【水印已去除】2018-2019学年内蒙古包头九中高一(下)期中数学试卷

2018-2019学年内蒙古包头九中高一（下）期中数学试卷
一、选择题（每题5分，共计60分）
1．（5分）已知a，b∈R，则下列命题正确的是（）
A．若a＞b，则a2＞b2B．若|a|＞b，则a2＞b2
C．若a＞|b|，则a2＞b2D．若a≠|b|，则a2≠b2
2．（5分）等差数列{a n}中，若a2+a8＝16，a4＝6，则公差d的值是（）A．2B．1C．﹣1D．02
3．（5分）在△ABC中，若A＝60°，C＝45°，，则a＝（）A．1B．C．D．2
4．（5分）在等比数列{a n}（n∈N*）中，若a1＝1，a4＝，则该数列的前10项和为（）A．B．C．D．
5．（5分）已知t＞0，则函数y＝的最小值为（）
A．﹣4B．﹣2C．0D．2
6．（5分）已知数列{a n}满足，，则a n＝（）A．B．C．D．
7．（5分）△ABC中，已知其面积为，则角C的度数为（）A．135°B．45°C．60°D．120°
8．（5分）若数列a n的通项公式为a n＝2n+2n﹣1，则数列a n的前n项和为（）A．2n+n2﹣1B．2n+1+n2﹣1C．2n+1+n2﹣2D．2n+n﹣2
9．（5分）若＝＝，则△ABC是（）
A．等腰直角三角形
B．有一个内角是30°的直角三角形
C．等边三角形
D．有一个内角是30°的等腰三角形
10．（5分）已知数列{a n}满足要求a1＝1，，则a100＝（）
A．B．C．D．
11．（5分）若不等式x2≥m+4x，x∈[0，1]恒成立，则实数m的取值范围是（）A．m≤﹣3或m≥0B．m≥﹣3C．﹣3≤m≤0D．m≤﹣3
12．（5分）在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝75°，BC＝2，则AB的取值范围是（）A．B．C．
D．
二、填空题（每题5分，共计20分）
13．（5分）设一元二次不等式ax2+bx+1＞0的解集为，则ab的值是．14．（5分）若在△ABC中，∠A＝60°，b＝1，S△ABC＝，则＝．15．（5分）设＝．
16．（5分）设S n是数列{a n}的前n项和，a1＝﹣1，a n+1＝S n S n+1，则S n＝．
三、解答题（17题10分，18-22每题12分，共计70分，）
17．（10分）解不等式
（1）；
（2）（x+4）（x+5）2（2﹣x）5＜0．
18．（12分）设正项等比数列{a n}的前n项和为S n，已知a3＝4，．
（Ⅰ）求首项a1和公比q的值；
（Ⅱ）若，求n的值．
19．（12分）在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2a sin B＝b．（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若a＝6，b+c＝8，求△ABC的面积．
20．（12分）{a n}为等差数列，公差d＞0，S n是数列{an}前n项和，已知a1a4＝27，S4＝24．（1）求数列{a n}的通项公式a n；
（2）令，求数列{b n}的前n项和T n．
21．（12分）△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD面积是△ADC面积的2倍．
（1）求；
（2）若AD＝1，DC＝，求BD和AC的长．22．（12分）设数列{a n}满足a1＝1，a n+1＝2a n+1
（1）求{a n}的通项公式；
（2）记b n＝log2（a n+1），求数列{b n•a n}的前n项和为S n．
2018-2019学年内蒙古包头九中高一（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每题5分，共计60分）
1．【解答】解：选项A，取a＝﹣1，b＝﹣2，显然满足a＞b，但不满足a2＞b2，故错误；
选项B，取a＝﹣1，b＝﹣2，显然满足|a|＞b，但不满足a2＞b2，故错误；
选项D，取a＝﹣1，b＝1，显然满足a≠|b|，但a2＝b2，故错误；
选项C，由a＞|b|和不等式的性质，平方可得a2＞b2，故正确．
故选：C．
2．【解答】解：∵{a n}为等差数列，
∴a2、a5、a8成等差数列，
∴a2+a8＝2a5，又a2+a8＝16，
∴a5＝8，又a4＝6，
∴d＝a5﹣a4＝8﹣6＝2．
故选：A．
3．【解答】解：∵在△ABC中，A＝60°，C＝45°，c＝，
∴由正弦定理，得：＝，
∴解得a＝．
故选：B．
4．【解答】解：由，
所以．
故选：B．
5．【解答】解：∵t＞0，则函数y＝＝t+﹣4≥2﹣4＝﹣2，当且仅当t＝1时取等号．
∴函数y＝的最小值为﹣2．
故选：B．
6．【解答】解：根据题意，，则a n+1﹣a n＝＝﹣，则a n＝（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+……+（a2﹣a1）+a1＝+（1﹣）+（﹣）+（﹣）……+（﹣）＝﹣，
