第二节 不等式证明的基本方法

[变式训练]
已知 a＞b＞c，且 a＋b＋c＝0，求证： b2－ac＜ 3a.

考点 2 综合法证明不等式(讲练互动) 【例 1】 (2017·全国卷Ⅱ)已知实数 a>0，b>0，且 a3＋b3＝2.证明： (1)(a＋b)(a5＋b5)≥4； (2)a＋b≤2. 证明：(1)因为 a＞0，b＞0，且 a3＋b3＝2. 则 (a＋ b)(a5 ＋ b5) ＝ a6＋ ab5 ＋ a5b＋ b6 ＝ (a3＋ b3)2 － 2a3b3＋ab(a4＋b4)＝4＋ab(a4－2a2b2＋b4)＝4＋ab(a2－b2)2 ≥4.

【例 2】 (2016·全国卷Ⅱ)已知函数 f(x)＝x－12＋ x＋12，M 为不等式 f(x)＜2 的解集．
(1)求 M； (2)证明：当 a，b∈M 时，|a＋b|＜|1＋ab|.
－2x，x≤－12， (1)解：f(x)＝1，－12＜x＜12，

因为 a≥b＞0，所以 a－b≥0，a＋b＞0，2a＋b＞0， 从而(a－b)(a＋b)(2a＋b)≥0，故 2a3－b3≥2ab2－a2b， 即 M≥N. 答案：(1)A (2)M≥N

3．典题体验
(1)已知 a，b∈R，则使不等式|a＋b|<|a|＋|b|一定成

(2)综合法与分析法． ①综合法：从已知条件出发，利用定义、公理、定理、 性质等，经过一系列的_推__理__论__证__而得出命题成立．综合 法又叫顺推证法或由因导果法． ②分析法：从待证不等式出发，逐步寻求使它成立的 _充__分__条__件__，直到将待征不等式归结为一个已成立的不等 式(已知条件、定理等)．这种证法称为分析法，即“执果 索因”的证明方法．

(2)证明：由(1)知，当 a，b∈M 时，－1＜a＜1，－1 ＜b＜1，从而(a＋b)2－(1＋ab)2＝a2＋b2－a2b2－1＝(a2－ 1)(1－b2)＜0，
所以(a＋b)2＜(1＋ab)2，因此|a＋b|＜|1＋ab|.

比较法证明不等式的方法与步骤 1．作差比较法：作差、变形、判号、下结论． 2．作商比较法：作商、变形、判断、下结论． 提醒：(1)当被证的不等式两端是多项式、分式或对 数式时，一般使用作差比较法． (2)当被证的不等式两边含有幂式或指数式或乘积式 时，一般使用作商比较法．

(2)因为(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3＝2＋3ab(a＋b) ≤2＋3（a＋4 b）2(a＋b)＝2＋3（a＋4 b）3，
所以(a＋b)3≤8，因此 a＋b≤2.

【例 2】 (2019·湖南雅礼中学检测)已知 a，b，c 为
正数，函数 f(x)＝|x＋1|＋|x－5|.

解析：(1)x－y＝a＋1a－b＋1b＝a－b＋b－aba ＝（a－b）a（b ab－1）. 由 a＞b＞1 得 ab＞1，a－b＞0， 所以（a－b）a（b ab－1）＞0，即 x－y＞0，所以 x＞y. (2)M－N＝2a3－b3－(2ab2－a2b)＝2a(a2－b2)＋b(a2－ b2)＝(a2－b2)(2a＋b)＝(a－b)(a＋b)(2a＋b)．

1．作差比较法的实质是把两个数或式子的大小判断 问题转化为一个数(或式子)与 0 的大小关系．
2．用分析法证明数学问题时，要注意书写格式的规 范性，常常用“要证(欲证)…”“即要证…”“就要证…” 等．

