2021高考数学冲刺易错点 数列

2021高考数学冲刺易错点数列
2021高考数学冲刺易错点-数列
2021年高考数学备考冲刺之易错点点睛系列
三数列教师版
一、高考预测
数列就是历年中考的重点与难点，以等差数列与等比数列为基础考查数列的性质及前
n项和的问题就是数列中的中低档难度问题，通常只要熟识等差数列与等比数列及其前n
项和的性质即可恰当得出结论结果.等差数列与等比数列就是高中阶段自学的两种最基本
的数列，也就是中考中经常考查并且重点考查的内容之一，这类问题多从数列的本质抓起，考查这两种基本数列的概念、基本性质、直观运算、通项公式、议和公式等．本谈内容在
中考中多以选择题和填空题的形式发生，属中低档题．解题时需从基础处着笔，首先必须
熟练掌握这两种基本数列的有关性质及公式，然后必须熟识它们的变形采用，借助技巧，
增加运算量，既科东俄又慢地解决问题.除此以外，数列与其他科学知识的综合考查也就
是中考中常考的内容，数列就是一种特定的函数，它能够与很多科学知识展开综合，例如
方程、函数、不等式、音速，数学归纳法（理）为主要综合对象，概率、向量、解析几何
为装饰.数列与其他科学知识的综合问题在中考中大多属中高档难度问题.
数列是新课程的必修内容，从课程定位上说，其考查难度不应该太大，数列试题倾向
考查基础是基本方向．从课标区的高考试题看，试卷中的数列试题最多是一道选择题或者
填空题，一道解答题．由此我们可以预测2021年的高考中，数列试题会以考查基本问题
为主，在数列的解答题中可能会出现与不等式的综合、与函数导数的综合等，但难度会得
到控制．二、知识导学
要点1：有关等差数列的基本问题
1．涉及等差数列的有关问题往往用等差数列的通项公式和求和公式“知三求二”解
决问题；
2．等差数列前n项和的最值问题，经常转变为二次函数的最值问题；有时利用数列
的单调性（d＞0,递减；d＜0，递增）；
3．证明数列{an}为等差数列有如下方法：①定义法；证明an?1?an?d（与n值无关的常数）；②等差中项法：证明2an?an?1?an?1(n?2,n?n)。

要点2：有关等比数列的基本问
题
1证明数列{an}为等比数列存有如下方法：①定义法：证明
2??an?1an?q(与n值无关的非零常数)。

②等比中项法：an?an?1?an?1(n?2,n?n)。

2求一般数列{an}通项公式时常用构造数列法、待定系数法等。

要点向3：等差、等
比数列综合问题
1.在化解等差数列或等比数列的有关问题时，“基本量法”就是常用的方法，但有时
有效率地运用性质，可以并使运算方便快捷，而通常数列的问题常转变为等差、等比数列解。

2．数列求通项的常见类型与方法：公式法、由递推公式求通项，由sn求通项，累加法、累乘法等
3.数列议和的常用方法：公式法、裂项二者消法、错位二者加法、分组法、倒序相乘
法等。

4．求解综合题的胜败是审清题目，搞清楚来龙去脉，借由取值信息的表象，把握
住问题的本质，阐明问题的内在联系和暗含条件，明晰解题方向，构成解题策略．要点4：可以转变为等差、等比数列的议和问题
某些递推数列可转化为等差、等比数列解决，其转化途径有：
1．凑配、消项转换――例如将关系式公式an?1?pan?q（p、q为常数，q≠0，p≠1）。

通过凑配变为an?1?qp?1?p(an?qp?1)；或消常数转变为an?1?an?p(an?an?1)
2．取倒数法―如将递推公式an?1an1an?1km1anman?1k(an?1?b)递推式，考虑函数倒
数关系有
1an?k(1an?1?1m)
k令bn?则?bn?可归为an?1?pan?q型。

3．对数变换――例如将关系式公式an?1?canp(an?0,c?0,p?0,p?1)挑对数得
lgan?1?lgc?plgan
n4．换元变换――an?1?pan?q（其中p，q均为常数，(pq(p?1)(q?1)?0)（或
an?1?pan?rq,其中p，q,r均为常数）。

通常地，必须先在原关系式公式两边同除以qnn?1，得：
an?1qn?1?apan1p1），得：则转化为?n?引入辅助数列?bn?（其中
bn?nb?b?n?1nnqqqqqqbn?1?aan?b的形式。

