一类作为网络模型的可平面无标度图
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从 而 为复 杂 网络 的进 一 步 研 究 指 明 了方 向． 为 了
１
模 型 的 迭 代 及 其 拓 扑 性 质
１ ． １ 模 型 的迭代 在 本 文 的网络模 型 Ｍ（ ） 中， 用 顶 点刻 画研 究
认识 、 理 解复 杂 网络 ， 学者 们通 过循 环 迭代 的方 法
中 的每个 实体 对象 ， 顶 点 间 的 连边 表 示 实 体 对 象
本文模 型 的建立 亦 采用 当前 比较 热 门的 随时
间循 环 迭代 的增长 方法 ． 不 同于 先前 研究 的 是 ， 网
络 的增 长是通 过 实 施平 行 加 边 运 算 进 行 的 ， 并 且
天体， 小 到人 类 及其 他 动物界 ， 甚 至微 生物 界之 间
存 在 的种种 联 系 时 ， 形 象 生 动 地 提 出 了复 杂 网络
中图分 类 号 ： Ｏ１ ５ ７ ． ５ 文献 标 识码 ： Ａ ｄ ｏ ｉ ： ｌ Ｏ ． ７ ５ １ １ ／ ｄ ｌ ｌ ｇ ｘ ｂ ２ ０ １ ７ ０ ４ ０ １ ６
Ｏ 引 言
为 了认识 自然 、 改造 自然 ， 学 者们 在面 对大 到
构 造 新 的随机 模型 ， 讨论 它 的拓扑 性 质．
摘要 ：无标度特性普遍存在于大量的实际网络和人造网络中． 为 了更好地研究这类无标度
网络 模 型 的 拓 扑 性 质 和 内在 动 力 学 ， 大量的模型被建 立， 如 随 机 网络 模 型 和 确 定 性 网络 模 型．
鉴 于 以往 确 定 性模 型 中 的无 标 度 指 数 都 是 唯 一 不 变 的 常 数 ， 定 义 了一 类 具 有 广 义 自相 似 性 的
文章编号 ： １ ０ ０ ０ － ８ ６ ０ ８ （ ２ ０ １ ７ ） ０ ４ — ０ ４ ３ ６ — ０ ５
一
类作 为 网络模 型 的 可平 面无 标 度 图
马 飞 ， 匕 兵
（西 北 师 范大 学 数 学 与 统 计 学 院 ，甘 肃 兰 州 ７ ３ ０ ０ ７ ０）
增长 网络模型 ， 分 析 了 它 的 一 些拓 扑 性 质 ： 平均度、 聚集系数、 直径 、 度分布、 最 多叶子生成树．
得 出该 模 型 具 有 无 标 度 特 性 和 小 世 界 效 应 ， 并 且 可 以 通过 调 整 相 应 的 参 数 来 获 得 丰 富 的无 标
度指数．
关 键词 ：无标 度 图； 网络模 型 ； 小世 界效 应
提到， 所 有 的无 标 度 网络都 是稀 疏 的 ， 并 且在 幂率
分 布式 Ｐ （ 忌 ） ～ 一 ｒ 中
［ ０ ， ２ ］ ， 然 而 本 文 中 的 ｅ Ｅ ｏ ， ２ ］ ，
模型 Ｍ（ ） 具有 无标 度特 性 ， 但ｙ 一
Ｂ ａ ｒ ａ ｂ ｉ ｆ ｓ ｉ 等嘲 同样类 似 地认 为无 标 度 网络 的幂 率
对 真实 网络进行 了海量 的研究 之后 ， 学者 们不
数） ， 这样使 得文 中的模 型更具有 一般性 ， 拓 扑结 构
更加 丰富多样． 此外 ， 新建立 的模 型是 可平面 的． 模 型的可平面性 有很多方 面的应用 与研究 ， 平面 结构 不仅是 印刷 电路 中的结构 ， 它在数 学 中也有较 多 的 研究， 如著名 的平 面 图的 四色 问题． 在文 献 Ｃ ｌ ｌ Ｊ 中
这一概 念 ， 随之 产 生 了大 量 的 复杂 网络 模 型．
引 入 另 一 个 增 长 参 数 ｄ（ 时间 ｔ 是 一 个 增 长 参