1．概念思辨 判 断 下 列 说 法 的 正 误 ( 正 确 的 打 “ √ ”， 错 误 的 打 “×”)． (1)比较法最终要判断式子的符号得出结论．( ) (2)综合法是从原因推导到结果的思维方法，它是从 已知条件出发，经过逐步推理，最后达到待证的结 论．( )
或x（≥x5＋，1）＋（x－5）≤10， 解得－3≤x≤－1 或－1<x<5 或 5≤x≤7， 所以不等式 f(x)≤10 的解集为{x|－3≤x≤7}． (2)证明：因为 f(x)＝|x＋1|＋|x－5|≥|(x＋1)－(x－5)| ＝6， 所以 m＝6，即 a＋b＋c＝6. 因为 a2＋b2≥2ab，a2＋c2≥2ac，c2＋b2≥2cb. 所以 2(a2＋b2＋c2)≥2(ab＋ac＋bc)，
(1)(人 A 选修 4－5·习题改编)若 a＞b＞1，x＝a＋1a，
y＝b＋1b，则 x 与 y 的大小关系是(
)
A．x＞y
B．x＜y
C．·P23 习题 2.1T1 改编)已知 a≥b＞ 0，M＝2a3－b3，N＝2ab2－a2b，则 M，N 的大小关系为 ________．
2．在用综合法证明不等式时，不等式的性质和基本 不等式是最常用的．在运用这些性质时，要注意性质成 立的前提条件．

[变式训练] 已知函数 f(x)＝2|x＋1|＋|x－2|. (1)求 f(x)的最小值 m； (2)若 a，b，c 均为正实数，且满足 a＋b＋c＝m，求 证：ba2＋cb2＋ac2≥3. (1)解：当 x＜－1 时，f(x)＝－2(x＋1)－(x－2)＝－3x＞3. 当－1≤x≤2 时，f(x)＝2(x＋1)－(x－2)＝x＋4，此时 3≤f(x)≤6.
2x，x≥12.

当 x≤－12时，由 f(x)＜2 得－2x＜2， 解得 x＞－1，所以－1＜x≤－12； 当－12＜x＜12时，f(x)＜2 恒成立． 当 x≥12时，由 f(x)＜2 得 2x＜2， 解得 x＜1，所以12≤x＜1. 所以 f(x)＜2 的解集 M＝{x|－1＜x＜1}．

所以 3(a2＋b2＋c2)≥a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc＝(a ＋b＋c)2，
所以 a2＋b2＋c2≥12，当且仅当 a＝b＝c＝2 时等号 成立．

1．综合法证明不等式，要着力分析已知与求证之间， 不等式的左右两端之间的差异与联系．合理进行转换， 恰当选择已知不等式，这是证明的关键．
(1)求不等式 f(x)≤10 的解集；
(2)若 f(x)的最小值为 m，且 a＋b＋c＝m，求证：a2
＋b2＋c2≥12. (1)解：f(x)＝|x＋1|＋|x－5|≤10，
等价于x－≤（－x1＋，1）－（x－5）≤10，
或－（1x<＋x1<）5，－（x－5）≤10，

＋|b|，已知不等式|a＋b|<|a|＋|b|，所以 ab<0.
(2)由题意得，a＋b＝1，a＞0，b＞0，
所以1a＋1b＝1a＋1b(a＋b)＝2＋ba＋ab≥2＋2 当且仅当 a＝b＝12时等号成立．
ba·ab＝4.
所以1a＋1b的最小值是 4.
答案：(1)D (2)4


考点 3 分析法证明不等式(讲练互动)
【例】 已知函数 f(x)＝|x＋1|.
(1)求不等式 f(x)＜|2x＋1|－1 的解集 M；
(2)设 a，b∈M，证明：f(ab)＞f(a)－f(－b)． (1)解：①当 x≤－1 时，原不等式可化为－x－1＜－2x
－2，
解得 x＜－1.

(3)分析法又叫逆推证法或执果索因法，是从待证结 论出发，一步一步地寻求结论成立的必要条件，最后达 到题设的已知条件或已被证明的事实．( )
(4)使用反证法时，“反设”不能作为推理的条件应 用．( )
答案：(1)× (2)√ (3)× (4)×

