福建省福州市仓山区福建师范大学附属中学2020-2021学年高二数学上学期期末考试试题(含解析)

福建师大附中2020-2021学年上学期期末考试
高二数学试卷
第Ⅰ卷（选择题，共70分）
一、单项选择题：每小题5分，共50分.在每小题给出的选项中，只有一个选项是正确的. 1.已知空间向量()1,2,31a λμ=+-，()6,2,0b λ=共线，则实数λ的值是（ ） A. -3 B. 2
C. -3或2
D. 3或-2
【答案】C 【解析】 【分析】
由向量共线定理求解．
【详解】由题意存在实数k ，使得a kb =，即(1,2,31)(6,2,0)k λμλ+-=，
∴1622310
k k λλμ+=⎧⎪
=⎨⎪-=⎩，解得21213k λμ⎧
⎪=⎪
⎪=⎨⎪⎪
=⎪⎩或3
1313k λμ⎧⎪=-⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎪⎩
．
故选：C.
【点睛】本题考查空间向量共线，掌握空间向量共线定理是解题基础． 2.设()f x 是可导函数，且()()
000
lim 2x f x f x x x
∆→--∆=∆，则()0f x '=（ ）
A. 2
B. -1
C. 1
D. -2
【答案】A 【解析】 【分析】
根据导数的定义求解． 【详解】()()()
000000
0[()]lim lim ()2x x f x f x x f x x f x f x x x
∆→∆→--∆+-∆-'===∆-∆． 故选：A.
【点睛】本题考查导数的定义，()()
0000
()lim x f x x f x f x x
∆→+∆-'=∆，注意极限中形式的一致
性．
3.正方体1111ABCD A B C D -中，M 是1DD 的中点，O 是底面ABCD 的中心，P 是棱11A B 上任意一点，则直线OP 与直线AM 所成的角是（ ） A.
4
π B.
3
π C.
2
π D. 与P 点的
位置有关 【答案】C 【解析】 【分析】
建立空间直角坐标系，用向量法求解．
【详解】如图，以1,,DA DC DD 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，则
(2,0,0),(0,0,1),(1,1,0)A M O ，设(2,,2)P m ， (2,0,1),(1,1,2)AM OP m =-=-，
∴210(1)120AM OP m ⋅=-⨯+⨯-+⨯=，∴AM OP ⊥，即AM OP ⊥． ∴直线OP 与直线AM 所成的角为2
π． 故选：C.
【点睛】本题考查异面直线所成的角，解题关键是建立空间直角坐标系，用空间向量法求解．
4.已知正四面体D ABC -的各棱长为1，点E 是AB 的中点，则EC AD ⋅的值为（ ） A.
14
B. 14
-
C.
3 D. 3-
【答案】A 【解析】 【分析】
把EC 表示为AC AE -，然后再求数量积．
【详解】由题意，四面体D ABC -是正四面体，每个面都是正三角形， ∴EC AD ⋅()AC AE AD AC AD AE AD =-⋅=⋅-⋅1111cos601cos6024
=⨯⨯︒-⨯⨯︒=． 故选：A.
【点睛】本题考查向量的数量积，解题关键是把EC 表示为AC AE -，然后计算即可． 5.在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，11AA =，则1AB 与平面11ABC D 所成角的正弦值为（ ） A.
25
B.
2
5
C.
10 D.
12
【答案】B 【解析】 【分析】
做出线面角，在直角三角形中解角的正弦值.
【详解】
做11B H BC ⊥于H 点，连接AH ，因为1AB CB ⊥面，1AB B H ∴⊥，又因为
111,B H BC BC AB B ⊥⋂=，111B H ABC D ∴⊥面，根据线面角的定义得到1B AH ∠为所求
角，在11BB C 中，1111,
2,BB B C ==由等面积法得到1,5
B H =
15AB =，线面角的正弦值为：
112
.5
HB AB = 故答案为B.