要点5：数列议和的常用方法：
1、直接由等差、等比数列的求和公式求和，注意对公比q?1的讨论.
2、错位二者加法：主要用作一个等差数列与一个等比数列对应项相加税金的数列的
议和，即为等
比数列求和公式的推导过程的推广.
3、分组转变法：把数列的每一项分为两项，并使其转变为几个等高、等比数列，再解.
4、裂项二者消法：主要用作通项为分式的形式，通项切割成两项之差议和，差值项相长剩首尾若干项，特别注意通常情况下剩差值项个数相同.
5、倒序相加法：把数列正着写和倒着写相加(即等差数列求和公式的推导过程的推广).三、易错点点睛
命题角度1数列的概念1．未知数列｛an｝满足用户a1=1,an=a1+2a2+3a3+?+(n-
1)an-1,(n≥2)，则｛an｝的通项an=_________.
[考场错解]∵an=a1+2a2+3a3+?+(n-1)an-1，∴an-1=a1+2a2+3a3+?+(n-2)an-2，两式相减得an-an-1=(n-1)an-1，∴an=nan-1.由此类推：an-1=(n-1)an-2，?a2=2a1，由叠乘法可得an=
n!2
[专家把脉]在求数列的通项公式时向前递推一项时应考虑n的范围．当n=1时，a1=
与
21未知a1=1，矛盾．
[对症下药]∵n≥2时，an=a1+2a2+3a3+?+(n-1)an-1①当n≥3时，an-1=a1+2a2+3a3+?
+(n-2)an-2②①-②得an-an-1=(n-1)an-1∴当n≥3时，an=
anan?1anan?1=n，∵
an?1an?2．．．
a4a3?a3a2?a2=n?43×a2=
1n!an=2n!2a2，∵a2=a1=1
(n?1)(n?2).∴当n≥2时，an=
n!2.当n=1时，a1=1故
2．设立数列｛an｝的前n项和为sn,sn=________.[考场羽蛛属]∵sn=a4=a134-1，
∴a1=2．
a1(3?1)2na1(3?1)2n(对于所有n≥1)，且a4=54，则a1的数值就是
=
a1(1?3)1?3n,∴此数列就是等比数列，首项就是a1，公比就是3，由
[专家把脉]此题不知数列｛an｝的类型，并不能套用等比数列的公式．而答案一致是
巧合．
[对症下药]∵a4=s4-s3=
a12(34-1)-
a12(33-1)=54，Champsaura1=2．
3.已知数列｛an｝满足a1=1，an=3n-1+an-1(n≥2)(1)求a2，a3；(2)求通项an的表
达式．[考场错解](1)∵a1=1，∴a2=3+1=4，a3=32+4=13．
(2)由未知an=3n-1+an-1，即an-an-1=3n-1即an成等差数列，公差d=3n-1．故
an=1+(n-1)3n-1．[专家把脉](2)反问中an-an-1=3n-1，3n-1不是常数，它就是一个变量，故不合乎等差数列的定义．
2
[对症下药](1)∵a1=1，∴a2=4，a3=3+4=13．
(2)由已知an-an-1=3，故an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+?+(a2-a1)+a1=3+3+?+3+1=
n-1
n-1
n-2
3?12n.
4．等差数列｛an｝中，a1+a2+a3=-24，a18+a19+a20=78，则此数列前20项和等同于()a.160b．180c.200d．220
[考场错解]由通项公式an=a1+(n+1)d.将a2,a3，a18，a19，a20都表示成a1和d.求
a1、d，再利用等差数列求和，选c．
[专家把脉]此方法同样可以求出求解．但数学分析小疲，花费时间多，排序量小故而
失效，应当运用数列的性质解就轻便得多．
[对症下药]b由公式m+n=2p?am+an=2ap?(只适用等差数列)即可求解．由a1+a2+a3=-24，可得：3a2=-24由a18+a19+a20=78，可得：3a19=78即a2=-8，a19=26又∵s20=
20(a1?a20)2=10(a2+a19)=180
2．若｛an｝是等差数列，首项a1＞0，a2021+a2021>0，a2021a2021＜0，则使前n项和sn>0成立的最大自然数n是()
a.4005b．4006c.4007d.4008
[考场错解]∵a2021+a2021>0，即2a1+2002d+2021d>0，(a1+2002d)(a1+2021d)<0，要使sn>0．即使na1+
n(n?1)2d＞0．这样很难求出来a1，d.从而谋出来最小的自然数n.故而推论a2021>0，a2021<0，
所以前2021项为正，从第2021项起为负，由等差数列的n项和的对称性使sn＞
0．故而取n=4005使sn>0．
[专家把脉]此题运用等差数列前n项的性质及图象中应当特别注意．a2021>0，
a2021<0．且忽略了这两项的大小．
[对症下药]b∵a1>0，a2021+a2021>0，a2021a2021＜0，且｛an｝为等差数列∴{an}
表示首项为正数，公差为负数的单调递减等差数列，且a2021是绝对值最小的正数，
a2021是绝对值最大的负数(第一个负数)，且|a2021|＞|a2021|∴在等差数列｛an｝中，
a2021+a2021=a1+a4006>0，s4006=
4006(a1?a4006)2＞0∴并使sn＞0设立的最小自然数n就是4006．