2．教材衍化

当 x＞2 时，f(x)＝2(x＋1)＋(x－2)＝3x＞6. 综上可知 f(x)的最小值 m＝3. (2)证明：a，b，c 均大于 0，且 a＋b＋c＝3. 因 为 (a ＋ b ＋ c) ＋ ba2＋cb2＋ac2 ＝ a＋ba2 ＋ b＋cb2 ＋ c＋ac2≥2 ba2·a＋ cb2·b＋ ac2·c＝2(a＋b＋c)(当且仅 当 a＝b＝c＝1 时取“＝”)． 所以ba2＋cb2＋ac2≥a＋b＋c，故ba2＋cb2＋ac2≥3.
选修4-5 不等式选讲
第二节 不等式证明的基本方法
最新考纲
考情索引
核心素养
2017·全国卷Ⅱ，
了解证明不等式的基 本方法：比较法、综 合法、分析法.
T23 2017·江苏卷，
T21 2016·全国卷Ⅱ，
1.逻辑推理 2.数学运算
T24

1．基本不等式 定理 1：如果 a，b∈R，那么 a2＋b2≥_2_a_b_，当且仅 当_a_＝__b_时，等号成立． 定理 2：如果 a，b＞0，那么a＋2 b≥__a_b_，当且仅当 _a_＝__b_时，等号成立，即两个正数的算术平均不小于(即大 于或等于)它们的几何平均．
②当－1＜x＜－12时，原不等式可化为 x＋1＜－2x－2，
解得 x＜－1，此时原不等式无解．

③当x≥－12时，原不等式可化为x＋1＜2x，解得x＞1.
综上，不等式的解集M＝{x|x＜－1或x＞1}． (2)证明：因为f(a)－f(－b)＝|a＋1|－|－b＋1|≤|a＋1
立的条件是( )
A．a＋b>0
B．a＋b<0
C．ab>0
D．ab<0
(2)已知 a＞0，b＞0 且 ln(a＋b)＝0，则1a＋1b的最小值
是________． (3)(2016·江苏卷)设 a>0，|x－1|<a3，|y－2|<a3，求证：
|2x＋y－4|<a.

解析：(1)因为若 a≥0，b≥0，则|a＋b|＝a＋b＝|a|
(3)证明：因为|x－1|<a3，|y－2|<a3， 所以|2x＋y－4|＝|2(x－1)＋(y－2)|≤2|x－1|＋|y－ 2|<23a＋a3＝a. 故原不等式得证．

考点 1 比较法证明不等式(自主演练)
【例 1】 (2017·江苏卷)已知 a，b，c，d 为实数， 且 a2＋b2＝4，c2＋d2＝16，证明：ac＋bd≤8；
－(－b＋1)|＝|a＋b|.
要证f(ab)＞f(a)－f(－b)，只需证|ab＋1|＞|a＋b|，
即证|ab＋1|2＞|a＋b|2，
即证a2b2＋2ab＋1＞a2＋2ab＋b2，
即证a2b2－a2－b2＋1＞0，即证(a2－1)(b2－1)＞0.
因为a，b∈M，所以a2＞1，b2＞1，所以(a2－1)(b2
－1)＞0成立，所以原不等式成立．

1.当要证的不等式较难发现条件和结论之间的关系 时，可用分析法来寻找证明途径，使用分析法证明的关 键是推理的每一步必须可逆.
2.分析法证明的思路是“执果索因”，其框图表示为： 得到一个明显
Q⇐P1→ P1⇐P2 → P2⇐P3 →…→ 成立的条件

定理 3：如果 a，b，c∈(0，＋∞)，那么a＋3b＋c≥_3__a_b_c_， 当且仅当 a＝b＝c 时，等号成立．
2．不等式的证明 (1)比较法． ①作差法(a，b∈R)：a－b＞0⇔__a_＞__b__；a－b＜0⇔a ＜b；a－b＝0⇔a＝b. ②作商法(a＞0，b＞0)：ab＞1⇔a＞b；ab＜1⇔a＜b；ab＝ 1⇔a＝b.
证明：因为(a2＋b2)(c2＋d2)－(ac＋bd)2＝a2c2＋a2d2 ＋b2c2＋b2d2－(a2c2＋b2d2＋2acbd)＝b2c2＋a2d2－2acbd＝ (bc－ad)2≥0.
所以(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2. 又 a2＋b2＝4，c2＋d2＝16， 因此(ac＋bd)2≤64，从而 ac＋bd≤8.