北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学试卷(理工类)答案

北京市朝阳区2015-2016学年度第二学期高三年级统一考试
数学答案（理工类） 2016．3
一、选择题：（满分40分）
二、填空题：（满分30分）
（注：两空的填空，第一空3分，第二空2分） 三、解答题：（满分80分） 15．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）当1ω=
时，2
1()sin 22x f x x =
+1sin 2x x = sin()3
x
π=+．
令22,232k x k k πππ
π-≤+≤π+∈Z ．
解得22,66
k x k k 5ππ
π-≤≤π+∈Z ． 所以()f x 的单调递增区间是[2,2],66
k k k 5ππ
π-π+∈Z .……………………7分 （Ⅱ）由21()sin 22x f x x ωω=
+ 1sin 2x x ωω=
+ sin()3
x ωπ
=+．
因为()13f π=，所以sin(
)133ωππ
+=．
则2332
n ωπππ
+=π+，n ∈Z ．
解得162
n ω=+
． 又因为函数()f x 的最小正周期2T ω
π
=，且0ω>，
所以当ω1
2
=
时，T 的最大值为4π． ………………………………………13分 16．（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）设事件A ：从这个班级的学生中随机选取一名男生，一名女生，这两名学生阅
读本数之和为4 ． 由题意可知，
13+41()128P A ⨯⨯=
⨯4分
（Ⅱ）阅读名著不少于4本的学生共8人，其中男学生人数为4人，故X 的取值为
0,1,2,3,4．
由题意可得44481
(0)70C P X C ===； 13444
8168(1)7035C C P X C ====； 2244483618(2)7035C C P X C ====； 31
4448168
(3)7035C C P X C ====；
4448(4)C P X C ===
所以随机变量X 的分布列为
随机变量X 的均值10123427070707070
EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．…………10分 （Ⅲ）21s >22s ．…………………………………………………………………………13分 17．（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）由已知1190A AB A AC ∠=∠=︒
，且平面11AAC C ⊥平面11AA B B ， 所以90BAC ∠=︒，即AC AB ⊥． 又因为1AC AA ⊥且1AB
AA A =，
所以AC ⊥平面11AA B B ．
由已知11//AC AC ，所以11AC ⊥平面11AA B B ．
因为AP ⊂平面11AA B B ，
所以11AC AP ⊥．…………………………………………………………………………4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知1,,AC AB AA 两两垂直．
分别以1,,AC AB AA 为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系如图所示． 由已知 11111222AB AC AA AB AC =====， 所以(0,0,0),(0,2,0),(2,0,0),A B C 1(0,1,2)B ，
1(0,0,2)A ．
因为M 为线段BC 的中点，P 为线段1BB 的中点，所以
3
(1,1,0),(0,,1)2
M P ．
易知平面ABM 的一个法向量(0,0,1)=m ． 设平面APM 的一个法向量为(,,)x y z =n ，
由 0,0,AM AP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 得0, 30. 2
x y y z +=⎧⎪
⎨+=⎪⎩
取2y =，得(2,2,3)=--n ．
由图可知，二面角P AM B --的大小为锐角，
所以cos ,17⋅〈〉=
=
=⋅m n m n m n
． 所以二面角P AM B --
的余弦值为
17
．………………………………9分 （Ⅲ）存在点P ，使得直线1AC //平面
AMP ． 设111(,,)P x y z ，且1BP BB λ=，[0,1]λ∈，则111(,2,)(0,1,2)x y z λ-=-， 所以1110,2,2x y z λλ==-=．所以(0,2,2)AP λλ=-． 设平面AMP 的一个法向量为0000(,,)x y z =n ，
由 000,0,
AM AP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 得00000, (2)20. x y y z λλ+=⎧⎨-+=⎩
取01y =，得02
(1,1,)2λλ
-=-n （显然0λ=不符合题意）
． 又1(2,0,2)AC =-，若1AC //平面AMP ，则1
0AC ⊥n ． 所以10220AC λλ-⋅=--
=n ．所以2
3
λ=． 所以在线段1BB 上存在点P ，且1
2BP
PB =时，使得直线1AC //平面
AMP ．…………14分 18．（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为{}
0x x >．()1a x a
f x x x
+'=+
=． （1）当0a ≥时，()0f x '>恒成立，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增； （2）当0a <时， 令()0f x '=，得x a =-．
当0x a <<-时，()0f x '<，函数()f x 为减函数； 当x a >-时，()0f x '>，函数()f x 为增函数．
综上所述，当0a ≥时，函数()f x 的单调递增区间为(0,)+∞．
当0a <时，函数()f x 的单调递减区间为(0,)a -，单调递增区间为(+)a -∞，．
……………………………………………………………………………………4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，
（1）当1a -≤时，即1a ≥-时，函数()f x 在区间[]1,2上为增函数，