【点睛】这个题目考查了空间中的直线和平面的位置关系，线面角的求法．求线面角，一是可以利用等体积计算出直线的端点到面的距离，除以线段长度就是线面角的正弦值；还可以建系，用空间向量的方法求直线的方向向量和面的法向量，再求线面角即可． 6.函数y =2x 2–e |x |在[–2,2]的图像大致为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D 【解析】
试题分析：函数f （x ）=2x 2–e |x|在[–2,2]上是偶函数，其图象关于y 轴对称，因为
22(2)8,081f e e =-<-<，所以排除,A B 选项；当[]0,2x ∈时，4x y x e '=-有一零点，
设为0x ，当0(0,)x x ∈时，()f x 为减函数，当0(,2)x x ∈时，()f x 为增函数．故选D
7.若函数()()sin x
f x e x a =+在[]0,π上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ）
A. ()2,+∞
B. ()1,+∞
C. )
2,⎡-+∞⎣
D. [
)1,+∞ 【答案】D 【解析】 分析】
()0f x '≥在[]0,π恒成立，再转化为求函数最值．
【详解】()(sin cos ))]4
x x
f x e x a x e x a π
'=++=+
+，
由题意)]04x
e x a π
++≥在[0,]x π∈恒成立，即)4
a x π
≥+在[0,]x π∈恒成立，
[0,]x π∈时，5[,]444x π
ππ+
∈，sin()[42
x π+∈-，
所以)14
x π
≤+≤，
所以1a ≥． 故选：D.
【点睛】本题考查用导数研究函数的单调性，函数在区间[]0,π上单调递增，转化为()f x '
≥在区间[]0,π上恒成立，不等式恒成立又可转化为求函数最值．本题对学生的转化与化归能力有一定的要求．
8.在空间直角坐标系O xyz -中，四面体ABCD 的顶点坐标分别是()0,0,2A ，()2,2,0B ，
()1,2,1C ，()2,2,2D .则点B 到面ACD 的距离是（ ）
A.
3
B.
3
C.
3
D.
3
【答案】A 【解析】 【分析】
求出平面ACD 的一个法向量n ，再求出BD 在n 方向上的投影的绝对值即可． 【详解】由题意(2,2,0),(1,0,1),(0,0,2)AD CD BD ===, 设平面ACD 的一个法向量为(,,)n x y z =，则
220
n AD x y n CD x z ⎧⋅=+=⎨
⋅=+=⎩，取1x =，则(1,1,1)n =--，
∴
233BD n n
⋅-=
=，即B 到平面ACD
故选：A.
【点睛】本题考查用空间向量法求点到平面的距离．设n 是平面α的一个法向量，Q 是平面α
内任一点，则P 到平面α的距离是
PQ n n
⋅．
9.已知函数()22,02,0
x x x a x f x ae x a x ⎧++<=⎨--≥⎩恰有两个零点，则实数a 的取值范围是（ ）
A. (][),01,-∞⋃+∞
B. (](),01,-∞+∞
C. (]{},01-∞
D. (],0-∞
【答案】C 【解析】 【分析】
分别讨论0x <时，2()2f x x x a =++的零点个数，0x ≥时，()2x
f x ae x a =--的零点
个数，综合后可得结论．
【详解】0x ≥时，()2x
f x ae x a =--，()1x f x ae '=-， (0)f a =-，
当0a ≤，()0f x '
≤，()f x 递减，(0)0f a =-≥，(ln 2)ln 20f =-<，因此()f x 在[0,)
+∞上有且只有一个零点．
当1a ≥时，()0f x '≥，()f x 递增，(0)0f a =-<，(ln 4)2ln 40f a =->，因此在()f x 在
[0,)+∞上有且只有一个零点，
01a <<时，
，1()1()x x
f x ae a e a '=-=-，1(ln )0f a '=，1[0,ln )x a
∈时，()f x 递减，1
(ln ,)x a ∈+∞时，()f x 递增，(0)0f a =-<， x →+∞时，2x ae x a --→+∞，()f x 在
[0,)+∞上有一个零点，
∴a R ∈，()f x 在[0,)+∞上有一个零点，
0x <时，22()2(1)1f x x x a x a =++=++-，
若0a ≤或1a =，()f x 有一个零点，若1a >，()f x 无零点，若01a <<，()f x 有两个零点． 因此满足题意的a 的取值范围是 (,0]{1}-∞ 故选：C.