Ｗａ ｔ ｔ ｓ等口 提 出 了 小 世 界 网 络 模 型 ， Ｂ ａ ｒ ａ ｂ ｉ ｆ ｓ ｉ 等 。 首 次提 出 了无 标 度 网 络模 型． 在 此 之后 的 十 几年， 学 术界 对 复杂 网络 的研 究热 潮不 衰 反增 ， 吸 引 了众 多学 者 的不 断涌 人 ， 使 得 复 杂 网络 的研 究 不论 纵 向 深 入 还 是 横 向拓 展 都 取 得 了 丰硕 的 成 果。 现今 复 杂 网络研 究 涵盖 了诸 多学科 领 域 ， 如物 理、 数学、 计 算 机科 学 、 化学 、 生物 学 、 经济 学等 ， 在 研 究 各领 域 中不 同 的研究 对 象 时 ， 产 生 了 大量 的 网络 模 型 ， 如 物 联 网、 地震网、 食 物链 网 、 电力 网 、 细胞 新 陈代谢 网 、 神 经信 号传 送 网 、 股市 等Ｄ 。 ．
第５ ７ 卷第４ 期
２ ０１ ７年 ７ 月
大 连 理 工 大 学 学 报
Ｊ ｏ ｕ ｒ ｎ ａ ｌ ｏ ｆ Ｄａ ｌ ｉ ａ ｎ Ｕｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ ｏ ｆ Ｔｅ ｃ ｈ ｎ ｏ ｌ ｏ ｇ ｙ
Ｖ０ １ ． ５ ７， Ｎ ｏ ． ４
Ｊ ｕ ｌ ｙ ２ ０ １ ７
收 稿 日期 ： ２ ０ １ ６ － ０ ９ — ２ ８ ； 修 回 日期 ： ２ ０ 学 基 金 资 助 项 目（ ６ １ １ ６ ３ ０ ５ ４ ， ６ １ ６ ６ ２ ０ ６ ６ ， ６ １ ３ ６ ３ ０ ６ ０ ） ． 作 者 简 介 ：马 飞 （ １ ９ ９ ２ 一 ） ， 男， 硕士生 ， Ｅ — ｍａ ｉ ｌ ： ｍａ ｆ ｅ ｉ １ ２ ３ ９ ８ ７ ＠１ ６ ３ ． ｃ ｏ ｎ； ｒ 姚 兵 ’ （ １ ９ ５ ６ 一 ） ， 男， 教授 ， Ｅ — ｍａ ｉ ｌ ： ｙ ｙ ｂ ｂ ９ １ ８ ＠１ ６ ３ ． ｃ ｏ ｍ．
指数 ｙ ∈Ｅ ２ ， ３ １ ， 本 文认 为可 以拓 展 无 标 度 的数 学
定义 ．
约而 同地 阐释了众 多 网 络具 有 的拓 扑共性 ： （ １ ） 小 的直径 和平 均 距离 ； （ ２ ） 高 的聚 集系数 ； （ ３ ） 服 从幂 率分布（ 无 标 度性 ） ； （ ４ ） 自相 似性 ； （ ５ ） 层次结构．
１
模 型 的 迭 代 及 其 拓 扑 性 质
１ ． １ 模 型 的迭代 在 本 文 的网络模 型 Ｍ（ ） 中， 用 顶 点刻 画研 究
认识 、 理 解复 杂 网络 ， 学者 们通 过循 环 迭代 的方 法
中 的每个 实体 对象 ， 顶 点 间 的 连边 表 示 实 体 对 象
本文模 型 的建立 亦 采用 当前 比较 热 门的 随时
间循 环 迭代 的增长 方法 ． 不 同于 先前 研究 的 是 ， 网
络 的增 长是通 过 实 施平 行 加 边 运 算 进 行 的 ， 并 且
天体， 小 到人 类 及其 他 动物界 ， 甚 至微 生物 界之 间
存 在 的种种 联 系 时 ， 形 象 生 动 地 提 出 了复 杂 网络
中图分 类 号 ： Ｏ１ ５ ７ ． ５ 文献 标 识码 ： Ａ ｄ ｏ ｉ ： ｌ Ｏ ． ７ ５ １ １ ／ ｄ ｌ ｌ ｇ ｘ ｂ ２ ０ １ ７ ０ ４ ０ １ ６
Ｏ 引 言
为 了认识 自然 、 改造 自然 ， 学 者们 在面 对大 到
构 造 新 的随机 模型 ， 讨论 它 的拓扑 性 质．
摘要 ：无标度特性普遍存在于大量的实际网络和人造网络中． 为 了更好地研究这类无标度
网络 模 型 的 拓 扑 性 质 和 内在 动 力 学 ， 大量的模型被建 立， 如 随 机 网络 模 型 和 确 定 性 网络 模 型．
鉴 于 以往 确 定 性模 型 中 的无 标 度 指 数 都 是 唯 一 不 变 的 常 数 ， 定 义 了一 类 具 有 广 义 自相 似 性 的
文章编号 ： １ ０ ０ ０ － ８ ６ ０ ８ （ ２ ０ １ ７ ） ０ ４ — ０ ４ ３ ６ — ０ ５
一
类作 为 网络模 型 的 可平 面无 标 度 图
马 飞 ， 匕 兵
