2021-2022年高考数学二轮复习第五部分短平快增分练专题二规范练5.2.2大题规范练二

2021年高考数学二轮复习第五部分短平快增分练专题二规范练5.2.2大题规
范练二
解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
1．(本小题满分12分)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S 4＝24，S 7＝63. (1)求数列{a n }的通项公式；
(2)若b n ＝2a n
＋(－1)n ·a n ，求数列{b n }的前n 项和T n . 解：(1)∵{a n }为等差数列，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
S 4
＝4a 1
＋4×3
2d ＝24S 7
＝7a 1
＋7×6
2
d ＝63⇒⎩⎪⎨
⎪⎧
a 1＝3d ＝2
⇒a n ＝2n ＋1.
(2)∵b n ＝2a n
＋(－1)n ·a n ＝2
2n ＋1
＋(－1)n
·(2n ＋1)＝2×4n ＋(－1)n
·(2n ＋1)，
∴T n ＝2×(41
＋42
＋ (4)
)＋[－3＋5－7＋9－…＋(－1)n
(2n ＋1)]＝84n
－1
3
＋G n . 当n ＝2k (k ∈N *
)时，G n ＝2×n
2＝n ，∴T n ＝84n
－1
3
＋n ；
当n ＝2k －1(k ∈N *
)时，G n ＝2×n －1
2
－(2n ＋1)＝－n －2，
∴T n ＝
84n
－1
3－n －2， ∴T n
＝⎩
⎪⎨⎪⎧
84n －13
＋n n ＝2k ，k ∈N *
8
4n －13
－n －2n ＝2k －1，k ∈N *
2．(本小题满分12分)某公司在迎新年晚会上举行抽奖活动，有甲、乙两个抽奖方案供员工选择．
方案甲：员工最多有两次抽奖机会，每次抽奖的中奖率均为4
5.第一次抽奖，若未中奖，则抽
奖结束．若中奖，则通过抛一枚质地均匀的硬币，决定是否继续进行第二次抽奖．规定：若抛出硬币，反面朝上，员工则获得500元奖金，不进行第二次抽奖；若正面朝上，员工则须进行第二次抽奖，且在第二次抽奖中，若中奖，则获得奖金1 000元；若未中奖，则所获得的奖金为0元．
方案乙：员工连续三次抽奖，每次中奖率均为2
5，每次中将均可获得奖金400元．
(1)求某员工选择方案甲进行抽奖所获奖金X (元)的分布列；
(2)试比较某员工选择方案乙与选择方案甲进行抽奖，哪个方案更划算？
解：(1)P (X ＝0)＝15＋45×12×15＝725，P (X ＝500)＝45×12＝25，P (X ＝1 000)＝45×12×45＝8
25，
∴某员工选择方案甲进行抽奖所获奖金X (元)的分布列为
X 0 500 1 000 P
7
25
25
825
(2)由(1)可知，选择方案甲进行抽奖所获奖金X 的期望E (X )＝500×25＋1 000×8
25＝520，
若选择方案乙进行抽奖，中奖次数ξ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，25，则E (ξ)＝3×25＝65，抽奖所获奖金X 的期望E (X )＝E (400ξ)＝400E (ξ)＝480，
故选择方案甲较划算．
3．(本小题满分12分)如图所示，该几何体由一个直三棱柱ADE ­BCF 和一个正四棱锥P ­ABCD 组合而成，AD ⊥AF ，AE ＝AD ＝2.
(1)证明：平面PAD ⊥平面ABFE ；
(2)若正四棱锥P ­ABCD 的高为1，求二面角C ­AF ­P 的余弦值．
解：(1)证明：∵直三棱柱ADE ­BCF 中，AB ⊥平面ADE ， ∴AB ⊥AD ，又AD ⊥AF ，AB ∩AF ＝A ， ∴AD ⊥平面ABFE ，∵AD ⊂平面PAD ， ∴平面PAD ⊥平面ABFE .