【点睛】本题考查函数的零点个数，对分段函数来讲要分段讨论，对于复杂的函数一般可通
过导数研究函数的单调性与最值，结合零点存在定理确定零点个数． 10.已知()f x 是定义在,00,22ππ⎛⎫⎛⎫-
⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
上的偶函数，且当02x π
<<时，有
()()'cos sin 0f x x f x x +>，则不等式()2cos 3f x f x π⎛⎫
< ⎪⎝⎭
的解集为（ ）
A. ,0,233πππ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
B. ,0,332πππ⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
C. ,00,33ππ⎛⎫⎛⎫
-
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
D. ,32ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭
【答案】C 【解析】 【分析】
构造新函数()
()cos f x g x x =，确定它的单调性后结合偶函数性质可解题中不等式． 【详解】设()()cos f x g x x =，则2()cos ()sin ()cos f x x f x x
g x x
'+'=，
∵当02
x π
<<时，有()()'cos sin 0f x x f x x +>，∴()0g x '>，∴()g x 在(0,
)2
π
上单调递
增．
又()f x 是定义在,00,22ππ⎛⎫⎛⎫-
⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上的偶函数，∴()g x 也是定义在,00,22ππ⎛⎫⎛⎫
-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
上的偶函数（因为()()
()()cos()cos f x f x g x g x x x
--=
==-），
不等式()2cos 3f x f x π⎛⎫< ⎪⎝⎭
可化为
()
()3cos cos 3
f f x x π
π<，即()()3g x g π<，()()3g x g π< ∴03x π<<，
03
x π-<<或03x π
<<． 故选：C.
【点睛】本题考查用导数解不等式，解题关键是构造新函数()
()cos f x g x x
=，确定它的奇偶性和单调性．
二、多项选择题：每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部
选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
11.定义在R上的可导函数()
y f x
=的导函数的图象如图所示，以下结论正确的是（）A. -3是()
f x的一个极小值点；
B. -2和-1都是()
f x的极大值点；
C. ()
f x的单调递增区间是()
3,
-+∞；
D. ()
f x
的单调递减区间是(),3-∞-．【答案】ACD 【解析】【分析】由导函数与单调性、极值的关系判断．【详解】当3x<-时，()0f x'<，(3,)x∈-+∞时()0f x'≥，∴3
-是极小值点，无极大值点，增区间是()
3,
-+∞，减区间是()
,3
-∞-．
故选：ACD.
【点睛】本题考查导数与函数单调性、极值的关系，一定要注意极值点两侧导数的符号相反．
12.定义在R的函数()
f x，已知()
00
x x≠是它的极大值点，则以下结论正确的是（）A. 0x
-是()
f x
-的一个极大值点
B. 0x
-是()
f x
-的一个极小值点
C.
x是()
f x
-的一个极大值点
D. 0x
-是()
f x
--的一个极小值点
【答案】AD
【解析】
【分析】
由()f x '
确定()f x -的导数的性质，从而可确定()f x -的性质．再根据()y f x =-与
()y f x =的图象关于x 轴对称作答．
【详解】()000x x ≠是()f x 的极大值点，就是存在正数m ，使得在00(,)x m x -上，()0f x '>，在00(,)x x m +上，()0f x '<． 设()()g x f x =-，()()g x f x ''=--，
当00x x x m -<<-+时，00x m x x -<-<，()0f x '->，()0g x '<，同理00x m x x --<<-时，()0g x '>，∴0x -是()f x -的一个极大值点，从而0x -是()f x --的一个极小值点，0x 是()f x -的一个极小值点．不能判定0x -是不是()f x -的极值点． 故选：AD.
【点睛】本题考查导数与函数单调性、极值的关系，一定要注意极值点两侧导数的符号相反． 13.设()3
0,x ax b a b R ++=∈，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是（ ）
A. 3a =-，2b =
B. 3a =-，3b =-
C. 3a =-，2b >
D. 1a =，
2b =
【答案】BCD 【解析】 【分析】
把各选项代入函数式检验，能求出实根的解出实根，不能求出实根的用函数的性质判断． 详解】记3
()f x x ax b =++，
3a =-，2b =时，32()32(1)(2)0f x x x x x =-+=-+=，1x =或2x =-，不满足题意；
3a =-，3b =-时，3()33f x x x =--，2()333(1)(1)f x x x x '=-=+-，
()f x 在(,1)-∞-和(1,)+∞是递增，在(1,1)-上递减，而()(1)10f x f =-=-<极大值，()
f x 只有一个零点，即()0f x =只有一个实根，
同理3a =-，2b >时，()f x 在(,1)-∞-和(1,)+∞是递增，在(1,1)-上递减，而
()(1)20f x f b ==->极小值，()f x 只有一个零点，即()0f x =只有一个实根，
1a =，2b =时，32()2(1)(2)0f x x x x x x =++=+-+=，只有一个实根1-，
故选：BCD.