（西 北 师 范大 学 数 学 与 统 计 学 院 ，甘 肃 兰 州 ７ ３ ０ ０ ７ ０）
增长 网络模型 ， 分 析 了 它 的 一 些拓 扑 性 质 ： 平均度、 聚集系数、 直径 、 度分布、 最 多叶子生成树．
得 出该 模 型 具 有 无 标 度 特 性 和 小 世 界 效 应 ， 并 且 可 以 通过 调 整 相 应 的 参 数 来 获 得 丰 富 的无 标
度指数．
关 键词 ：无标 度 图； 网络模 型 ； 小世 界效 应
提到， 所 有 的无 标 度 网络都 是稀 疏 的 ， 并 且在 幂率
分 布式 Ｐ （ 忌 ） ～ 一 ｒ 中
［ ０ ， ２ ］ ， 然 而 本 文 中 的 ｅ Ｅ ｏ ， ２ ］ ，
模型 Ｍ（ ） 具有 无标 度特 性 ， 但ｙ 一
Ｂ ａ ｒ ａ ｂ ｉ ｆ ｓ ｉ 等嘲 同样类 似 地认 为无 标 度 网络 的幂 率
对 真实 网络进行 了海量 的研究 之后 ， 学者 们不
数） ， 这样使 得文 中的模 型更具有 一般性 ， 拓 扑结 构
更加 丰富多样． 此外 ， 新建立 的模 型是 可平面 的． 模 型的可平面性 有很多方 面的应用 与研究 ， 平面 结构 不仅是 印刷 电路 中的结构 ， 它在数 学 中也有较 多 的 研究， 如著名 的平 面 图的 四色 问题． 在文 献 Ｃ ｌ ｌ Ｊ 中
这一概 念 ， 随之 产 生 了大 量 的 复杂 网络 模 型．
引 入 另 一 个 增 长 参 数 ｄ（ 时间 ｔ 是 一 个 增 长 参
Ｗａ ｔ ｔ ｓ等口 提 出 了 小 世 界 网 络 模 型 ， Ｂ ａ ｒ ａ ｂ ｉ ｆ ｓ ｉ 等 。 首 次提 出 了无 标 度 网 络模 型． 在 此 之后 的 十 几年， 学 术界 对 复杂 网络 的研 究热 潮不 衰 反增 ， 吸 引 了众 多学 者 的不 断涌 人 ， 使 得 复 杂 网络 的研 究 不论 纵 向 深 入 还 是 横 向拓 展 都 取 得 了 丰硕 的 成 果。 现今 复 杂 网络研 究 涵盖 了诸 多学科 领 域 ， 如物 理、 数学、 计 算 机科 学 、 化学 、 生物 学 、 经济 学等 ， 在 研 究 各领 域 中不 同 的研究 对 象 时 ， 产 生 了 大量 的 网络 模 型 ， 如 物 联 网、 地震网、 食 物链 网 、 电力 网 、 细胞 新 陈代谢 网 、 神 经信 号传 送 网 、 股市 等Ｄ 。 ．
第５ ７ 卷第４ 期
２ ０１ ７年 ７ 月
大 连 理 工 大 学 学 报
Ｊ ｏ ｕ ｒ ｎ ａ ｌ ｏ ｆ Ｄａ ｌ ｉ ａ ｎ Ｕｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ ｏ ｆ Ｔｅ ｃ ｈ ｎ ｏ ｌ ｏ ｇ ｙ
Ｖ０ １ ． ５ ７， Ｎ ｏ ． ４
Ｊ ｕ ｌ ｙ ２ ０ １ ７
收 稿 日期 ： ２ ０ １ ６ － ０ ９ — ２ ８ ； 修 回 日期 ： ２ ０ 学 基 金 资 助 项 目（ ６ １ １ ６ ３ ０ ５ ４ ， ６ １ ６ ６ ２ ０ ６ ６ ， ６ １ ３ ６ ３ ０ ６ ０ ） ． 作 者 简 介 ：马 飞 （ １ ９ ９ ２ 一 ） ， 男， 硕士生 ， Ｅ — ｍａ ｉ ｌ ： ｍａ ｆ ｅ ｉ １ ２ ３ ９ ８ ７ ＠１ ６ ３ ． ｃ ｏ ｎ； ｒ 姚 兵 ’ （ １ ９ ５ ６ 一 ） ， 男， 教授 ， Ｅ — ｍａ ｉ ｌ ： ｙ ｙ ｂ ｂ ９ １ ８ ＠１ ６ ３ ． ｃ ｏ ｍ．
指数 ｙ ∈Ｅ ２ ， ３ １ ， 本 文认 为可 以拓 展 无 标 度 的数 学
定义 ．
约而 同地 阐释了众 多 网 络具 有 的拓 扑共性 ： （ １ ） 小 的直径 和平 均 距离 ； （ ２ ） 高 的聚 集系数 ； （ ３ ） 服 从幂 率分布（ 无 标 度性 ） ； （ ４ ） 自相 似性 ； （ ５ ） 层次结构．