(2)∵AD ∥BC ，AD ⊥平面ABFE ，∴BC ⊥平面ABFE ，且AB ⊥BF ，建立以B 为坐标原点，BA ，BF ，
BC 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴的空间直角坐标系，如图所示．
∵正四棱锥P ­ABCD 的高为1，AE ＝AD ＝2，
∴A (2,0,0)，E (2,2,0)，F (0,2,0)，C (0,0,2)，P (1，－1,1)， ∴AF →＝(－2,2,0)，CF →＝(0,2，－2)，PA →
＝(1,1，－1)， 设n 1＝(x 1,1，z 1)是平面ACF 的一个法向量，则n 1⊥AF →，n 1⊥CF →
，
∴⎩⎨⎧ n 1·AF →＝0n 1
·CF →＝0
，即⎩
⎪⎨
⎪⎧
－2x 1＋2＝0
2－2z 1＝0，
解得x 1＝1，z 1＝1，即n 1＝(1,1,1)．
设n 2＝(x 2,1，z 2)是平面PAF 的一个法向量，则n 2⊥AF →，n 2⊥PA →
，
∴⎩⎨⎧
n 2·AF →＝0
n 2
·PA →＝0
，即⎩
⎪⎨
⎪⎧
－2x 2＋2＝0x 2＋1－z 2＝0，
解得x 2＝1，z 2＝2，即n 2＝(1,1,2)． ∴cos〈n 1，n 2〉＝
n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝1＋1＋23×6
＝22
3，
又二面角C ­AF ­P 是锐角， ∴二面角C ­AF ­P 的余弦值是
22
3
. 4．(本小题满分12分)已知椭圆C 1的焦点在x 轴上，中心在坐标原点；抛物线C 2的焦点在y 轴上，顶点在坐标原点．在C 1，C 2上各取两个点，将其坐标记录于表格中：
x 3 －2 4 2 y
92
8
22
(1)求C 1，C 2(2)已知定点C ⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，18，P 为抛物线C 2上一动点，过点P 作抛物线C 2的切线交椭圆C 1于A ，B 两点，求△ABC 面积的最大值．
解：(1)设C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，由题意知，点(－2,0)一定在椭圆上，则点⎝
⎛
⎭⎪⎫2，22也
在椭圆上，分别将其代入，得4a 2＝1，2a 2＋12
b
2＝1，解得a 2＝4，b 2
＝1，
∴C 1的标准方程为x 2
4
＋y 2
＝1.
设C 2：x 2
＝2py (p ＞0)，依题意知，点(4,8)在抛物线上，代入抛物线C 2的方程，得p ＝1， ∴C 2的标准方程为x 2
＝2y .
(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P ⎝ ⎛⎭
⎪⎫t ，12t 2， 由y ＝12x 2知y ′＝x ，故直线AB 的方程为y －12t 2
＝t (x －t )，
即y ＝tx －12t 2
，代入椭圆C 1的方程，整理得
(1＋4t 2
)x 2
－4t 3
x ＋t 4
－4＝0，
Δ＝16t 6－4(1＋4t 2)(t 4－4)＝4(－t 4＋16t 2＋4)＞0，
x 1＋x 2＝4t 3
1＋4t 2，x 1x 2＝t 4
－4
1＋4t 2，
∴|AB |＝1＋t
216t
6
1＋4t
2
2－
4t 4－4
1＋4t
2
1＋4t
2
2
＝
21＋t
2
－t 4＋16t 2
＋4
1＋4t
2
， 设点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，18到直线AB 的距离为d ，则d ＝|－18－12t 2|1＋t 2＝18·|1＋4t 2
|1＋t
2
， ∴S △ABC ＝12×|AB |×d ＝12×21＋t 2
－t 4
＋16t 2
＋41＋4t 2×18×|1＋4t 2
|1＋t 2
＝18－t 4＋16t 2
＋4＝ 18
－t 2－8
2
＋68≤
1868＝174
，当且仅当t ＝±22时，取等号，此时满足Δ＞0. 综上，△ABC 面积的最大值为
17
4
. 5．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝e x
－12ax 2(x ＞0，e 为自然对数的底数)，f ′(x )是f (x )
的导函数．
(1)当a ＝2时，求证：f (x )＞1；
(2)是否存在正整数a ，使得f ′(x )≥x 2
ln x 对一切x ＞0恒成立？若存在，求出a 的最大值；若不存在，请说明理由．
解：(1)证明：当a ＝2时，f (x )＝e x
－x 2，则
f ′(x )＝e x －2x ，
令f 1(x )＝f ′(x )＝e x －2x ，则f ′1(x )＝e x
－2，
令f ′1(x )＝0，得x ＝ln 2，又0＜x ＜ln 2时，f ′1(x )＜0，x ＞ln 2时，f ′1(x )＞0， ∴f 1(x )＝f ′(x )在x ＝ln 2时取得极小值，也是最小值． ∵f ′(ln 2)＝2－2ln 2＞0，∴f ′(x )＞0在(0，＋∞)上恒成立， ∴f (x )在(0，＋∞)上为增函数． ∴f (x )＞f (0)＝1.
