第一次月考卷(测试范围：第1-2章)(教师版)24-25学年高二数学期中期末(人教选修一,浙江专用)

2024-2025年高二数学上学期第一次月考卷（测试范围：第1-2章）
一､选择题
1．若直线经过两点(2,)A m -，(,21)B m m --且倾斜角为135°，则m 的值为（ ）A ．2B ．
32
C ．1
D ．32
-
2．以()12-，
）A ．()()2
2
122
x y -+=+B ．()()22
122x y ++-=
C ．()()2
2
12x y -++=D ．()()2
2
12x y ++-=【答案】A
【分析】根据圆的标准方程写出答案
【解析】根据圆的标准方程可写出()()2
2
122x y -+=+，故选：A.
3．“1m =-”是“直线1:210l mx y ++=与直线211
:022
l x my ++=平行”的（ ）A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要
4．在四棱锥P ABCD -中，
底面ABCD 是正方形，E 为PD 的中点，若PA a =,PB b =,PC c =，则用基底{},,a b c 表示向量BE uuu r
为（ ）
A ．111222a b c
®®®
-+B ．111222a b c
®®®
--C ．131222
a b c
®®®
-+D ．113222
a b c
®®®
-+
11112222PB BA BC PB =-++=-uuu r uuu r uuu r uuu
31112222PB PA PC a =-++=-uuu
r uuu r uuu r r 故选：C ．
5．设x ，R y Î，向量(),1,1a x =r ，()1,,1b y =，()3,6,3c =-，且a c ^，//b c ，a b +=r r （ ）
A B ．3
C ．4
D ．【答案】B
r
6．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是上底棱的中点，AB1与平面B1D1EF所成的角的大小是（ ）
A．30°B．45°C．60°D．90°
【点睛】本题考查了直线与平面所成角的求解，其中解答中建立适当的空间直角坐标系，求得平面的法向量，结合向量的夹角公式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题7．已知直线()00x y k k +-=>与圆224x y +=交于不同的两点,A B ，O 是坐标原点，且有
3OA OB AB +³uuu r uuu r uuu r
，则实数k 的取值范围是（ ）
A ．
(
)
3,6
B ．2,6
éëC ．D ．
8．已知向量(),,x y z a a a a =
r
，(),,x y z b b b b =r ，{}
,,i j k r r r 是空间中的一个单位正交基底．规定向量积的行列式计
算：()()()y z y z x x z x y z y x a b a b a b i a b a b j a b a b k ´=-+-+-r
r r r r ,,y z x y x z x
y z y z x y x z x y z i j k
a a a a a a a a a
b b b b b b b b b æö==-ç÷ç÷è
ør r r ，其中行列式计算表示为a b ad bc c d
=-，若向量()2,1,4AB =uuu r ，()3,1,2AC =uuu r ，则AB AC ´=uuu r uuu r
（ ）A ．()4,8,1---B ．()1,4,8--C ．()2,8,1--D ．()
1,4,8---【答案】C
【分析】根据公式，代入坐标计算AB AC ´uuu r uuu r
.
【解析】解：由题意得：()()
()1241(4322)2113282,8,1AB AC i j k i j k ´=´-´+´-´+´-´=-+-=--uuu r uuu r r r
r r r r ，故选：C ．
二、多选题
9．给出下列命题，其中正确的命题是（ ）
A ．若直线l 的方向向量为()1,0,3e =r ，平面a 的法向量为22,0,3n æö
=-ç÷è
ør ，则直线//l a
B ．若对空间中任意一点O ，有111442
OP OA OB OC =++uuu r uuu r uuu r uuu r
，则P 、A 、B 、C 四点共面
C ．两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线
D ．已知向量()9,4,4a =-r ，()1,2,2b =r ，则a r 在b r
上的投影向量为()1,2,2
10．圆22
1:20x y x O +-=和圆222:240O x y x y ++-=的交点为A ，B ，则有（ ）
A ．公共弦A
B 所在直线方程为0x y -=B ．线段AB 中垂线方程为10x y +-=
C ．公共弦AB
D ．P 为圆1O 上一动点，则P 到直线AB 1
11．直线()()231380m x m y m --+++=与两坐标轴围成的三角形OAB 的面积记为()S f m =，则（ ）
A ．S 的最小值是12
B ．对于所有的012S >，方程()0f m S =有4个不等实数解
C ．存在唯一实数m ，使32
S =
D ．()S f m =的值域是()0,¥+
三、填空题
12．经过点A(1,1)且在两条坐标轴上的截距相等的直线方程是 ．
13．如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，1 2.AB AA ==E 、F 分别是BC 、11A C 的中点.设D 是线段11B C 上的
（包括两个端点）动点，当直线BD 与EF BD 的长为 .
