2023-2024学年向明中学高三上学期期中数学试卷及答案(2023.11)

1
向明中学2023学年第一学期高三年级数学期中
2023.11
一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第16∼题每题4分,第7-12题每题5分） 1．不等式
1
1x
≥的解集是______； 2．复数1z ，2z 在复平面上对应的点分别为()11,2Z ，()21,3Z −，则12z z +=______；
3．已知()2,3a =
− ，()2,1b =
− ，则a b ⋅
的值______；
4．圆2
2
20x y x y +−+=的圆心坐标为______；
5．已知圆锥的侧面积为12π，母线长为4，则该圆锥的底面半径为______． 6．已知tan
23
α
=，则2tan
3
α
=______． 7．在9
21x x
+
的二项展开式中，常数项的值为______．
8．端午节吃粽子是我国的传统习俗，一盘中放有10个外观完全相同的粽子，其中豆沙粽2个，肉棕3个，白米棕5个，现从盘子任意取出3个，取到豆沙棕，肉棕，白米棕各一个的概率为______．
9．已知函数()()0131
x
x a f x a a =>≠+，为偶函数，则a 的值为______．
10．函数()
241log log 2y
x x +
在区间1,2
+∞
上的最小值为______． 11．已知ABC △中，()sin 3sin sin 22B A C ππ
−=+
，且2AB =，则ABC △面积的最大值为______．
12．平面两点()11,P x y ，()22,Q x y 的坐标分别满
足)110y x =
>，和
2
)220y x =
<，O 为坐标原点，已
知()A
，)
B 且
OA OP OP OQ −=− ，12
QA QB QA QB ⋅=
．若存在λ∈R ，使得PQ PB λ= ，则正实数k 的值为______．
二、选择题（本大题共4题，满分18分；第13，14题每题4分，第15，16题每题5分） 13．下列函数中，是奇函数且在()0,+∞上单调递增的为（ ） A ．4
y x =
B ．1
5
y x =
C ．1
y x −=
D ．12
y x
−
=
14．若对任意的[]1,2x ∈，不等式2
2x x mx +>−恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A
．1m <+
B
．15m −<< C
．11m −<<+
D ．4m <
15．已知函数
()()sin f x wx ϕ=+（其中0w >，2
2
π
π
ϕ−≤≤
）满足08f π
−
=
，直线8
x π
=
为()y f x =的一条对称轴，且函数()f x 在,168ππ
上单调，则实数w 的最大值为（ ） A ．6
B ．10
C ．14
D ．18
16．设n S 是一个无穷数列{}n a 的前n 项和，若一个数列满足对任意的正整数n ，不等式
1
1
n n S S n n +<+恒成立，则称数列{}n a 为和谐数列，判断下列2个命题的真假： �若等整数列{}n a 是和谐数列，则n S 一定存在最小值；
�若{}n a 的首项小于零，则一定存在公比为负数的一个等比数列是和谐数列． （ ）
3
A ．�假命题，�真命题
B ．�假命题，�假命题
C ．�真命题，�假命题
D ．�真命题，�真命题
三、解答题（本大题共有5题，满分78分，以下各题需写出必要的解题步骤） 17．
（本题满分14分，第1小题满分8分，第2小题满分6分） 已知函数(
)2sin cos f x x x x =+
． （1）求函数()y f x =的最小正周期和单调减区间； （2）若关于x 的方程()0f x m −=在0,2x π
∈
上有两个不同的实数解，求实数m 的取值范围．
18．
（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 如图，在四棱锥P ABCD −中，底面ABCD 为矩形，PD ⊥平面ABCD ，2PD AD ==，
4AB =，点E 在线段AB 上，且1
4
BE AB =
． （1）求证：CE ⊥平面PBD ； （2）求二面角P CE A −−的余弦值．
4
19．（本题满分14分，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分6分） 文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：[)40,50，[)50,60，…，[]90,100，得如下图所示的频率分布直方图 （1）求频率分布直方图中a 的值
（2）若在抽取的100份样本中有20份样本的数据如下：
44，46，50，52，60，63，66，68，68，72，75，76，79，79，81，82，82，83，90，92 求该组数据（指这20分样本构成的数据）的第75百分位数
（3）已知落在[)50,60的平均成绩是54，方差是7，落在[)60,70的平均成绩为66，方差4，求这两组成绩的总平均数和总方差
5
20．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
已知O 为坐标原点，曲线1C ：()22
210x y a a −=>和曲线2C ：22142x y +
=有公共点，直线1l ：11y k x b =+与曲线1C 的左支相交于A 、B 两点，线段AB 的中点为M ．
（1）若曲线1C 和2C 有且仅有两个公共点，求曲线1C 的离心率和渐近线方程； （2）若直线OM 经过曲线2C
上的点)
1T
−，且2a 为正整数，求a 的值；．
（3）若直线2l ：22y k x b =+与曲线2C 相交于C 、D 两点，且直线OM 经过线段CD 中点
N ，求证：22
121k k +>．
6
21．（本题题分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分） 九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，斑斓夺目的数学知识中函数尤为耀眼，加上数列知识的加持，犹如锦上添花。