【点睛】本题考查方程实根个数问题，对于方程根无法解出的情况可以通过研究函数的极值与单调性确定函数零点即方程根的个数．
14.如图，矩形ABCD 中，22AB AD ==，E 为边AB 的中点.将ADE ∆沿直线DE 翻折成
1A DE ∆（点1A 不落在底面BCDE 内).若M 为线段1A C 的中点，则在ADE ∆翻转过程中，
以下命题正确的是（ ）
A. 四棱锥1A BCDE -体积最大值为24
B. 线段BM 长度是定值；
C. //MB 平面1A DE 一定成立；
D. 存在某个位置，使1DE A C ⊥； 【答案】ABC 【解析】 【分析】
平面1A DE ⊥平面BCDE 时，1A 到平面BCDE 的距离最大，求出这个最大值，即能求出最大体积知A 是否正确，取CD 中点N ，连接,MN BN ，可得145MNB A DE ∠=∠=︒，平面
//BMN 平面1A DE ，从而可得B 、C 是否正确，对D ，假设有1DE A C ⊥，推导出矛盾结论，
说明D 错误．
【详解】ADE ∆是等腰直角三角形，A 到DE 的距离是
22
，当平面1A DE ⊥平面BCDE 时，1A 到平面BCDE 的距离最大为
2
2
，又13211122BCDE S =⨯-⨯⨯=，
∴1322
32V =
⨯⨯=
最大．A 正确； 取CD 中点N ，连接,MN BN ，∵M 是1A C 的中点，∴1//MN A D ，而MN ⊄平面1A DE ，
DE ⊂平面1A DE ，∴//MN 平面1A DE ，
由DN 与EB 平行且相等得DNBE 是平行四边形，//BN DE ，同理得//BN 平面1A DE ， 而BN MN N ⋂=，∴平面//BMN 平面1A DE ，BM ⊂平面BMN ，∴//MB 平面1A DE ，C 正确，
在上述过程中得145MNB A DE ∠=∠=︒，又111
2,22
BN DE MN A D ===
=，∴22115
(2)()22cos 45222
BM =+-⨯⨯︒=
为定值，B 正确；
假设存在某个位置，使1DE A C ⊥，取DE 中点O ，连接1,A O CO ，显然1AO DE ⊥，而111A O
A C A =，∴DE ⊥平面1A OC ，OC ⊂平面1A OC ，∴ DE OC ⊥，则CE CD =，
但2CE =2CD =，不可能相等，所以不可能有1DE A C ⊥．D 错． 故选：ABC.
【点睛】本题考查空间折叠问题，考查空间线面的位置关系，解题时对体积，平行、垂直都要有充分的认识．对一个命题说明它为假时可以通过反证法证明．
第Ⅱ卷（非选择题，共80分）
三、填空题：每小题5分，共20分.
15.已知函数()()2
'35f x f x x =+，则()'1f =______.
【答案】3 【解析】 【分析】
先求出导函数()f x '
，令3x =，求出(3)f '后再求'(1)f ．
【详解】由题意()2(3)5f x f x ''=+，(3)2(3)35f f ''=⨯+，(3)1f '=-，即()25f x x '=-+， ∴(1)253f '=-+=． 故答案为：3.
【点睛】本题考查导数的运算，属于基础题． 16.过原点与曲线2x
y e =相切的直线方程为______. 【答案】2y ex = 【解析】 【分析】
设切点坐标，写出切线方程，由切线过原点，再求出切点坐标，从而得切线方程 【详解】设切点为00(,)P x y ，由于2x
y e '=，∴ 切线斜率为02x k e =， 切线方程为0
0022()x x y e
e x x -=-，∵切线过原点，∴00022x x e x e -=-．01x =，
所以切线方程为22(1)y e e x -=-，即2y ex =． 故答案为：2y ex =．
【点睛】本题考查导数的几何意义．求过某点的切线，应先设切点坐标，由导数的几何意义写出切线方程，代入所过点的坐标求出切点坐标，从而得出切线方程．
17.若函数()3
3=-f x x x 在区间()1,a a -上有最小值，则实数a 的取值范围是______.
