2017-2018学年广州市六中高一下学期期中考试

2017-2018学年下学期高一级数学期中测试
命题学校：广州市六中 命题人：周超 审题人：赖小妹、区卓君
本试卷共22小题，满分150分.考试用时120分钟
一、选择题：（每小题5分，共12小题，满分60分，每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.设集合}0)3({},1{<-=<=x x x B x x A ，则B A ⋃=（ ） A. )0,1(- B. )3,1(- C. )1,0( D. )3,1(
2.已知2log 2,)
2
1(,252
.02
.1===-c b a ,则c b a ,,的大小关系是（ ）
A. b a c <<
B. a b c <<
C. c a b <<
D. a c b <<
3.已知扇形面积为
8
3π
，半径是1，则扇形的圆心角是（ ） A. 163π B. 83π C. 43π D. 2
3π
4.在△ABC 中，有5
3
cos ,135sin ==A B ，则C sin 为（ ） A. 6516 B.6556 C. 6563 D. 6516或65
56 5.函数)0,0)(sin()(>>+=ωϕωA x A x f 的图像如图所示，则)18()3()2()1(f f f f +⋯+++的值等于（ ） A.
22+ B. 2 C.
2
2
D. 1
6.函数)2
0)(sin()(π
ϕωϕω<>+=，
x x f 的最小正周期是π，其图像向左平移
3
π
个单位后得到的函数是奇函数，则函数 f (x )的图象（ ）
A. 关于点)0,12
(π
对称 B. 关于直线12
π
=
x 对称 C. 关于点)0,6
(
π
对称 D. 关于直线6
π
=
x 对称
7.如图，已知平行四边形ABCD 中，︒=∠=45,2BAD BC ，E 为线段BC 的中点，BF ⊥CD ，则
BF AE ⋅=（ ）
A. 22
B. 2
C.
2 D. 1
8.某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x 的值是（ ）
A.2
B.
29 C. 2
9
D. 3
9.设)(x f 是),(+∞-∞上的偶函数，)()3(x f x f -=+，当10≤≤x 时有x x f 3)(=,则)2018
(f 等于（ ）
A. -3
B. -0.5
C. 0.5
D. 3
10.若点)0,(θ是函数x x x f cos 2sin )(+=的一个对称中心，则θθθcos sin 2cos +=（ ） A.
1011 B. 10
11- C. 1 D. -1 11.如图，正方形ABCD 的顶点，顶)0,2
2
(),22,
0(B A ，点C,D 位于第一象限，直线)20(:≤≤=t t x t 将正方形ABCD 分成两部分，记位于直线l 左侧阴影部分的面积为)(t f ，则函
数)(t f s =的图象大致是（ ）
A. 1
B. 2
C. -1
D. -2
12.设)(x f 是定义在R 上的增函数，且对于任意的x 都有0)1()1(=++-x f x f 恒成立，如果实数
m 、n 满足不等式组⎩⎨⎧><-++-3
0)8()236(22m n n f m m f ,那么2
2n m +的取值范围是（ ）
A. （3,7）
B. （9,25）
C. （9,49）
D. （13,49）
二、填空题：(每小题5分，共4小题，共20分)
13.设△ABC 的内角A,B,C 所对的边分别为c b a ,,,若ab c b a c b a =++-+))((，则角C=
14.若函数a x x x f ++=sin 2cos )(在区间]2
,6[π
π上的最小值大于零，则a 的取值范围为 15.点M 为△ABC 所在平面内一动点，且M 满足：)1(3231λλ-+=，AC=3，3
π
=A 若
点M 的轨迹与直线AB ，AC 围成封闭区域的面积为
2
3
，则BC= 16.已知在三棱锥ABC P -中，BC PB AC PA BPC APC V ABC P ⊥⊥=∠=∠=
-,,3
,4,334π
π，且平面PAC ⊥平面PBC ，那么三棱锥ABC P -外接球的体积为
三、解答题:(本题共6小题，满分70，解答须写出文字说明，证明过程或验算步骤)
17.(本小题满分10分)已知)
cos()
2
sin(
)2cos()tan()(πααπ
απαπα--+⋅-⋅-=
f
（1）化简)(αf ； （2）若54)(=αf ，且α是第二象限角，求)4
2cos(π
α+的值。

18.(本小题满分12分)设)sin ,sin 2
1
cos 21(),cos 2,sin 2cos 2(x x x b x x x a +
=-=函数b a x f ⋅=)(
（1）求)(x f 解析式；
（2）求函数)(x f y =的单调递减区间；
（3）在给出的直角坐标系中用“五点作图法”画出函数)(x f y =在],0[π上的图像。

