【小初高学习】2018高中数学(人教B版)必修五学案：第三章 3.5.2 简单线性规划 Word版含

3.5.2简单线性规划
[学习目标] 1.了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念.2.了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题．
[知识链接]
已知1≤x＋y≤5，－1≤x－y≤3，求2x－3y的取值范围．解答时容易错误地利用不等式中的加法法则，由原不等式组得到x，y的范围，再分别求出2x及－3y的范围，然后相加得2x－3y的取值范围．由于不等式中的加法法则不具有可逆性，从而使x，y的取值范围扩大，得出错误的2x－3y的取值范围．如果把1≤x＋y≤5，－1≤x－y≤3看作变量x，y满足的条件，把求2x－3y的取值范围看作在满足上述不等式的情况下，求z＝2x－3y的取值范围，就成了本节要研究的一个线性规划问题．
[预习导引]
1．线性规划中的基本概念
线性目标函数z＝ax＋by(b≠0)对应的斜截式直线方程是y＝－a
b x＋
z
b，在y轴上的截距是
z
b，
当z变化时，方程表示一组互相平行的直线．
当b>0，截距最大时，z取得最大值，截距最小时，z取得最小值；当b<0，截距最大时，z取得最小值，截距最小时，z取得最大值.
要点一 求线性目标函数的最值
例1 已知关于x ，y 的二元一次不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋2y ≤4，x －y ≤1，
x ＋2≥0.
(1)求函数u ＝3x －y 的最大值和最小值； (2)求函数z ＝x ＋2y 的最大值和最小值．
解
(1)作出二元一次不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋2y ≤4，
x －y ≤1，
x ＋2≥0.
表示的平面区域，如图(1)所示．
由u ＝3x －y ，得y ＝3x －u ，得到斜率为3，在y 轴上的截距为－u ，随u 变化的一组平行线，由图(1)可知，当直线经过可行域上的C 点时，截距－u 最大，即u 最小．
解方程组⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＋2y ＝4，
x ＋2＝0，得C (－2,3)，
∴u min ＝3×(－2)－3＝－
9.
图(1)
当直线经过可行域上的B 点时，截距－u 最小，即u 最大，
解方程组⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＋2y ＝4，
x －y ＝1，得B (2,1)，∴u max ＝3×2－1＝5.
∴u ＝3x －y 的最大值是5，最小值是－9.
(2)作出二元一次不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋2y ≤4，x －y ≤1，
x ＋2≥0.
表示的平面区域，如图(2)所示．
图(2)
由z ＝x ＋2y ，得y ＝－12x ＋12z ，得到斜率为－1
2，
在y 轴上的截距为1
2
z ，随z 变化的一组平行线．
由图(2)可知，当直线经过可行域上的A 点时，截距1
2
z 最小，即z 最小，
解方程组⎩
⎪⎨⎪⎧
x －y ＝1，
x ＋2＝0，得A (－2，－3)，
∴z min ＝－2＋2×(－3)＝－8.
当直线与直线x ＋2y ＝4重合时，截距1
2z 最大，即z 最大，
∴z max ＝x ＋2y ＝4，∴z ＝x ＋2y 的最大值是4，最小值是－8.
规律方法 图解法是解决线性规划问题的有效方法．其关键在于平移目标函数对应的直线ax ＋by ＝0，看它经过哪个点(或哪些点)时最先接触可行域和最后离开可行域，则这样的点即为最优解，再注意到它的几何意义，从而确定是取得最大值还是最小值． 跟踪演练1 已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
5x ＋3y ≤15，y ≤x ＋1，
x －5y ≤3.
求z ＝3x ＋5y 的最大值和最小值．
解
由不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
5x ＋3y ≤15，y ≤x ＋1，
x －5y ≤3.
作出可行域，如图所示．
∵目标函数为z ＝3x ＋5y ， ∴作直线l ：3x ＋5y ＝0.
平移直线l ，在可行域内以经过点A (32，5
2)的直线l 1所对应的z 最大．
类似地，在可行域内，以经过点B (－2，－1)的直线l 2所对应的z 最小． ∴z max ＝3×32＋5×5
2＝17，z min ＝3×(－2)＋5×(－1)＝－11.
要点二 非线性目标函数的最值问题 例2 已知⎩⎪⎨⎪
⎧
x －y ＋2≥0，x ＋y －4≥0，
2x －y －5≤0，
求：
(1)z ＝x 2＋y 2－10y ＋25的最小值； (2)z ＝
2y ＋1
x ＋1
的取值范围． 解 (1)作出可行域如图所示，A (1,3)，B (3,1)，C (7,9)． z ＝x 2＋(y －5)2表示可行域内任一点(x ，y )到点M (0,5)的距离的平方，过M 作AC 的垂线，易知垂足在AC 上，故|MN |＝|0－5＋2|1＋(－1)2
＝
32
＝32
2.
∴|MN |2＝(322)2＝92，∴z 的最小值为9
2
.
