动态平衡分析

1 2.动态平衡分析
一、函数解析法：
原理：物体处于动态平衡状态时，对研究对象的任一状态进行受力分析，列出平衡方程，根据三角函数的变化关系确定相关的力的变化。

例题1：(多选)如图所示，小船用绳索拉向岸边，设船在水中运动时所受水的阻力不变，那么小船在匀速靠岸过程中，下面说法哪些是正确的（）
A. 绳子的拉力F 不断增大
B. 绳子的拉力F 不变
C. 船所受的浮力不断减小
D. 船所受的浮力不断增大
解析：小船共受四个力作用：重力G 、浮力F 浮、水的阻
力f 、绳子拉力F 。

设绳与水平方向的夹角为θ，由于小船是
匀速靠岸，故有平衡方程：
由题意可知：重力G 和水对小船的阻力f 不变，在靠岸过程中θ不断增大，所以F 不断增大，F 浮不断减小。

A 、C 选项正确。

点评：解析法适用于在物体所受力中，有一个力大小方向都变，有一力大小变（或大小方向都变），在变化过程中，且有两个的方向始终保持垂直，其中一个力的大小方向均不变的问题，此时，利用正交分解的方法求出所要找的答案。

针对训练1：如图，将物体Q 缓慢向右移动一点，P 、Q 始终平衡，
物体Q 所受的力中，增大的是( )
A.绳子所给的拉力
B.地面所给的支持力
C.地面所给的摩擦力
D.以上各力均不增大
二、图解法：
原理：在同一图中做出物体在不同平衡状态下的力的矢量图，画出力的平行四边形或平移成矢量三角形，由动态力的平行四边形（或三角形）的各边长度的变化确定力的大小及方向的变化情况。

例题2：如图所示，两根等长的绳子AB 和BC 吊一重物静止，两根绳子与水平方向夹角均为60°.现保持绳子AB 与水平方向的夹角不变，将绳子BC 逐渐缓慢地变化到沿水平方向，在这一过程中，绳子BC 的拉力变化情况是( )
A ．增大
B ．先减小，后增大
C ．减小
D ．先增大，后减小
解析：以F AB 和F BC 为邻边作出平行四边形，合力F B ′=F B 恒定，如图
所示．由图可知，F BC 先减小后增大．B 选项正确。

例题3：一个相框用轻绳对称的悬挂在一个固定在竖直墙面的钉子上（如图3-1所示），不计绳与钉子间摩擦。

如果换用一根较短的轻绳以同样的方式悬挂，问绳子中的张力将怎样变化？
解析：选取相框为研究对象，相框受重力G 和绳的拉力F 作用，由于是同一根绳子，所以两个拉力大小相等。

作出其受力图如图3-2所示，由对称性可知，以两个拉力F 为邻边的平行四边形是菱形。

若换用较短绳子，则两个拉力间的夹角变大，由于G 不变，所以菱形的对角线不变，当两拉力F 夹角变大时，菱形两个邻边变长，所以拉力F 变大。

所以绳中的张力变大。

针对训练2：(多选)如图，小球被轻质绳系着，斜吊着放在光滑劈上，球质量为m ，斜面倾角为θ，在水平向右缓慢推动劈的过程中（）
A ．绳上张力先增大后减小
B ．绳上张力先减小后增大
C ．劈对小球的支持力减小
D ．劈对小球的支持力增大
三、相似三角形法：
物体受三个力（或可等效为三个力）作用，一个力是恒力，其余两个力方向都改变。

正确作出力的三角形后，根据相似三角形对应边成比例求出三角形中力的比例关系，从而达到求未知量的目的。

例题4：一轻杆BO ，其O 端用光滑铰链固定在竖直轻杆AO 上，B 端
挂一重物，且系一细绳，细绳跨过杆顶A 处的光滑小滑轮，用力F 拉住，如图所示。

现将细绳缓慢往左拉，使杆BO 与杆AO 间的夹角θ逐渐减少，则在此过程中，拉力F 及杆BO 所受压力F N 的大小变化情况是( )
A ．F N 先减小，后增大 B.F N 始终不变 C ．F 先减小，后增大 D.F 始终不变
解析：取B 端为研究对象，受到绳子拉力F 、BO 杆的支持力F N 和悬挂
重物的绳子的拉力(大小为G)的作用，将F N 与G 合成，其合力与F 等
大反向，如图所示，力的三角形与几何三角形相似：△AOB ∽△BGC ，
利用相似三角形对应边成比例可得：GC
OB BC AB BG AO ==，即：N
F OB F AB
G AO ==，式中AO 、G 、OB 均不变，AB 逐渐变小，所以可知F N 不变，F 逐渐变小。