【答案】(1,0)- 【解析】 【分析】
先求()f x 的极小值点，()f x 的极小值点在区间(1,)a a -上，由此可得a 的范围．
【详解】2
()333(1)(1)f x x x x '=-=--+，当1x <-或1x >时，()0f x '<，当11x -<<时，
()0f x '>，∴1x =-是函数()f x 的极小值点．
∵函数()3
3=-f x x x 在区间()1,a a -上有最小值，即为极小值．
∴11a a -<-<，解得10a -<<． 故答案为：(1,0)-．
【点睛】本题考查导数与最值的关系．连续函数在(,)a b 的最小值就是极小值，最大值就是极大值．但在[,]a b 是的最值不一定是极值．
18.已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，该三棱锥的正视图如图所示，则该三棱锥的体积是______，该几何体的外接球半径为______.
【答案】 (1). 3
3
5【解析】 【分析】
由正视图知三棱锥两个面垂直，如图平面ABD ⊥平面CBD ，H 是BD 中点，则1AH =，
3BH DH ==ABD ∆和CBD ∆的外心，由三角形的外心找到
三棱锥外接球球心．
【详解】由正视图，知平面ABD ⊥平面CBD ，如图，H 是BD 中点，则1AH =为三棱锥
A BCD -的高，3BH DH ==1CH AH ==，1
23132CBD S ∆=⨯=
13
313ABCD V ==
分别延长,CH AH 至,M N ，使1HM HN ==，则可得,M N 分别是,ABD CBD ∆∆的外心，作OM ⊥平面ABD ，作ON ⊥平面CBD ，,OM ON 交于点O （这两条直线都在平面ACH 内，因此它们相交，也可作//,//OM CH ON AH 得结论），则O 为三棱锥A BCD -外接球球心．OMHN 是正方形，1OM HN ==，2222215OA AM OM =+=+=．
3
5 【点睛】本题考查三视图，考查棱锥的体积及棱锥的外接球．解题关键是由正视图得出三棱锥中的线面间的位置关系及线段长度．难点是寻找外接球球心．掌握如下结论就容易找到球心：多面体的外接球球心一定在过各面外心且与此面垂直的直线上． 四、解答题：5小题，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 19.已知函数()2
f x ax blnx =+在1x =处有极值
12
． （1）求a,b 的值； （2）求()f x 的单调区间．
【答案】(1)1
2
a =,1
b =-．(2) 单调减区间是()0,1,单调增区间是()1,+∞． 【解析】 【分析】
（1）先对函数求导，得到()2b
f x ax x
'=+，再由题意，列出方程组，求解，即可得出结果； （2）由（1）的结果，得到()2
12
f x x lnx =-，对其求导，解对应的不等式，即可得出单调区间.
【详解】解：（1）
()'2.b f x ax x =+又()f x 在1x =处有极值1
2
,
()
()
1
1
2
'10
f
f
⎧
=
⎪
∴⎨
⎪=
⎩
即
1
2
20
a
a b
⎧
=
⎪
⎨
⎪+=
⎩
解得
1
2
a=,1
b=-．
（2）由（1）可知()2
1
2
f x x lnx
=-,其定义域是()
0,∞
+,
()
()()
11
1
'
x x
f x x
x x
+-
=-=．
由()
'0
f x<,得01x<<；由()'0f x>,得1x>．∴函数()y f x=的单调减区间是()0,1,单调增区间是()1,+∞．【点睛】本题主要考查由函数极值求参数，以及导数的方法求单调区间的问题，通常需要对
函数求导，利用导数的方法求解即可，属于常考题型.
