第八章(阻抗和导纳)

（3）三角形式：A=a(cosθ+jsinθ) 又因为： a1=|A|cosθ， a2=|A|sinθ；
+j A a
a2 所以，复数A有三角函数形式：
A=|A|cosθ+j|A|sinθ =a(cosθ+jsinθ)
0
θ
a1
+1
（4）指数形式：A=aejθ 根据欧拉公式：ejθ=cosθ+jsinθ， 复数的三角函数形式可转变为指数形式，即： +j A=a(cosθ+jsinθ)=aejθ
例题
正弦量与振幅相量的相互转换（变换与反变换）
1、已知正弦电压信号为：u(t) = 8cos(ωt-30°)， 则相量形式为：
• Um = 8e-j30°= 8∠-30°（电压振幅相量） 2、已知电流的相量形式为：
• Im = 5ej45°= 5∠45° 则时域正弦信号为：i(t) = 5cos(ωt+45°)
注意 1、相量和正弦信号之间只能说明存在对应关系或数学变换关系， 不能说相量等于正弦量。
u U m U m∠
•
U m cos(t u)
=U
2、相量必须乘以旋转因子ejωt并取实数后才等于所对应的正弦信 号。
Re( U m
•
j ω t e )
m
cos(t u)

3、若选定以cos为标准, sin必须先化为cos，即
1
第八章实为变换域的方法之相量分析法
本章将以正弦稳态电路的分析为例讨论变换域的方法 在电路分析中的应用。
u 正弦量(sinusoid)是以正弦规律变化的物理量。 Um
π
2
u(t ) U m cos U m cost
0 π
2
π
3π 2
2π
ω t/rad
2 T
此处θ应为随t变化的角度，表为θ =ω t，而 称为角频 率，T为周期。变化一周，从角度上为2π弧度，从时间上 为T秒，ω单位为rad/s。Um为振幅(amplitude)。

m
—是一个与时间无关的复值常数，u(t)的（振幅）相量。

电流i(t)： I• m
i(t ) I m cos(t i ) I m I m e ji I m i
—是一个与时间无关的复值常数，i(t)的（振幅）相量。
注意：数学上任意个相同频率的正弦量的代数和及这些量的任意 阶导数都是同频率的正弦量，因此在正弦稳态电路中，各支路的 电压和电流都是同频的正弦量，且频率已知，所以Ům和İm可以完 全表征正弦稳态电路中的正弦量。
变换方法：从数学到电路
变换 动态电路的时域模型
① 1 相量模型
2 s域模型 ②

变换为
→适用于正弦稳态分析
→
适用于线性动态电路的一般分析
模型变换的数学理论基础: 1 欧拉恒等式 2 拉普拉斯变换
类比
、2 两种模型均与电阻模型作类比，从而 得以充分利用熟知的电阻电路分析方法。这 是一种手段，较简便地得到客观存在的动态 电路时域响应。
复数的加减运算也可以在复平面上用图形来表示，符 合平行四边形求和法则。
+j
C=A+B B A
0
+j
0
B A
+1
C=A-B
复数的加减算 应该用直角坐 标形式进行。
+1
-B
（3）乘法运算 A· B=(a1+ja2)(b1+jb2)=(a1b1-a2b2)+j(a2b1-a1b2)
或 A· B=aejθa· bejθb=abej(θa+θb) 复数用极坐标表示相乘时，其模相乘，其幅角相加。
（4）除法运算
A/B= (a1+ja2)/(b1+jb2) =(a1b1+a2b2 )/(b12+b22)+j(a2b1-a1b2)/(b12+b22)
复数的乘除算 应该用极坐标 形式进行。
或A/B=aejθa· /(bejθb)=(a/b)ej(θa-θb) 复数用极坐标表示相除时，其模相除，其幅角相减。
+j
。 5 60 。 60
解：
（1）振幅相量表达式为： 5cos(314t+60°)⇔5∠60°
0
5
+1
（2）振幅相量表达式为： -10sin(314t+60°)=10cos(314t+60+90°) 10cos(314t+150°) ⇔ 10∠150° （3）振幅相量表达式为： -4cos(314t+60°)=4cos(314t+60+180°) =4cos(314t+240°)=4cos(314t-120°) ⇔ 4∠-120°
第三篇 动态电路的相量分析法和s域分析法
重提基本结构
一个假设→集总模型（电阻电路和动态电路） 两类约束→VCR + KCL、KVL 三大基本方法 1.叠加方法 2.分解方法 3.变换域方法
模型的化简
---模型的类比(第三篇)
第八章
阻抗和导纳
8-1
§1 变换方法的概念 §2 相量（解析）法
§3 相量图（解）法