（要求列表、描点、连线）。

19.(本小题满分12分)如图AB ，CD 是圆柱的上、下底面圆的直径，ABCD 是边长为2的正方形，E 是底面圆周上不同于A,B 两点的一点，AE=1. （1）求证：BE ⊥平面DAE ； （2）（理科）求二面角C-DB-E 的余弦值.
（文科）求A 点到平面DBE 的距离.
20.（本小题满分12分）在△ABC 中，内角A 、B 、C 对应的边长分别为c b a 、、，已知
C
B
b c a b B a sin sin 21cos 2-=-.
（1）求角A ； （2）若3=a ，求c b +的取值范围.
21.（本小题满分 12分）
在平面直角坐标系xOy 中，已知直线0168:=++y x l ，圆01328:221=+-++y x y x C ，圆
0121688:222=++-++t y tx y x C .
（1） 当t=-1时，试判断圆1C 与圆2C 的位置关系，并说明理由； （2） 若圆1C 与圆2C 关于直线l 对称，求t 的值；
（3） 在（2）的条件下，若),(b a P 为平面上的点，是否存在过点P 的无穷多对互相垂直的直线1
l 和2l ，它们分别与圆1C 和2C 相交，且直线1l 被圆1C 截得的弦长与直线2l 被圆2C 截得的弦长相等，若存在，求点P 的坐标，若不存在，请说明理由.
22.（本小题满分 12分）
设)(x f 是定义在],[b a 上的函数，用分点b x x x x a T n i =<⋯<<⋯<<=-110:将区间],[b a 任意划分成n 个小区间，如果存在一个常数M>0，使得和式
)3,2,1()()(1
1
n i M x
f x f n
i i i
⋯=≤-∑=-恒
成立，则称)(x f 为],[b a 上的有界变差函数。

（1）函数2)(x x f =在[0,1]上是否为有界变差函数？请说明理由；
（2）设函数)(x f 是],[b a 上的单调递减函数，证明：)(x f 为],[b a 上的有界变差函数； （3）若定义在],[b a 上的函数)(x f 满足：存在常数k ，使得对于任意的],[21b a x x ∈、时，
2121)()(x x k x f x f -⋅≤-.证明：)(x f 为],[b a 上的有界变差函数.
2017-2018学年广州市六中高一下学期期中测试
数学参考答案
一、选择题
解析：12.由0)1()1(=++-x f x f 恒成立知)(x f 关于)0,1(对称，
)82()8()236(0)8()236(22222n n f n n f m m f n n f m m f +-=--<+-⇒<-++-
因为)(x f 为R 上的增函数，那么021********
2
2
2
<+--+⇒+-<+-n m n m n n m m ，
4)4()3(22<-+-n m ，又3>m 所以),(n m 在以（3,4）为圆心，半径r=2的半圆内，而2
2n m +表示),(n m 到原点距离的平方，故其取值范围是为（13,49）
二、填空题
13. 3
2π 14.),0(+∞ 15. 3 16.π3
32
三、解答题
17.解：
（1）αααα
αααααsin cos cos sin cos cos cos tan )(==--=f
（2）54sin )(==ααf ，又α是第二象限角，所以5
3sin 1cos 2
-=--=αα
25
24
cos sin 22sin ,257sin 212cos 2-==-=-=ααααα
50
2
17)2524257(224
sin
2sin 4
cos
2cos )4
2cos(=+-=
-=+
π
απ
απ
α
18.解：（1）)
4
2sin(2sin 2
22cos 222sin 2
2)sin (cos 22sin
cos 2)sin (cos 2
1
)sin (cos 2)(22π
+
=+=+-=++⋅-=x x x x x x x x x x x x f
（2）令
πππ
ππk x k 2234222+≤
+
≤+得)(8
58Z k k x k ∈+≤≤+ππ
ππ
即)(x f y =的单调递减区间为)](8
5,
8[Z k k k ∈++ππ
ππ （3）列表如下：
描点连线如图所示：
19.解：（1）由圆柱性质知ABE AD 平面⊥，又ABE BE 平面⊂，则BE ⊥DA ，
又AB 是底面圆的直径，E 是圆周上不同于A ，B 的一点，所以BE ⊥EA 又ADE EA DA A EA DA 平面⊂=⋂,,所以DAE BE 面⊥
（2）（理科）过E 作EF ⊥AB ，垂足为F ，由圆柱性质知平面ABCD ⊥平面ABE ，所以EF ⊥平面ABCD ， 过F 作FH ⊥DB ，垂足为H ，连接EH ，则∠EHF 即为所求二面角的平面角的补角。

