利用振动研究单壁碳纳米管力学性能

第26卷第12期高分子材料科学与工程
Vol.26,N o.12
2010年12月
POLYMER MATERIALS SCIENCE AND ENGINEERING
Dec.2010
利用振动研究单壁碳纳米管力学性能
张 华,赵稳军,刘同平
(重庆大学资源及环境科学学院,重庆400030)
摘要:单壁碳纳米管的力学性能是碳纳米管增强复合材料和碳纳米管器械的基本问题之一。

文中根据分子结构力学方法建立单壁碳纳米管的有限元模型,通过振动频率计算单壁碳纳米管的弹性模量和剪切模量。

详细讨论了用不同阶数弯曲振动固有频率和扭转振动固有频率求得的弹性模量和剪切模量结果的准确性,并分析了单壁碳纳米管的直径对弹性模量及剪切模量的影响。

关键词:单壁碳纳米管;振动;弹性模量;剪切模量
中图分类号:T B383 文献标识码:A 文章编号:1000 7555(2010)12 0156 04
收稿日期:2010 05 26
通讯联系人:张 华,主要从事计算力学研究,E mail:zhanghua@
1991年日本NEC 公司的Iijima [1]使用电弧法意外地发现了碳纳米管(CNTs),碳纳米管具有很多优异而独特的光学、电学和力学性能而有着广泛的应用前景。

所以,碳纳米管基础力学行为的研究引起了人们的极大兴趣,但首先面临的困难是如何对单个碳纳米管的力学行为进行描述。

对碳纳米管的力学行为,许多学者在理论和实验两方面都进行了研究[2,3],得到了不同的研究方法。

在用有限元法计算碳纳米管基本力学属性弹性模量E 和剪切模量G 方面,Giannopoulos 等[4]针对碳纳米管中碳原子间的作用势,分别用杆单元和弹簧单元进行模拟,而Li 和Chou [5]将碳纳米管中碳 碳化学键等效为梁单元,M ir 等[6]和Sakhaee Pour 等[7]采用上述方法对单壁碳纳米管的振动特性进行了分析。

在文献[4]和[5]中,通过对碳纳米管施加拉伸力和扭矩,并根据轴向拉伸变形和扭转变形计算了碳纳米管的弹性模量E 和剪切模量G 。

本文采用分子结构力学方法建立了单壁碳纳米管的分子结构力学模型,计算出碳纳米管的振动固有频率,然后,通过连续体悬臂梁的固有频率计算公式,求得碳纳米管的弹性模量E 和剪切模量G 。

1 碳纳米管有限元模型的建立
碳纳米管可被看作由碳原子组成的大分子。

原子核可作为物质点,它们的运动是由力场来定义的,力场
又由电子核与原子核以及原子核与原子核的相互作用构成。

一般情况下,力场被表示为空间势函数的形式,它依赖于原子核的相对位置。

本文利用Li 和Chou [5]的方法,将碳 碳化学键等效为一圆形截面的梁单元,碳原子等效为连接梁单元的节点,再根据梁单元的拉伸、弯曲和扭转应变能分别与分子化学键能的伸缩能、键角的弯曲能以及二面角的扭转能和面外扭转能的等效关系,获得等效梁单元的力学参数 弹性模量E 、剪切模量G 和梁单元截面面积A 。

于是,就可以在通用有限元软件ABAQU S 中建立单壁碳纳米管有限元模型,在ABAQU S 中有多种梁单元,此处选用欧拉梁单元B33。

2 碳纳米管的振动分析
2.1 碳纳米管振动固有频率的获取
为了对应连续体悬臂梁模型,将单壁碳纳米管一端完全约束,另一端自由,在有限元软件ABAQUS 中计算结构固有频率。

在无阻尼情况下,碳纳米管自由振动的运动方程为:
M +K u =0(1)式中:M ,K 总质量矩阵和总刚度矩阵,分别由碳原子单元质量矩阵和等效梁单元刚度矩阵组集而成。

碳原子节点的质量矩阵为:
M e
=diag[m m m 000]
(2)
式中,碳原子质量为m =1.9929 10-26
kg ,然后通过
下面的公式计算碳纳米管圆频率 ,
|K - 2M |=0
(3)
2.2 单壁碳纳米管的振动分析
在获得了单壁碳纳米管的各阶固有频率后,将整个单壁碳纳米管等效为连续体厚度为0 34nm 的薄壁圆筒悬臂梁模型,可以通过弯曲振动固有频率和扭转振动固有频率来分别计算碳纳米管的弹性模量E 和剪切模量G 。