则()()310,0,0,,,2,0,1,0,22E F B æö
-ç÷ç÷èø设(0,D 则()31,,2,0,1,222EF BD t æö==+ç÷ç÷èø
uuu r uuu r
，设直线所以214
102cos 4||||5(1)4
t EF BD EF BD t q ++×===
×++uuu r uuu r uuu r uuu r 解得1t =或3723
t =-（舍去）
，所以20BD =uuu r
14．已知正三角形ABC 的边长为1，P 是平面ABC 上一点，若2225PA PB PC ++=，
则PA 的最大值为 ．则310,,,0,22A B C æöæöæ-ç÷ç÷çç÷èøèèø由2225PA PB PC ++=，得四、解答题
15．已知直线1:260l ax y -+=和直线2:10l x y +-=.
(1)若12l l ^时，求a 的值；
(2)当12//l l ，求两直线12,l l 的距离.
16．已知圆()()221:231C x y ++-=与圆()
222:2140R C x y x y m m +--+=Î(1)若20m =，两圆相交于M ，N 两点，求直线MN 的方程；
(2)当m 取何时，两圆外切
【答案】(1)3440
x y +-=(2)34
m =【分析】（1）两圆方程相减可求出直线MN 的方程；
（2）求出两圆的圆心和半径，由两圆相切，可得两圆的圆心距等于两圆半径的和.
【解析】（1）根据题意，圆1C 一般方程为2246120x y x y ++-+=，①，
圆222:214200C x y x y +--+=，②，
①-②可得：6880x y +-=，变形可得3440x y +-=，
即直线MN 的方程是3440x y +-=，
（2）由()()22
1:231C x y ++-=，得圆心1(2,3)C -，半径为1，
由()222:2140R C x y x y m m +--+=Î，得()()221750x y m -+-=-（500m ->），
17．已知在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，2,AD AB PAB =△是等边三角形，平面PAB ^平面ABCD ，,M E 是线段,PA BC 的中点.
(1)求证：直线ME ∥平面PCD ；
(2)求PC 与平面PDE 所成角的正弦值.
所以12MN AD ∥，且12MN =所以MN EC ∥，且MN EC =
不妨设2PA =，则()
()0,0,3,1,4,0,P C ()()(1,4,3,2,2,0,PD DE PC =--=-=uuu r uuu r uuu r 设平面PDE 的一个法向量为(,,x y z m =r
则430220
PD x y z DE x y m m ì×=-+-=ïí×=-=ïîuuu r r uuu r r ，所以z x ì=ïí=ïî令1y =得平面PDE 的一个法向量为m =r 18．已知圆O ：()2220x y r r +=>与圆E ：22220x y x y +--=内切．
(1)直线l ：1y kx =+与圆O 交于M ，N 两点，若7OM ON ×=-uuuu r uuu r ，求k 的值；
(2)过点E 作倾斜角互补的两条直线分别与圆O 相交，所得的弦为AB 和CD ，若AB CD l =，求实数l 的
最大值．
3
【点睛】方法点睛：圆中最值或范围问题的常见解法：
（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；
（2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围．
19．平面直角坐标系中，圆M
经过点)
A，()
0,4
B，()
2,2
C-.
(1)求圆M的标准方程；
(2)设D(0,1)，过点D作直线1l，交圆M于PQ两点，PQ不在y轴上.
①过点D作与直线1l垂直的直线2l，交圆M于EF两点，记四边形EPFQ的面积为S，求S的最大值；
②设直线OP，BQ相交于点N，试证明点N在定直线上，求出该直线方程.
②设()()1122,,,P x y Q x y ，
联立()22241
x y y kx ì+-=ïí=+ïî，消则12122
223,1k x x x x k k -+==++直线OP 的方程为1y y x =
，
【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；（3）求证直线过定点()00,x y ，常利用直线的点斜式方程()00y y k x x -=-或截距式y kx b =+来证明.。