(2)由已知，得f ′(x )＝e x
－ax ，
由f ′(x )≥x 2
ln x ，得e x －ax ≥x 2
ln x 对一切x ＞0恒成立，当x ＝1时，可得a ≤e ，∴若存在，则正整数a 的值只能取1,2.
下面证明当a ＝2时，不等式恒成立，
设g (x )＝e x
x
2－2x
－ln x ，则g ′(x )＝x －2e x
x 3
＋2x 2－1x ＝x －2e x
－x
x 3
，
由(1)得e x
＞x 2
＋1≥2x ＞x ，∴e x
－x ＞0(x ＞0)， ∴当0＜x ＜2时，g ′(x )＜0；当x ＞2时，g ′(x )＞0. ∴g (x )在(0,2)上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数．
∴g (x )≥g (2)＝14(e 2－4－4ln 2)＞14×(2.72
－4－4ln 2)＞14(3－ln 16)＞0，
∴当a ＝2时，不等式f ′(x )≥x 2
ln x 对一切x ＞0恒成立， 故a 的最大值是2.
请考生在第6、7题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 6．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程 已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝1＋12t
y ＝3＋3t
(t 为参数)．在以坐标原点为极点，x 轴非负半
轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的方程为sin θ－3ρcos 2
θ＝0.
(1)求曲线C 的直角坐标方程；
(2)写出直线l 与曲线C 交点的一个极坐标．
解：(1)∵sin θ－3ρcos 2
θ＝0，∴ρsin θ－3ρ2
cos 2
θ＝0， 即C 的直角坐标方程为y －3x 2＝0. (2)将⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝1＋12t
y ＝3＋3t
代入y －3x 2
＝0得，
3＋3t －3⎝
⎛⎭
⎪⎫1＋12
t 2
＝0，即t ＝0，
从而，交点坐标为(1，3)，
∴直线l 与曲线C 交点的一个极坐标为⎝
⎛⎭⎪⎫2，π3.
7．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲 已知函数f (x )＝|x －m |－|x ＋3m |(m ＞0)． (1)当m ＝1时，求不等式f (x )≥1的解集；
(2)对于任意实数x ，t ，不等式f (x )＜|2＋t |＋|t －1|恒成立；求m 的取值范围． 解：(1)f (x )＝|x －m |－|x ＋3m | ＝⎩⎪⎨⎪
⎧
－4m ，x ≥m －2x －2m ，－3m ＜x ＜m .4m ，x ≤－3m
当m ＝1时，由⎩⎪⎨
⎪⎧
－2x －2≥1－3＜x ＜1
，或⎩⎪⎨
⎪
⎧
4≥1x ≤－3
，或⎩⎪⎨
⎪
⎧
－4≥1x ≥1
(无解)得x ≤－3
2
，
∴不等式f (x )≥1的解集为{x |x ≤－3
2
}．
(2)不等式f (x )＜|2＋t |＋|t －1|对任意的实数t ，x 恒成立，等价于对任意的实数x ，f (x )＜(|2＋t |＋|t －1|)min 恒成立，即[f (x )]max ＜(|2＋t |＋|t －1|)min ，
∵f (x )＝|x －m |－|x ＋3m |≤|(x －m )－(x ＋3m )|＝4m ， |2＋t |＋|t －1|≥|(2＋t )－(t －1)|＝3， ∴4m ＜3，又m ＞0，∴0＜m ＜3
4
.。