正弦信号：随时间正弦变化的电压或电流。
一般表示式为：
u (t ) U m cos(t )
u Um
0
π
2π
ψ
研究正弦信号的意义： 1、正弦量容易产生和获得， 是电路的基本激励之一，在科 学研究和工程技术中很多仪器 或设备以此为基本信号。 2、根据傅里叶级数和傅里叶 积分，周期信号能够分解为一 ωt/rad 系列正弦信号的叠加，正弦分 析和推广至周期信号的分析。
欧拉恒等式：ejθ=cosθ+jsinθ，其中θ为一实数。
令θ=ωt+ Ψ,则有 e j (t ) cos(t ) j sin(t )
U m e j (t ) U m cos(t ) U m j sin(t )
u(t ) U m cos(t ) Re[U m e
j (t )
] Re[U m e e ] Re[U m e jt ]
j
jt

U m U m e j 实为一个复数称为振幅相量
U m cos(t ) U m

相 量 图
0
+j
Um Um +1
•
Ψu
正弦电压、电流变量的振幅相量
电压u(t)： • U
u(t ) U m cos(t u ) U m U m e ju U m u
（二）振幅相量
1、振幅相量的引入
在正弦稳态(sinusoidal steady state，简称sss)电路 中，所有电压、电流均为与激励同频率的正弦函数。
在已知频率的情况下，正弦波的三个特征参数降为两个。
u(t ) U m cos(t )
复数的极坐标形式：A=a∠θ
正弦量 复数
2、正弦量与相量的相互变换
dt
其解为
uc (t ) uCp (t ) uCh (t )
（a）正弦稳态
当电路完全受激励主宰，达到稳态时，响应应为同频率正弦波，即
uCp (t ) U Cm cos(t u ) (1)
uCp应满足电路KVL方程 以(1)式代入，可解得未知量Ucm和Ψu 。
（b）过渡过程
如果uc(0)=0，而正弦激励所要求的稳态响应在t=0时 为ucp (0)=Ucmcosφu，两者不一致，不能保证uc 的连续性，电路将产生瞬态响应 uCh (t ) (U Cm cos u )e t / ，
复数的乘除也可以用图解表示，复数的乘除表示为模 的放大或缩小，幅角表示为逆时针旋转或顺时针旋转。
+j
θb
A
+j
C=A· B a· b B θb
A a/b
θa θb A/B
B
θb
θa
0
+1
0
+1
3、旋转因子ejθ
复数ejθ=1∠θ是一个模等于1，幅角为θ的复数。 任意复数A=aejθ乘以ejθ等于
+ j aej2θ a θ + 1
把复数A逆时针旋转了一个 角度θ，而A的模值不变，所 以ejθ称为旋转因子。
1 2θ
0 j θ 根据欧拉公式：e =cosθ+jsinθ不难得出：
ejπ/2=j，e-jπ/2=-j，e-jπ=-1。 因此，“±j”和“-1”都可以看作是旋转因子。 例如，一个复数乘以j，等于把该复数在复平面上逆时 针旋转π/2； 一个复数除以j，等于该复数乘以-j，因此等于把它顺 时针旋转π/2。
Ψ 称为初相角。 故描述正弦的三个参数为Um、ω (或f或T)、初相Ψ 。 称为正弦量的三要素或三特征。
正弦稳态及其过渡过程
R
+
i
+
uS
设u S (t ) U Sm cos(t )
t 0
-
uS uC- C
0
ψ
ωt
电路KVL方程 RC duC u U cos(t ) C Sm
（1）原来的问题 求解动态电路中的正弦稳态问题。直接求解微分方程十分困难。 （2）变换域的问题 将时域问题变换为相量域中，在相量法中用相量（复数）表示 时间t的正弦量求解，求出的相量解反变换至时域。
（3）变换域求解问题 将三角函数运算变换为复数运算，这样就将电路微分方程的 求解就可以简化为复系数代数方程的求解。