B 选项正确。

图3-1 图3-2 θ
针对训练3：如图所示，两球A 、B 用劲度系数为k 1的轻弹簧相连，
球B 用长为L 的细绳悬于O 点，球A 固定在O 点正下方，且点O 、A
之间的距离恰为L ，系统平衡时绳子所受的拉力为F 1.现把A 、B 间
的弹簧换成劲度系数为k 2的轻弹簧，仍使系统平衡，此时绳子所受
的拉力为F2，则F1与F2的大小之间的关系为( )
A ．F 1>F 2
B ．F 1＝F 2
C ．F 1< F 2
D ．无法确定
四、几何极值法：
原理：三角形中一条边a 的大小和方向都确定，另一条边b 只能确定其方向（即a 、b 间的夹角θ确定），欲求第三边c 的最小值，则必有c 垂直于b （垂线距离最短）。

例题5：如图所示，用等长细绳OA 和OB 悬挂着一个重物，保持重
物的位置不变。

现使OB 端沿半径等于绳长的圆周轨迹向C 移动，在这
过程中，OB 绳中的张力T B 的最小值是多少？
解析：O 点在重力G 、OA 和OB 绳的张力T A 和T B 的三个力作用下处
于平衡状态，G 、T A 、T B 组成闭合三角形。

G 的大小、方向已知，T A 方向
与G 的夹角为θ，欲求T B 最小值，则必需T B 垂直于T A ，且T B =T A tan θ=Gsin θ。

点评：几何极值法其适用条件与图解法相同，只不过是在图解法定性变化情况的基础上，几何极值法定量地求出具体极值。

随堂训练：
1.(多选)如图所示，物体m 与斜面体M 一起静止在水平面上。

若将斜面的倾角θ稍微增大一些，且物体m 仍静止在斜面上，则（）
A.斜面体对物体的支持力变小
B.斜面体对物体的摩擦力变大
C.水平面与斜面体间的摩擦力变大
D.水平面对斜面体的支持力不变
2．如图，用细绳将重球悬挂在竖直光滑墙上，当绳伸长时（）
A ．绳的拉力变小，墙对球的弹力变大
B ．绳的拉力变小，墙对球的弹力变小
C ．绳的拉力变大，墙对球的弹力变小
D ．绳的拉力变大，墙对球的弹力变大
3．(多选)有一个直角支架AOB,AO 水平放置，表面粗糙;OB 竖直向下，表面光滑,AO 上套有小环P,OB 上套有小环Q，两环质量均为m，两环间由一根质量可忽略、不可伸长的细绳相连，并在某一位置平衡，如图所示.现将P 环向右移一小段距离，两环再次达到平衡.那么将移动后的平衡状态和原来的平衡状态比较,AO 杆对P 环的支持力N 、摩擦力f 和细绳上的拉力T 的变化情况是（）
A.N 不变,T 变大
B.N 不变,T 变小
C.f 变大
D.f 变小
4.如图所示，两个质量都是m 的小球A 、B 用轻杆连接后斜放在墙上处于平衡状态。

已知竖直墙面光滑，水平地面粗糙，现将A 向下移动一小段距离，两球再次平衡，那么将移动后的平衡状态和原来的平衡状态比较，地面对B 球的支持力N 和轻杆上的压力F 的变化情况是（） A.N 不变，F 变大 B.N 不变，F 变小
C.N 变大，F 变大
D.N 变大，F 变小
5.(多选)如图，电灯用绳子OA 和OB 悬挂于两墙之间，更换水平绳OA 使连结点A 向上移动而保持O 点的位置不变，则A 点向上移动时（）
A ．绳O
B 的拉力逐渐增大
B ．绳OB 的拉力逐渐减小
C ．绳OA 的拉力先增大后减小
D ．绳OA 的拉力先减小后增大 6．如图，轻绳的一端系在质量为m 的物体上，别一端系在一个圆环上，圆环套在粗糙的水平横杆MN 上，现用水平力F 拉绳上一点，使物体处在图中实线位置，然后改变F 的大小，使其缓慢下降到图中虚线位置，圆环仍在原来位置不动，则在这一过程中，水平力F 、环与横杆的摩擦力f 和环对杆的压力N
A ．F 逐渐增大，f 保持不变，N 逐渐增大
B ．F 逐渐增大，f 逐渐增大，N 保持不变
C ．F 逐渐减小，f 逐渐增大，N 逐渐减小
D ．F 逐渐减小，f 逐渐减小，N 保持不变
7．半径为R 的球形物体固定在水平地面上，球心正上方有一光滑的小滑轮，滑轮到球面B 的距离为h ，轻绳的一端系一小球，靠放在半球
上的A 点，另一端绕过定滑轮后用力拉住，使小球静止，如图所示，
现缓慢地拉绳，在使小球由A 到B 的过程中，半球对小球的支持力N 和绳对小球的拉力T 的大小变化的情况是（）
A ．N 变大，T 变小
B ．N 变小，T 变大
C ．N 变小，T 先变小后变大
D ．N 不变，T 变小
参考答案
针对训练1-3：C 、 BD 、B
随堂训练1-7：ABD 、 B 、 AC 、 A 、 BD 、 D 、 D
A O
F
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