20.如图，三棱柱ADE BCG
-中，四边形ABCD是矩形，F是EG的中点，EA AB
⊥，1
AD AE EF
===，平面ABGE⊥平面ABCD．
（1）求证：AF⊥平面FBC；
（2）求锐二面角B FC D
--的平面角的大小．
【答案】（1）见解析（2）
3
π
【解析】
【分析】
（1）先由已知面面垂直证明BC⊥平面ABGE，得BC AF
⊥，再在矩形ABGE中由勾股定理逆定理证明AF BF
⊥，从而可得线面垂直；
（2）由（1）知AD，AB，AE两两垂直，以它们为坐标轴建立空间直角坐标系，写出各点坐标，求出平面的法向量，用向量法求二面角．
【详解】解：（1）证明：∵平面ABGE⊥平面ABCD，
平面ABGE平面ABCD AB
=，
又由四边形ABCD是矩形知，BC AB
⊥，BC⊂平面ABCD，
∴BC⊥平面ABGE，
∵AF ⊂
平面ABGE ， ∴BC AF ⊥．
在AFB ∆中，2AF BF ==，2AB =，
∴222AF BF AB +=，
即AF BF ⊥，又BF BC B ⋂=， ∴AF ⊥平面FBC ．
（2）由（1）知AD ，AB ，AE 两两垂直，分别以AD ，AB ，AE 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则()0,0,0A ，()1,0,0D ，()1,2,0C
，()0,0,1E ，()0,2,0B ，
()0,1,1F ，∴()1,0,1DE =-，()0,2,0DC =，
设()1,,n x y z =为平面CDEF 的法向量，
则1100
n DC n DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即200y x z =⎧⎨-+=⎩，
令1x =，得1z =，即()11,0,1n =，
取()20,1,1n AF ==为平面BCF 的一个法向量， ∴121212
1
cos ,2
n n n n n n ⋅=
=
， ∴锐二面角B FC D --的平面角的大小是
3
π．
【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查向量法求二面角．掌握证明线面垂直的判定定理及面面垂直的性质定理是解答本题的关键．在求空间角时，一般都是建立空间直角坐标系，用空间向量法求角．
21.如图，有一块半径为20米，圆心角23
AOB π
∠=
的扇形展示台，展示台分成了四个区域：三角形OCD ，弓形CMD ，扇形AOC 和扇形BOD （其中AOC BOD ∠=∠）.某次菊花展依次在这四个区域摆放：泥金香、紫龙卧雪、朱砂红霜、朱砂红霜.预计这三种菊花展示带来
的日效益分别是：泥金香50元/米2，紫龙卧雪30元/米2，朱砂红霜40元/米2.
（1）设COD θ∠=，试建立日效益总量y 关于θ的函数关系式； （2）试探求θ为何值时，日效益总量达到最大值. 【答案】（1）y 160004000sin 20003π
θθ=
+⋅-，其中，203
πθ<<.（2）当3πθ=时，日效益总量可取得最大值. 【解析】 【分析】
（1）利用扇形面积公式可求出四个区域的面积，从而可计算出日收益． （2）利用导数可求得日收益的最大值．
【详解】（1）依题意得，2
3232
AOC πθπθ
-∠==-
，则
22112040220sin 502322y πθθ⎛⎫=
⋅-⋅⋅+⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭22112020sin 3022θθ⎛⎫
+⋅⋅-⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭
1600010000sin 60006000sin 32πθθθθ⎛⎫
=⋅-+⋅+- ⎪⎝⎭
160004000sin 20003π
θθ=
+⋅-，其中，203
πθ<<. （2）'4000cos 2000y θ=⋅-， 令'0y =，得3
πθ=，
当π0
θ
3
，'0y >，当233ππ
θ<<时，'0y <，
所以，3π
θ=是函数的极大值点，且唯一；
从而当3
π
θ=时，日效益总量可取得最大值.
【点睛】本题考查三角函数模型的应用，考查导数在实际问题中的应用．解题关键是根据题意列式，求出函数表达式，然后再利用导数知识可求得最大值．
22.在如图所示的六面体中，面ABCD 是边长为2的正方形，面ABEF 是直角梯形，
90FAB ∠=，//AF BE ，24BE AF ==.
（Ⅰ）求证：AC //平面DEF ；
（Ⅱ）若二面角E AB D --为60，求直线CE 和平面DEF 所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析. 7. 【解析】
试题分析：（1）连接,AC BD 相交于点O ,取DE 的中点为G ,连接,FG OG ，易证四边形AOGF 是平行四边形，从而可得结论；
（2）以C 为坐标原点,CB 为x 轴、CD 为y 轴、CE 为z 轴建立空间直角坐标系.则()()((0,0.0,0,2,0,3,3C D E F ,计算法向量，根据公式sin cos ,CE n θ=即可求出. 试题解析：
(1):连接,AC BD 相交于点O ,取DE 的中点为G ,连接,FG OG .
ABCD 是正方形,O ∴是BD 的中点,1
,2
OG BE OG BE ∴=
, 又因为1
//,2
AF BE AF BE =
,所以OG AF 且OG AF =, 所以四边形AOGF 是平行四边形,
//AC FG ∴,又因为FG ⊂平面,DEF AC ⊄平面DEF AC//∴平面DEF
(2)ABCD ∴是正方形,ABEF 是直角梯形,FAB 90∠=︒,
DA AB,FA AB ∴⊥⊥
4AD AF ∴⋂=,AB ⊥平面AFD ,同理可得AB ⊥平面EBC .