(2)z ＝2·y －(－12)
x －(－1)表示可行域内点(x ，y )与定点Q (－1，－1
2)连线斜率的2倍，
∵k QA ＝74，k QB ＝38
，∴z 的取值范围是[34，7
2]．
规律方法 非线性目标函数的最值问题，要充分理解非线性目标函数的几何意义，诸如两点间的距离(或平方)．点到直线的距离，过已知两点的直线斜率等．常见代数式的几何意义主要有： (1)
(x －a )2＋(y －b )2表示点(x ，y )与点(a ，b )的距离；x 2＋y 2表示点(x ，y )与原点(0,0)的距离． (2)y －b
x －a 表示点(x ，y )与点(a ，b )连线的斜率；y x 表示点(x ，y )与原点(0,0)连线的斜率．这些代数式的几何意义能使所求问题得以转化，往往是解决问题的关键． 跟踪演练2 如果点P 在平面区域⎩⎪⎨⎪
⎧
2x －y ＋2≥0，x ＋y －2≤0，
2y －1≥0上，点Q 在曲线x 2＋(y ＋2)2＝1上，求|PQ |
的最小值．
解 画出不等式组 ⎩⎪⎨⎪
⎧
2x －y ＋2≥0，x ＋y －2≤0，2y －1≥0
所表示的平面区域，x 2＋(y ＋2)2＝1所表示的曲线
为以(0，－2)为圆心，1为半径的一个圆．如图所示，
只有当点P 在点A (0，12)，点Q 在点B (0，－1)时，|PQ |取得最小值为32.
要点三 线性规划的实际应用
例3 某营养师要为某个儿童预订午餐和晚餐．已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C ；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C.
如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐？
解 设需要预订满足要求的午餐和晚餐分别为x 个单位和y 个单位，所花的费用为z 元，则依题意得：z ＝2.5x ＋4y ，且x ，y 满足
⎩⎪⎨⎪⎧
x ≥0，y ≥0，
12x ＋8y ≥64，
6x ＋6y ≥42，6x ＋10y ≥54.
即⎩⎪⎨⎪⎧
x ≥0，y ≥0，
3x ＋2y ≥16，
x ＋y ≥7，3x ＋5y ≥27.
让目标函数表示的直线2.5x ＋4y ＝z 在可行域上平移．
由图可知z ＝2.5x ＋4y 在B (4,3)处取得最小值．
因此，应当为该儿童预订4个单位的午餐和3个单位的晚餐，就可满足要求．
规律方法 线性规划解决实际问题的步骤：(1)分析并将已知数据列出表格；(2)确定线性约束条件；(3)确定线性目标函数；(4)画出可行域；(5)利用线性目标函数(直线)求出最优解；(6)
实
际问题需要整数解时，应适当调整，以确定最优解．
跟踪演练3 某加工厂用某原料由甲车间加工出A 产品，由乙车间加工出B 产品，甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时，可加工出7千克A 产品，每千克A 产品获利40元，乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时，可加工出4千克B 产品，每千克B 产品获利50元．甲、乙两车间每天共能完成至多70箱原料的加工，每天甲、乙两车间耗费工时总和不得超过480小时，甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为( ) A ．甲车间加工原料10箱，乙车间加工原料60箱 B ．甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱 C ．甲车间加工原料18箱，乙车间加工原料50箱 D ．甲车间加工原料40箱，乙车间加工原料30箱 答案 B
解析 设甲车间加工原料x 箱，乙车间加工原料y 箱，
由题意可知⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＋y ≤70，
10x ＋6y ≤480，
x ≥0，y ≥0.
甲、乙两车间每天总获利为z ＝280x ＋200y .
画出可行域如图所示．点M (15,55)为直线x ＋y ＝70和直线10x ＋6y ＝480的交点，由图象知在点M (15,55)处z 取得最大值．
1．若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
y ≤2x ，x ＋y ≤1，
y ≥－1，则x ＋2y 的最大值为( )
A ．－52
B ．0 C.53 D.5
2
答案 C
解析 设z ＝x ＋2y ，则y ＝－1
2x ＋z 2.
作出可行域如图，
平移直线y ＝－1
2x ＋z 2
，
由图象可知当直线y ＝－1
2x ＋z 2经过点B 时，
直线y ＝－1
2x ＋z 2
的截距最大，此时z 最大．
由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝2x ，
x ＋y ＝1，得⎩⎨⎧
x ＝1
3
，y ＝23，
即B (13，23)，代入z ＝x ＋2y 得z ＝13＋2×23＝5
3
，选C.
2．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋y ≥3，x －y ≥－1，
2x －y ≤3，则目标函数z ＝2x ＋3y 的最小值为( )
A ．6
B ．7
C ．8
D ．23 答案 B
解析 作出可行域如图所示．
由图可知，z ＝2x ＋3y 经过点A (2,1)时，z 有最小值，z 的最小值为7.
3．给出平面区域如图阴影部分所示，若使目标函数z ＝ax ＋y (a >0)取得最大值的最优解有无穷多个，则a 的值为________．
答案
35
解析 将z ＝ax ＋y 变形，得y ＝－ax ＋z .
当它与直线AC 重合时，z 取最大值的点有无穷多个． ∵k AC ＝－35，∴－a ＝－35，即a ＝3
5.
4．已知实数x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x ≥0，y ≥0，
x ＋y ≤2，则z ＝2x ＋4y 的最大值为________．
答案 8
解析 由不等式组表示的可行域知，目标函数z 在点(0,2)处取得最大值8.
1．用图解法解决线性或非线性规划问题的基本步骤： (1)在平面直角坐标系内作出可行域．
(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．
(3)确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解． (4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值．
2．作不等式组表示的可行域时，注意标出相应的直线方程，还要给可行域的各顶点标上字母，平移直线时，要注意线性目标函数的斜率与可行域中边界直线的斜率进行比较，确定最优解． 3．在解决与线性规划相关的问题时，首先考虑目标函数的几何意义，利用数形结合方法可迅速解决相关问题．。