323．设无穷等差数列｛an｝的前n项和为sn.(ⅰ)若首项a1=，公差d=1，求满足
sk2=(sk)2
的正整数k;
(ⅱ)求所有的无穷等差数列｛an｝；使得对于一切正整数中k都有sk2=(sk)2成立．[考场错解](1)当a1=,d=1时，sn=n+n，由sk2=(sk)得k+k
2223122
142
12?=??k?k??2?2，即k=0或
k=4．
∴k≠0．故k=4．
(ⅱ)由对一切正整数k都有sk2=(sk)2成立．即ka1+
k(k22?1)2d=(ka1+
k(k?1)2d)
2
即为(a1-a12)k2-adk2(k-1)+
d2k2(k2-1)-
d24k2(k-1)2=0对―乌正整数k
aa20,11恒成立故?a1d?0,?d?0??求
得a1=0或1，d=0∴等差数列an=｛0,0,0,?｝，或an=｛1，1，1，?｝．
[专家把脉](ⅱ)中解法定对一切正整数k都成立．而不是一切实数．故而考虑取k的特值也均设立．
[对症下药](ⅰ)当a1=,d=1时，sn=na1+
2123n(n?1)2d?32n?n(n?1)2?12n?n.2由sk2=(sk)2,得
k+k=(k+k)，即k
242
122
3(14k?1)=0.又k≠0，所以k=4．
(ⅱ)设数列｛an｝的公差为d，则在sk2=(sk)2中分别取k=1,2,得
aa2,(1)21s1(s1),1即??4?32?1224a?d?(2a?d).(2)?s?(s).?112?422?
由（1）得a1=0或a1=1.当a1=0时，代入（2）得d=0或d=6.若a1=0,d=0,则
an=0,sn=0,
从而sk2=(sk)2设立；若a1=0,d=6,则an=6(n-1),由s3=18，（s3）2=324,s9=216言
s9≠(s3)2，故税金数列不合乎题意.当a1=1时,代入(2)得4+6b=(2+d)Champsaurd=0或
d=2.若a1=1,d=0,则an=1,sn=n,从而sk2=(sk)2设立；若a1=1,d=2,则an=2n-
1,sn=1+3+?+（2n-1）=n2,从而sk2=(sk)2设立.综上,共计3个满足条件的无穷等差数
列:①{an}：an=0,即0，0，0，?；②{an}:an=1,即1，1，1，?；③{an}:an=2n-1,即1，3，5，?.
4.未知数列{an}的各项都就是正数,且满足用户:a0=1,an+1=an(4-an),n?n.(1)证明an ＜an+1＜
212,n∈n.(2)求数列{an}的通项公式an.
[考场羽蛛属]用数学归纳法证明：（1）1°当n=1时，a0=1,a1=a0（4-a0）=,∴a0＜a1
2213＜2,命题正确.
2°假设n=k时存有ak-1＜ak＜2.则n=k+1时，ak-ak+1=ak-1(4-ak-1)-ak(4-ak)
2211=2(ak-1-ak)-(ak-1-ak)(ak-1+ak)=(ak-1-ak)(4-ak-1-ak).而ak-1-ak＜0.4-ak-1-ak＞0,∴ak-ak-1
2211＜0.又ak-1=ak(4-ak)=[4-(ak-2)]＜2.∴n=k+1时命题恰当.由1°、2°知对一切n∈n
22112
时存有an＜an+1＜2.
(2)an+1=an(4-an)=[-(an-2)2+4].∴2(an+1-2)=-(an-2)2∴an+1-2=(an-2)2令
bn=an-2,∴
222111bn=-()
211+2+?+2n-1
b12n又∵b1=a1-2=-.∴bn=-()
22112n+2n-1
.即an=2-()
212n+2n-1
.
[专家把脉]在（ⅱ）问中求bn的通项时，运用叠代法.最后到b0而不是b1.
[对症下药]（ⅰ）同上，方法二：用数学归纳法证明：1°当n=1时，a0=1,a1=a0(4-a0)=,
2213∴0＜a0＜a1＜2;2°假设n=k时有ak-1＜ak＜2成立，令f(x)=x(4-x),f(x)在[0，2]上
21单调递减，所以由假设存有：f(ak-1)＜f(ak)＜f(2),即ak-1(4-ak-1)＜ak(4-
ak)×2(4-2),
222111也即当x=k+1时ak＜ak+1＜2成立，所以对一切n∈n,有ak＜ak+1＜2(2)下面来求数列的通项：an+1=an(4-an)=
2112[-(an-2)2+4],所以2（an+1-2）=-(an-2)2令
12
bn=an-2,则bn=-1122bn?1=-(-211122bn?2)=-()
222
1bn?122?=-（）1+2+?+2n-1b2n，又bn=-1,所以
21bn=-()2n-1,即an=2+bn=2-()2n-1
22专家诊治1.必须擅于运用等差数列的性质：“若m+n=p+q,则am+an=ap+aq”；等
差数列前n项和合乎二次函数特征.利用二次函数性质展开数形结合法求解等差数列问
题.2.可以运用通常与特定的逻辑思维,利用满足条件的特值谋有关参数的值,学会分析问
题和解决问题.命题角度3等比数列
1．数列{an}的前n项和记为sn,已知a1=1,aa+1=等比数列；(ⅱ)sn+1=4an.
[考场羽蛛属](ⅰ)未知a1=1,an+1=s3=1+3+8=12.即
s11?1,s22?2,s33?4n?2nsnn?2nsnsnn(n=1,2,3?).证明:(ⅰ)数列{}是
,∴a2=3s1=3,∴s2=4a3=
42s2=2×4=8.∴
.故{
snn}是公比为2的等比数列.。