广东省肇庆市高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入 3.1.1 数系的扩充和复数的概念学案 文 新

3.1.1数系的扩充和复数的概念
一、学习要求
1. 在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求与数学内部矛盾（数的运算规则、方程求根）在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系；
2. 理解复数的基本概念；
3. 了解复数的代数表示法；了解复数集与实数集的关系。

二、先学后讲 1．引入复数的必要性
方程：在实数集无解。

2．复数的有关概念
（1）虚数单位：叫做虚数单位。

21i =-； 41n i i +=， 421n i +=- ， 43n i i +=-， 441n i +=。

（2）复数：形如
（，
）的数叫做复数。

（3）复数的代数形式：
（，
）。

其中
叫做复数的实部；叫做复数
的虚部。

3．复数集
全体复数所成的集合叫做复数集。

记作
，即
4.复数分类
复数（，） 。

常见数集的关系：.
三、问题探究 ■合作探究 例1．实数
取什么值时，复数
是
（1）实数； （2）虚数； （3）纯虚数。

解：（1）当
，即
时，复数
是实数；
（2）当，即时，复数是虚数；
（3）当，即时，复数是纯虚数。

■自主探究
1．实数取什么值时，复数是（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数。

解：（1）当，即或时，复数是实数；
（2）当，即或时，复数是虚数；
（3）当，即时，复数是纯虚数。

四、总结提升
本节课你主要学习了。

五、问题过关
1.若复数（）的实部与虚部互为相反数，则的值为（）。

．．．．
【解析】，∴，∴。

故选．
2.若i a a a a z )23(22
2+-+-+=为纯虚数，则实数a 的值为（ ）。

． ． ．
．或
【解析】∵为纯虚数，∴，
解得。

故选．
3.若复数
（是虚数单位）是实数，则实数（ ）。

．
．
． ．
【解析】∵复数是实数，
∴，∴。

故选．
4.复数
的虚部是（ ）。

． ． ．
．
【解析】根据复数的代数形式“
”及复数的实部、虚部的定义，可知选。

【选修1-2】 第2课 3.1.1数系的扩充和复数的概念
一、学习要求
1. 理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件；
2. 能运用复数的基本概念以及复数相等的充要条件解决有关问题。

二、先学后讲
1．复数相等的充要条件
如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等。

即如果，，，
，那么。

【要点说明】
（1）两个实数可以比较大小，但两个复数如果不全是实数，就不能比较它们的大小；
（2）复数的实部和虚部确定了，这个复数就唯一确定了。

复数的实质是一有序实数对。

由复数相等的定义可知：任何一个复数，都可以由一个有序实数对唯一确定。

（3）处理有关复数概念的问题时，首先要找准复数和实部和虚部（若复数为非标准的代数形式时，则应通过复数的代数运算化为标准形式），然后根据定义解题。

（4）利用复数相等列方程（组）求参数的值时，，，，是前提条件。

三、问题探究
■合作探究
例1．如果，求实数，的值。

解：∵，
∴根据复数相等的充要条件，得
，即，解得，。

四、总结提升
本节课你主要学习了。

五、问题过关
1.若则，。

解：根据复数相等的充要条件，得
，解得，。

2.若（为虚数单位），则实数（）。

．．．．或
解：根据复数相等的充要条件，得
，解得。

故选．
3.已知复数（），试求实数分别为什么值时，分别为：(1) 实数；(2) 虚数；(3) 纯虚数.
解：（1）当，即时，复数是实数；
（2）当，即且时，复数是虚数；
（3）当，即时，复数是纯虚数。