又
AB ⊂平面ABCD ,所以平面AFD ⊥平面ABCD
,
又因为二面角E AB D --为60°，
所以60,2 4.2FAD EBC BE AF BC ∠=∠=︒===,由余弦定理得EC 23=, 所以EC BC ⊥，因为AB ⊥半面EBC ，
EC AB ∴⊥,所以EC ⊥平面ABCD ,
以C 为坐标原点,CB 为x 轴、CD 为y 轴、CE 为z 轴建立空间直角坐标系. 则()()(
)()0,0.0,0,2,0,0,0,23,1,2,3C D E F , 所以()(
)()0,0,23,1,0,
3,1,2,3CE DF F ==,
设平面DEF 的一个法向量为(),,n x y z =,
则00n DF n EF ⎧⋅=⎪⎨=⎪⎩即30230
x z x y z ⎧+=⎪⎨+-=⎪⎩令3z =，则33x y =-⎧⎨=⎩，
所以()
3,3,3n =-
设直线CE 和平面DEF 所成角为θ， 则7
sin cos ,2321
CE n θ==
=⨯
23.已知函数()()
1ln 1f x a x =
+，()32
g x x x =-+.
（1）当1a =时，试讨论方程()()2
1f x k k R =-∈的解的个数；
（2）若曲线()()
2
11y f x e x e =-<<-和()()0y g x x =<上分别存在点A ，B ，使得
AOB ∆是以原点O 为直角顶点的直角三角形，且斜边AB 的中点在y 轴上，求实数a 的取值范
围.
【答案】（1）见解析（2）
2 ,
2
e
e
⎛⎫
⎪
⎝⎭
【解析】
【分析】
（1）求出导函数()
f x
'，由导函数确定函数的单调性，作出函数的大致图象，通过图象确定方程()()
21
f x k k R
=-∈解的个数；
（2）设()
11
,
A x y，()
22
,
B x y，由120
2
x x
+
=，
21
x x
=-，32
211
y x x
=+，题意说明1212
OA OB x x y y
⋅=+=，代入得()()()
32
1111
1
1
ln1
x x x x
a x
-+⋅+=
+，化简后有()
1
1
1
10
ln1
x
a x
+
-=
+，从而()
1
1
1
ln1
x
a
x
+
=
+，只要求得
()
()
1
ln1
x
h x
x
+
=
+（
2
11
e x e
-<<-）的值域即得a的范围．
【详解】（1）当1
a=，()()
1
ln1
f x
x
=
+，()()
()()
()
22
11
11
ln1ln
'
1
x x
x
x x
f
--
++
==
++
；
又()
f x的定义域为()()
1,00,
-+∞；
当1
x>-时，()
'0
f x<恒成立.
所以，()
f x在()
1,0
-上单调递减，在()
0,∞
+也单调递减，图象如图所示.
因此，当210
k-=即1
k=±时，方程无解；
当210
k-≠即1
k≠±时，方程有唯一解.
（2）设()11,A x y ，()()1111ln 1f x a y x ==
+，()22,B x y ，()()3222220y g x x x x ==-+<， 则1202
x x +=，21x x =-，∴32211y x x =+. ()11,OA x y =，()22,OB x y =，
由题意，12120OA OB x x y y ⋅=+=，即
()()
()321111110ln 1x x x x a x -+⋅+=+， ∴()211
1110ln 1x x a x ⎡⎤+-+=⎢⎥+⎣⎦， ∵2111e x e -<<-，
∴()
11110ln 1x a x +-=+， 则()
111ln 1x a x +=+. 设()()1ln 1x h x x +=
+，则()()()2ln 11'ln 1x h x x +-=+， ∵211e x e -<<-，
∴()'0h x >，
即函数()()
1ln 1x h x x +=+在()211e x e -<<-上为增函数， 则()()
221111ln 11ln 11e e a e e -+-+<<-+-+， 即2
2
e e a <<. ∴实数a 的取值范围是2,2e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭
. 【点睛】本题考查用导数研究方程根的个数，求函数值域问题．解题关键是问题的转化．方
程根的个数可通过函数图象与直线的交点个数来研究，而题中第（2）个问题，通过,A B 两点的关系，转化为()()()321111110ln 1x x x x a x -+⋅+=+，即()
11110ln 1x a x +-=+有解，然后再转化为求函数值域．本题对学生的转化与化归能力要求较高，对运算求解能力要求较高．。