故选：A．
7．【解答】解：∵cos C＝，即a2+b2﹣c2＝2ab cos C，S＝ab sin C，且S＝（a2+b2﹣c2），
∴ab sin C＝ab cos C，即tan C＝1，
∵C为三角形的内角，
∴C＝45°．
故选：B．
8．【解答】解：数列{a n}的前n项和对n＝1也成立，故把n＝1代入，结果应为3，只有答案C符合．
故选：C．
9．【解答】解：∵在△ABC中，＝＝，
则由正弦定理可得：＝＝，
即sin B＝cos B，sin C＝cos C，
∴B＝C＝45°，
∴A＝90°，
故△ABC为等腰直角三角形，
故选：A．
10．【解答】解：根据题意，数列{a n}满足，变形可得＝+2，则有﹣＝2，
则数列{}是首项为＝1，公差为2的等差数列，
则＝+99×2＝199，
则a100＝，
故选：D．
11．【解答】解：∵不等式x2≥m+4x，x∈[0，1]恒成立，
∴只需m≤（x2﹣4x）min，x∈[0，1]
∵函数f（x）＝x2﹣4x＝（x﹣2）2﹣4，x∈[0，1]，
∴f（x）min＝f（1）＝﹣3，
∴m≤﹣3，
故选：D．
12．【解答】解：如图所示，延长BA，CD交于点E，则：
在△ADE中，∠DAE＝105°，∠ADE＝45°，∠E＝30°，
设，
结合BC＝2可得：，∴，而：，
故AB的取值范围是．
故选：D．
二、填空题（每题5分，共计20分）
13．【解答】解：∵不等式ax2+bx+1＞0的解集为{x|﹣1＜x＜}，∴a＜0，
∴原不等式等价于﹣ax2﹣bx﹣1＜0，
由根与系数的关系，得﹣1+＝﹣，﹣1×3＝，
∴a＝﹣3，b＝﹣2，
∴ab＝6．
故答案为：6．
14．【解答】解：由∠A＝60°，得到sin A＝，cos A＝，
又b＝1，S△ABC＝，
∴bc sin A＝×1×c×＝，
解得c＝4，
根据余弦定理得：a2＝b2+c2﹣2bc cos A＝1+16﹣4＝13，
解得a＝，
根据正弦定理＝＝＝＝，
则＝．
故答案为：
15．【解答】解：令α+β＝1，则α＝1﹣β
f（α）+f（β）＝+＝+＝+＝1即两自变量的和为1时，函数值的和也是1
∴＝5
故答案为5
16．【解答】解：∵a n+1＝S n S n+1，∴S n+1﹣S n＝S n S n+1，
∴＝﹣1，
∴数列是等差数列，首项为﹣1，公差为﹣1．
∴＝﹣1﹣（n﹣1）＝﹣n，
解得S n＝﹣．
故答案为：．
三、解答题（17题10分，18-22每题12分，共计70分，）
17．【解答】解：（1）由题意，可将不等式化为同解不等式：
⇔⇔⇔⇔（x+2）（x﹣3）＜0，解得：﹣2＜x＜3．
∴原不等式解集为：{x|﹣2＜x＜3}．
（2）由题意，可知：
（x+4）（x+5）2（x﹣2）5＞0．
画图如下：
∴原不等式解集为：（﹣∞，﹣5）∪（﹣5，﹣4）∪（2，+∞）．
18．【解答】解：（Ⅰ）∵，
∴，…（2分）
∴，∴q＝2，…（4分）
∵a3＝4，∴a1＝1．…（6分）
（Ⅱ）由，得，…（8分）
∴2n﹣1＝210﹣1
∴2n＝210…（10分）
∴n＝10．…（12分）
19．【解答】解：（Ⅰ）由2a sin B＝b，利用正弦定理得：2sin A sin B＝sin B，∵sin B≠0，∴sin A＝，
又A为锐角，
则A＝；
（Ⅱ）由余弦定理得：a2＝b2+c2﹣2bc•cos A，即36＝b2+c2﹣bc＝（b+c）2﹣3bc＝64﹣
3bc，
∴bc＝，又sin A＝，
则S△ABC＝bc sin A＝．
20．【解答】解：（1），∴a1+a4＝12又a1a4＝27，d＞0，∴a1＝3，a4＝9，
∴9＝3+3d，解得d＝2，
∴a n＝2n+1．
（2），
＝．
21．【解答】解：（1）如图，过A作AE⊥BC于E，
∵＝＝2
∴BD＝2DC，
∵AD平分∠BAC
∴∠BAD＝∠DAC
在△ABD中，＝，∴sin∠B＝
在△ADC中，＝，∴sin∠C＝；
∴＝＝．…6分
（2）由（1）知，BD＝2DC＝2×＝．
过D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，
∵AD平分∠BAC，
∴DM＝DN，
∴＝＝2，
∴AB＝2AC，
令AC＝x，则AB＝2x，
∵∠BAD＝∠DAC，
∴cos∠BAD＝cos∠DAC，
∴由余弦定理可得：＝，∴x＝1，
∴AC＝1，
∴BD的长为，AC的长为1．
22．【解答】解：（1）∵a n+1＝2a n+1，
∴（a n+1+1）＝2（a n+1）
∵a1+1＝2≠0，∴a n+1≠0，
∴，
∴{a n+1}是以2为公比、2为首项的等比数列，
∴，
∴；
（2）∵，
∴，
∴，
记A＝1×21+2×22+…+n•2n，
∴2A＝1×22+…+（n﹣1）•2n+n•2n+1，
∴﹣A＝A﹣2A
＝2+22+…+2n﹣n•2n+1
＝﹣n•2n+1
＝（1﹣n）•2n+1﹣2，
∴A＝（n﹣1）•2n+1+2，
故．。