根据振动力学的知识,连续体悬臂梁的弹性模量E 和剪切模量G 可通过弯曲振动固有频率和扭转振动固有频率的公式进行计算。

[8]
E =
4 3f 2
i Dt !4i I
(i =1,2,!)(4)
G =4f 2
i l 2(i -0.5)
2 (i =1,2,!)
(5)式中:f i 第i 阶弯曲固有频率和扭转固有频率;l 梁的长度; 梁的密度;D 梁的直径;t 圆筒的壁厚;I 梁横截面的惯性矩;!i l (i =1,2,3,4)依次为1 875,4 694,7 855,10 996。

3 计算结果及分析3.1 弹性模量E 的计算
由于是采用梁的振动理论求取弹性模量E ,梁的纵向尺寸比横向尺寸大得多,所以需要考虑碳纳米管长径比L /D (L 是纳米管的长度,D 是纳米管的直径)对计算结果精度的影响,为了能得到足够精度的长径比,初始取较小的长径比,然后保持直径和手性不变,增加长度,以达到逐渐增大长径比的要求,并计算弹性模量E 。

由文献[5]知道,管径对弹性模量有影响。

对较小直径的纳米管,例如直径小于1 0nm 时,弹性模量强烈地依赖于管径。

但是当管径大于1 0nm 时,弹性模量受管径的影响较小。

这是由于,一方面,考虑到碳纳米管是由石墨片卷曲而成,卷曲过程中,模拟C-C 化学键的梁单元发生弯曲,引起初始内力的产生。

而在建模时,并没有考虑初始内力在内,当直径较小时,梁单元的曲率较大,引起较大的初始内力。

另一方面,当直径较小,碳原子间相互作用的形式也更复杂。

因此,在考虑长径比求取弹性模量值时,为了消除管径对弹性模量的影响,此处取D 大于1 0nm 。

Armchair 型碳纳米管管径D 取值约为1 356nm,Zigzag 型碳纳米管管径D 取值约为1 331nm ,Chiral 型碳纳米管管径D 取值约为1 336nm 。

计算结果见Fig.1(图中E i 表示第i 阶弯曲固有频率所求的弹性模量)。

Fig.1 The elastic modulus of the carbon nanotu bes vs.aspect ratio
从Fig.1可以发现,对于直径D =1 356nm 的Armchair 型碳纳米管,直径D =1 331nm 的Zigzag 型碳纳米管,直径D =1 336nm 的Chiral 型碳纳米管,根据梁的弯曲振动理论计算出的各种类型碳纳米管的弹性模量E ,由于第一阶弯曲固有频率求的弹性模量E 1能很快地收敛,即只要更小的长径比就能求得精确的弹性模量值。

随着弯曲固有频率阶数的增加,计算结果收敛速度越慢,也就是需要更高的长径比才能求得稳定的解。

随着长径比的增大,用不同阶固有频率求得的弹性模量值会逐渐趋于一致。

这说明,利用弯曲振动的固有频率求碳纳米管的弹性模量是可
行的。

但是,为了求得准确弹性模量所需要的长径比会随着固有频率阶数的升高而显著增大,而第一阶要求长径比最小,所以计算速度更快。

因此在后面的章节中利用梁的弯曲振动理论求不同直径碳纳米管取弹性模量E 时,均使用第一阶固有频率。

对Fig.1进行比较,可以发现,在直径大约相同的时候(Armchair 型D =1 356nm,Zigzag 型D =1 331nm,Chiral 型D =1 336nm),不同手性的碳纳米管,由弯曲固有频率求取弹性模量收敛速度也接近,即计算相同直径不同手性的碳纳米管弹性模量值时,得到稳定值时的长径比是基本相同的。

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第12期张 华等:利用振动研究单壁碳纳米管力学性能
再考察直径对碳纳米管的弹性模量的影响。

为此,在长径比L/D大约为35时,采用了不同直径单壁碳纳米管,取它们的第一阶弯曲固有频率分别计算其弹性模量。

本文取Armchair型(3,3),(5,5),(7, 7),(9,9),(11,11),(13,13),(15,15)和Zigzag型(5, 0),(8,0),(12,0),(16,0),(19,0),(22,0),(26,0)以及Chiral型(4,2),(6,3),(9,4),(12,6),(15,7),(17, 8),(20,10)的模型计算,计算结果如Fig.2所示。

从Fig.2中的曲线可以发现,直径较小时(直径小于1 2nm),管径对弹性模量值的影响比较大,当管径大于1 2nm时管径对碳纳米管弹性模量值的影响变弱。

而且管径小时,弹性模量值也小,直径增大,弹性模量随着增大,当直径增大到约为2nm时,弹性模量开始保持稳定。

不同手性的碳纳米管的弹性模量在直径小于2nm时有所不相同,Armchair型的弹性模量要略大于Chiral型碳纳米管的弹性模量,Chiral型碳纳米管的弹性模量大于Zigzag型碳纳米管的弹性模量。

