC ] ＝(BA ＋BC )·
[(λ－1)·AB －BC ] ＝(1－λ) BA 2－BA ·BC ＋(1－λ)·BA ·BC －BC 2
＝(1－λ)·
4－2＋2(1－λ)－4 ＝－6λ＝－3，
∴λ＝12
，故选A. 法二：建立如图所示的平面直角坐标系，
则B (2,0)，C (1，)，D (－13．
令P (x,0)，由BD ·CP ＝(－33)·
(x －13＝－3x ＋3－3＝－3x ＝－3得x ＝1.
∵AP ＝λAB ，∴λ＝
12
.故选A. 【点睛】 1.已知向量a ，b 的坐标，利用数量积的坐标形式求解．
设a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，则a ·
b ＝a 1b 1＋a 2b 2. 2.通过建立平面直角坐标系，利用数量积的坐标形式计算.
34．C
【分析】
不妨设(2,0)b =，(2cos 2sin )a αα=,，[0,2]απ∈，(,)c x y =，则求c b ⋅的最大值，即求x 的最大值，然后将问题转化为关于y 的方程
22sin (cos 2)2cos 0y y x x ααα-+-++=有解的问题，最后求出x 的最值即可.
【详解】
根据题意，不妨设(2,0)b =，(2cos 2sin )a αα=,，[0,2]απ∈，(,)c x y =， 则2b c x ⋅=，所以求b c ⋅的最大值，即求x 的最大值，
由()()
20c a c b ⋅--=可得2220c a c b c a b -⋅-⋅+⋅=， 即22sin (cos 2)2cos 0y y x x ααα-+-++=，
因为关于y 的方程有解，所以22
sin 44(cos 2)8cos 0x x ααα∆=-++-≥， 令cos (11)t t α=-≤≤，则2244(2)810x x t t t -+++-≤，
所以2222
t t x ++≤≤，
(13)m m =≤≤2(2)178
m --+=，
当2m =时，22(2)1717288
t m +--+==， 所以178x ≤，所以174
b c ⋅≤， 所以b c ⋅的最大值为
174
， 故选：C.
【点睛】 思路点睛：该题考查了平面向量的数量积的问题，解题思路如下：
（1）先根据题意，设出向量的坐标；
（2）根据向量数量积的运算律，将其展开；
（3）利用向量数量积的坐标公式求得等量关系式；
（4）利用方程有解，判别式大于等于零，得到不等关系式，利用换元法求得其最值，在解题的过程中，关键点是注意转化思想的应用，属于难题.
35．D
【分析】 根据已知条件可得()
222AC AB AC AB BC AM BC -=+⋅=⋅，整理可得()0BC MC MB ⋅+=，若E 为BC 中点，可知BC ME ⊥，从而可知M 在BC 中垂线上，可得轨迹必过三角形外心.
【详解】 ()()()
222AC AB AC AB AC AB AC AB BC AM BC -=+⋅-=+⋅=⋅ ()20BC AC AB AM ∴⋅+-=
()()
0BC AC AM AB AM BC MC MB ⇒⋅-+-=⋅+=
设E 为BC 中点，则2MC MB ME += 20BC ME ∴⋅= BC ME ⇒⊥
ME ⇒为BC 的垂直平分线
M ∴轨迹必过ABC ∆的外心
本题正确选项：D
【点睛】
本题考查向量运算律、向量的线性运算、三角形外心的问题，关键是能够通过运算法则将已知条件进行化简，整理为两向量垂直的关系，从而得到结论.。