（一）复数 复数及其运算是相量法的数学基础。 本节先对复数的有关知识做简要回顾。
1、复数的表示方式
（1）直角坐标形式：A=a1+ja2 其中，a1和a2分别为复数A的实部和虚部； j=(-1)1/2为虚数单位。 +j
复数A在复平面上是一个 坐标点，常用原点至该点 的向量表示，如图所示。
a2
0
A a
θ
§2
相量（解析）法
8-3
相量法适用于正弦稳态分析，又可细分为解 析法和图解法，前者是主要的，后者只是子方法。
基本要求
1、 熟练掌握正弦量与相量的互换 2、 理解KCL、KVL的相量形式 3、 理解VCR的相量形式
4 、 熟练掌握电路的相量模型（phasor model）
§2-1 正弦量与相量的互换
使 uCp (0) uCh (0) 0 ，此响应逐渐消失，电路进入正弦 u 稳态。
C
ucp
uc(t)
0
uch
t
u c (t ) = (U Cm cos u )e t / +U Cm cos(t u )
如何简便求解？
核心思想：借用复数表示正弦信号，可使正弦稳态电路的分 析和计算得到简化,使正弦量的运算变为复数的代数运算。 这 就构成了正弦稳态分析的基本工具——相量法。 相量法：相量法的基础是数学中的变换概念和复数运算。
变换方法举例----并不陌生！ 求解
x
2.35
5
2.35 lg x = lg 5
解： ⑴ 取对数（变换）
⑵ 运算（除法） ⑶答案（反变换）
lg 5 0.6989 lg x 0.2974 2.35 2.35
x lg 0.2974 1.983
百度文库1
由此例可知： （a）变换方法可使运算简化； （b）与直接求解不同，需经三个步骤； （c）要知道如何“变换”和“反变换”。
习题课
§1
变换方法的概念
变换方法的基本思想方法： （1）把原来的问题变换为一个较为容易处理的问题。 （2）在变换域中求解问题。 （3）把变换域中求得的解答反变换为原来问题的解答。
变 换 方 法 的 思 路 原来的问 题 变换 变换域的 问题 求解 原来问题的 解答 反变换 变换域问题 的解答
直接求解
a112
+1
横坐标为a1、纵坐标为a2的点； 或用长度为a，与实轴正方向 的夹角为θ的向量A表示。 其中，矢量的长度|A|称为复数 的A的模，矢量和实轴正方向 的夹角θ称为复数幅角。
+j a2
0
A a
θ
a1
+1
（2）极坐标形式：A=a∠θ 由图可得：A=|A|∠θ， 其中，a=|A|=（a21+a22）1/2 ，a称为复数A的模。 θ=arctan(a2/a1), θ称为复数A的幅角。
A sin( t ) A 90
4、初相角通常取为[-π, π]。
3、相量图
相量在复平面上的图示称为相量图： （1）首先应该画出参考坐标系，这个坐标系可以用 相互垂直的实轴和虚轴表示； （2）画出原点和一个表示参考相量的射线； （3）实轴的方向为参考相量的方向。
Um=8e-j30°=8∠-30°
•
•
+j
5∠45° +1 45° 0 30° 8∠-30°
Im
=5ej45°=5∠45°
相量图代替波形图，表明振幅和初相，简便直观！
例题
试写出代表这三个正弦电流的(振幅)相量及相量图示。
已知：i1(t)=5cos(314t+60°)A， i2(t)=-10sin(314t+60°)A， i3(t)=-4cos(314t+60°)A，
a2
0
A a
θ
a1
+1
2、复数的四则运算
+j
设A=a1+ja2，B=b1+jb2 或A=aejθa，B=bejθb
a2
0
A a
（1）相等A=B
对于直角坐标形式： 若a1=b1，a2=b2，则A=B；
θ
a1
+1
对于极坐标形式、三角形式、指数形式： 若a=b，θa=θb，则A=B；
（2）加减运算 A±B=(a1+ja2)±(b1+jb2)=(a1±b1)+j(a2±b2)