1,2===AE AD AB 易得22,3,5===BD BE DE ，所以2
3
=⨯=
AB BE AE FE
由（1）知DE BE ⊥所以4
30
=
⨯=
DB BE DE EH 所以5
15
sin 1cos 510sin 2=
∠-=∠==
∠EHF EHF EH EF EHF ，， 所以所求二面角的余弦值为5
15
-
（2）（文科）过E 作EF ⊥AB ，垂足为F ，由圆柱性质知平面ABCD ⊥平面ABE ，所以EF ⊥平面ABCD ， 设求A 点到平面DBE 的距离为h ，则由ABD E DBE A V V --=有
EF S h S ADB DBE ⋅=⋅△△3
1
31可得 DBE
ADB S EF
S h △△⋅=
.
1,2===AE AD AB 易得22,3,5===BD BE DE ，
所以22221=⨯⨯=
ADB S △，2
3=⨯=AB BE AE FE 由（1）知DE BE ⊥所以2
15
21=⋅=
DE BE S DBE △ 所以A 点到平面DBE 的距离为5522
15
23
2=⨯
=
⋅=
DBE
ADB S EF
S h △△
20.解：（1）由已知及正弦定理，222221
cos 21cos b a bc B ac c b c a b B a -=-⇒-=
- 又余弦定理，可得
bc a c b b a bc b c a =-+⇒-=--+222222222
1
2 所以2
122cos 222==-+=
bc bc bc a c b A ，),0(π∈A 所以3π=A
（2）由
23
sin
3sin sin sin ====π
A
a
C c B b ，)sin()sin(sin B A B A C +=--=π所以
)
6
sin(32)
cos 21
sin 23(32)cos 2
3sin 23(2)]
3
sin([sin 2sin 2sin 2π
π
+=+=+=+
+=+=+B B B B B B B C
B c b
)32,
0(π∈B ,所以)65,6()6(πππ∈+B ，]1,2
1()6sin(∈+πB 则c b +的取值范围为]32,3(
21.解：（1）4)1()4(:221=-++y x C 圆心1C （-4,1），半径21=r
22222)24(16416)4()4(:-=-+=-++t t t y t x C 圆心2C )4,4(t -，半径242-=t r
1-=t 时，圆心2C (4,4)，半径62=r
73)41()44(2221=-+--=C C ，821=+r r
所以2121r r C C +>，两圆外离
（2）由两圆关于轴对称，可知两圆半径必然相等，故而224=-t ，t =0或1
0=t 时，)4,0(2C 与1C （-4,1）关于直线l 对称，符合题意。

1=t 时，)4,4(2-C 与1C （-4,1）不关于直线l 对称，不符合题意，舍去。

所以0=t
（3）假设存在),(b a P 满足条件，不妨设)0)((:1≠-=-k a x k b y l ，则)(1
:2a x k
b y l --
=- 因为两圆半径相等，直线1l 被圆1C 截得的弦长与直线2l 被圆2C 截得的弦长相等，所以圆心1C 到直
线1l 的距离等于圆心2C 到直线1l 的距离。

即
2
2
1141
14k
k a b k ka
b k +--=
+-+--
整理得a k b b k a +-=+-+)4(1)4(，
即a k b b k a +-=+-+)4(1)4(或a k b b k a --=+-+)4(1)4(
即01)8(=+--+-b a k b a 或01)(=+-++b a k b a
因为k 取值无穷多个，所以⎩⎨⎧=+--=+-0108b a b a 或⎩
⎨⎧=+-=+011b a b a 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=2927b a 或⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=-=2121b a 这样的点P 可能是)21,21(),29,27(21--P P 所以所求点P 的坐标为)29,27(-和)2
1,21(-
22.解：（1）函数2)(x x f =在[0,1]上是有界变差函数。

说明理由：因为函数2
)(x x f =在[0,1]上是增函数，所以对任意划分T ，)()(1->n n x f x f ，1)0()1()()()()()()()()(1120111=-=-+⋯+-+-=--=-∑f f x f x f x f x f x f x f x f x f n n n i i i
，
取常数1≥M ，则和式
)3,2,1()()(11n i M x f x f n i i i ⋯=≤-∑=-恒成立，所以2)(x x f =在[0,1]上是
有界变差函数。

（2）因为函数)(x f 是],[b a 上的单调递减函数，且对任意划分
b x x x x a T n i =<⋯<<⋯<<=-110:，
)()()()()()(110b f x f x f x f x f a f n i =>⋯>>⋯>>=-，)()(1->n n x f x f 所以)()()()()()()()()()(1211011b f a f x f x f x f x f x f x f x f x f n n n i i i
-=-+⋯+-+-=--=-∑
∴一定存在一个常数0>M ，使得M b f a f ≤-)()(，所以)(x f 为],[b a 上的有界变差函数。

（3）∵2121)()(x x k x f x f -⋅≤-，所以对任意划分b x x x x a T n i =<⋯<<⋯<<=-110:， )()()(111111a b k x x k x x k x f x f n
i i i n i i i n i i i
-=-=-≤-∑∑∑=-=-=-，取常数)(a b k M -=
所以由有界变差函数定义知，)(x f 为],[b a 上的有界变差函数.。