所以在区间[]1,2上，min ()(1)1f x f ==，显然函数()f x 在区间[]1,2上恒大于零； （2）当12a <-<时，即21a -<<-时，函数()f x 在[)1a -，上为减函数，在(],2a - 上为增函数，所以min ()()ln()f x f a a a a =-=-+-．
依题意有min ()ln()0f x a a a =-+->，解得e a >-，所以21a -<<-． （3）当2a -≥时，即2a ≤-时，()f x 在区间[]1,2上为减函数，
所以min ()(2)2+ln 2f x f a ==．
依题意有min ()2+ln 20f x a =>，解得2ln 2a >-，所以2
2ln 2
a -
<≤-． 综上所述，当2
ln 2
a >-
时，函数()f x 在区间[]1,2上恒大于零．………………8分 （Ⅲ）设切点为000,ln )x x a x +（，则切线斜率0
1a k x =+
， 切线方程为0000
(ln )(1)()a
y x a x x x x -+=+
-． 因为切线过点(1,3)P ，则0000
3(ln )(1)(1)a
x a x x x -+=+
-． 即00
1
(ln 1)20a x x +
--=． ………………① 令1()(ln 1)2g x a x x =+
-- (0)x >，则 22
11(1)()()a x g x a x x x -'=-=． （1）当0a <时，在区间(0,1)上，()0g x '>， ()g x 单调递增；
在区间(1,)+∞上，()0g x '<，()g x 单调递减， 所以函数()g x 的最大值为(1)20g =-<． 故方程()0g x =无解，即不存在0x 满足①式． 因此当0a <时，切线的条数为0．
（2）当0a >时, 在区间(0,1)上，()0g x '<，()g x 单调递减，
在区间(1,)+∞上，()0g x '>，()g x 单调递增， 所以函数()g x 的最小值为(1)20g =-<．
取2
1+1e
e a
x =>，则22
1112()(1e
1)2e 0a
a
g x a a a
----=++--=>． 故()g x 在(1,)+∞上存在唯一零点．
取2-1-21e
<e a
x =，则221122()(1e 1)2e 24a a g x a a a a ++=--+--=--2
12[e 2(1)]a
a a
+=-+．
设2
1(1)t t a
=+
>，()e 2t u t t =-，则()e 2t u t '=-． 当1t >时，()e 2e 20t u t '=->->恒成立．
所以()u t 在(1,)+∞单调递增，()(1)e 20u t u >=->恒成立．所以2()0g x >． 故()g x 在(0,1)上存在唯一零点．
因此当0a >时，过点P (13)，存在两条切线．
（3）当0a =时，()f x x =，显然不存在过点P (13)，的切线．
综上所述，当0a >时，过点P (1
3)，存在两条切线； 当0a ≤时，不存在过点P (1
3)，的切线．…………………………………………………13分 19．（本小题满分14分）
解：(Ⅰ)由题意可知，24a =，22b =，所以22c =．
因为P 是椭圆C 上的点，由椭圆定义得124PF PF +=． 所以12PF F ∆
的周长为4+
易得椭圆的离心率=
2
c e a =
．………………………………………………………4分 (Ⅱ)
由22
20,
1,42
y m x y -+=⎨+=⎪⎩
得22480x m ++-=． 因为直线l 与椭圆C 有两个交点，并注意到直线l 不过点P ，
所以22844(8)0,0.m m m ⎧-⨯->⎨≠⎩
解得40m -<<或04m <<．
设11(,)A x y ，22(,)B x y
，则12x x +=，21284m x x -=
, 1y =
，2y =． 显然直线PA 与PB 的斜率存在，设直线PA 与PB 的斜率分别为1k ，2k ，
则12k k +=
+
211)(1)(x x -+-=
=
=
=
2=
0==．
因为120k k +=，所以PMN PNM ∠=∠．
所以PM PN =． ………………………………………………………14分
20．（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）观察数列}{n a 的前若干项：2，5，8，11，14，17，20，23，26，29，32，35，…. 因为数列}{n a 是递增的整数数列，且等比数列以2为首项，显然最小公比不能是52
，最小公比是4.
（ⅰ）以2为首项,且公比最小的等比数列的前四项是2，8，32，128.
（ⅱ）由（ⅰ）可知12b =，公比4q =，所以124n n b -=⋅.
又31n n k n b a k ==-，所以13124,n n k n -*
-=⋅∈N ，
即11
(241),3
n n k n -*=
⋅+∈N . 再证n k 为正整数.
显然11k =为正整数，
2n ≥时，1222111
(2424)24(41)2433
n n n n n n k k ------=⋅-⋅=⋅⋅-=⋅，
即2
124
(2)n n n k k n --=+⋅≥，故11
(241),3
n n k n -*=⋅+∈N 为正整数.
所以，所求通项公式为11(241),3
n n k n -*
=⋅+∈N .
……………………………………………………………………………6分
（Ⅱ）设数列{}n c 是数列}{n a 中包含的一个无穷等比数列， 且115k c a ==，22231k c a k ==-， 所以公比231
5
k q -=
.因为等比数列{}n c 各项为整数，所以q 为整数. 取252k m =+（m *∈N ），则13+=m q ，故1
5(31)n n c m -=⋅+.
只要证1
5(31)
n n c m -=⋅+是数列}{n a 的项，即证31n k -15(31)n m -=⋅+.
只要证1
1[5(31)1]3
n n k m -=++()n *∈N 为正整数，显然12k =为正整数.
又2n ≥时，122
15[(31)(31)]5(31)3
n n n n n k k m m m m -----=+-+=+，
即2
15(31)
n n n k k m m --=++，又因为12k =，25(31)n m m -+都是正整数，
故2n ≥时，n k 也都是正整数.
所以数列{}n c 是数列}{n a 中包含的无穷等比数列，
其公比13+=m q 有无数个不同的取值，对应着不同的等比数列， 故数列}{n a 所包含的以52=a 为首项的不同无穷等比数列有无数多个.
…………………………………………………………………………………………13分。