当直径增大,而越靠近2nm时,三者的弹性模量越接近。

当直径大于2nm后,三者的弹性模量基本相同,约为1 005TPa。

3.2 剪切模量G的计算
对于剪切模量G的求取,如同弹性模量E一样,首先考虑长径比对计算结果的影响。

分别考虑了不同手性的碳纳米管(Arm chair型D=1 356nm,Zigzag 型D=1 331nm,Chiral型D=1 336nm)的长径比对剪切模量G的影响。

计算结果如Fig.3(图中G i表示第i阶扭转固有频率求得的剪切模量)。

由Fig.3可以发现,对于不同手性碳纳米管,在长径比小于5时,结果有误差,但误差非常微小。

当长径比大于5时,由不同阶数扭转固有频率求得的剪切模
量值已经稳定。

Fig.2 The elas tic modulus of carbon nan otubes vs.tube
diameter Fig.4 The s hear modulus of carbon nanotu bes vs.tube
diameter
Fig.3 The s hear modulus of the carbon nanotubes vs.aspect ratio
下面考虑碳纳米管管径对剪切模量影响。

与前面
的方法一致,取L/D∀35。

分别计算不同手性的碳纳
米管(Armchair型,Zigzag型,Chiral型)不同直径时的
剪切模量G的值。

计算结果见Fig.4。

从Fig.4可以发现,当剪切模量在长径比一定时,
直径对Zig zag型碳纳米管剪切模量的影响甚微。

而
Armchair型和Chiral型碳纳米管在直径小于1nm时
会随着直径的增大而增大,当直径大于1nm后,剪切
模量几乎不变。

Zig zag型碳纳米管的剪切模量G略
大于Armchair型碳纳米管的剪切模量G。

4 结论
158高分子材料科学与工程2010年
对比分子动力学方法巨大的计算量,本文采用的分子结构力学方法计算量小,且能得到比较准确的值。

从计算出的单壁碳纳米管的力学参数,可以得到如下的结论:
(1)用弯曲振动固有频率求弹性模量E 时,用第一阶固有频率求解,只需较小的长径比就能得到稳定的结果。

随着弯曲固有频率阶数的升高,求得稳定解所需要的长径比逐步增大。

但用扭转固有频率求剪切模量G 时,不同阶数弯曲固有频率求得稳定解所需要的长径比基本相同。

(2)不同手性的单壁碳纳米管,求得稳定的弹性模量E 和剪切模量G 所需长径比大约相同。

(3)用弯曲振动固有频率求得的弹性模量,在直径小于1 2nm 时,直径对弹性模量值的影响大,随着管径的增大,影响逐渐变弱。

当直径大于2nm 后,不同手性单壁碳纳米管弹性模量E 值,不再随直径变化,约等于1 005TPa 。

用扭转固有频率求剪切模量G 值,对于Armchair 型和Chiral 型单壁碳纳米管,在直径小于1nm 时,直径对剪切模量值影响较大,随着管径的增大,影响逐渐变弱。

当直径增加到大于2nm 后,剪切模量值趋于稳定,约为4 91T Pa 。

对Zigzag 型单壁碳纳米管,直径对其剪切模量并无影响。

其值约为4 91TPa 。

(4)单壁碳纳米管弹性模量值,在直径小于2nm
时,Armchair 型大于Chiral 型,Chiral 型大于Zigzag 型,而剪切模量的值则相反。

在直径大于2nm 后,不同手性单壁碳纳米管弹性模量值和剪切模量的值均趋于相同。

参考文献:
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Mechanical Properties of the Nanotubes by Using Its Vibration
ZHANG H ua,ZHAO Wen jun,LIU Tong ping
(Dep artment o f Engineer ing Mechanics,College o f Resources and Env ironmental
Science,Chongqing University ,Chongqing 400030,China)
ABSTRAC T:Mechanical property of single w alled carbon nanotube is one of the basic problems of carbon nanotubes reinforcing composite m aterial and nanotube devices.In this paper,a finite element modeling of sing le w alled carbon nanotube w as established based on molecular structural mechanics approach and the elastic modulus and shear modulus w ere obtained by utilizing its vibrational frequencies.Detail discussion have involved in the accuracy of the results of the elastic modulus and shear modulus w hich were calculated by using the different orders of the flexual and torsional v ibration frequencies.And the effect of single w alled carbon nanotube diameters for elastic modulus and shear modu lus was analyzed respectively.
Keywords:single walled carbon nanotubes;vibration;elastic modulus;shear modulus
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第12期张 华等:利用振动研究单壁碳纳米管力学性能。