下面让我们通过下面这题来体会函数与数列之间的联系。

已知()1
ln f x x x
=
+，()()g x f x x =− （1）求函数()f x 的单调区间
（2）若数列n
n a e =（e 为自然底数），()n n b f a =，13521n n S b b b b −=+++⋅⋅⋅+，21
n
n i
i T b
==
∑，
*,i n ∈N ，求使得不等式：2n n en S eT +>成立的正整数n 的取值范围
（3）数列{}n c 满足101c <<，()1n n c f c +=，*
n ∈N 证明：对任意的*
n ∈N ，
12230n n n n c c g c c ++++
−< −
7
参考答案
一、填空题
1.(]0,1;
2.5i ;
3.7−;
4.11,2
−
; 5.2; 6.43−; 7.84; 8.14;
10.1；
11.
二、选择题
13.B 14. A 15.C 16.D
15．已知函数
()()sin f x wx ϕ=+（其中0w >，2
2
π
π
ϕ−≤≤
）满足08f π
−
=
，直线8
x π
=
为()y f x =的一条对称轴，且函数()f x 在,168ππ
上单调，则实数w 的最大值为（ ） A ．6
B ．10
C ．14
D ．18
【答案】C
【解析】函数()()sin f x x ω=
+Φ(其中0ω>,2
2π
π
−Φ
剟满足08f π
−
=
, 可得,8
k k Z π
ωπ−
+Φ=∈,
直线8
x π
=为()y f x =的一条对称轴,可得
,8
2
m m Z π
π
ωπ+Φ=+
∈,可得4
π
Φ=−
,
即有
,8
4
n n Z π
πωπ=−−∈,且函数()f x 在,168ππ
上单调,
故
122816
πππω⋅−…,可得16ω…,显然14ω=时,2n =−成立,16ω=时,n 不为整数, 则实数ω的最大值为14. 故选:C .
16．设n S 是一个无穷数列{}n a 的前n 项和，若一个数列满足对任意的正整数n ，不等式
8
1
1
n n S S n n +<+恒成立，则称数列{}n a 为和谐数列，判断下列2个命题的真假： �若等整数列{}n a 是和谐数列，则n S 一定存在最小值；
�若{}n a 的首项小于零，则一定存在公比为负数的一个等比数列是和谐数列． （ ）
A ．�假命题，�真命题
B ．�假命题，�假命题
C ．�真命题，�假命题
D ．�真命题，�真命题
【答案】D
【解析】对于�,设等差数列{}n a 的公差为d ,则212n d d S n a n a =
+−
,
则
122n S d d n a n =+−,即n S n
为公差为2d 的等差数列, 若{}n a 为和谐数列,即
11n n S S n n +<+,则02d >,所以关于n 的二次函数212n d d S n a n a
=+−
开口向上,则在n N ∈′上一定存在最小值,故�正确;
对于�,取110,4a q <=−,则()
1141•11154n n a S q a q =−=−− − ,111•4n
n na na +
=−
,
下面证明1n n S na +<,即说明存在公比为负数的一个等比数列是和谐数列,
即证114111544n n
a na
−−<−
,即证4111544n n n −−>− ,
即证414545n
n
 +−< 
 ,当21,n k k N =+∈时,上式左边为负数,显然成立;
当2,n k k N =∈′时,即证41425165
k
k
+
⋅<
,即证()*516102k
k −−>,
9
设()()555161,16ln16ln160222
k k f k k f k =−
−=−−′>> 则()()10f k f >>,即(*)式成立,故�正确. 故选:D . 三．解答题
17.（1）T π=增区间是511,,1212k k k Z ππππ
++∈ （2
）
18.（1）证明略
（2
19.（1）0.030a = (2) 81.5 （3）总平均数是62，总方差是37 20．
（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分） 已知O 为坐标原点，曲线1C ：()22
210x y a a −=>和曲线2C ：22142x y +
=有公共点，直线1l ：11y k x b =+与曲线1C 的左支相交于A 、B 两点，线段AB 的中点为M ．
（1）若曲线1C 和2C 有且仅有两个公共点，求曲线1C 的离心率和渐近线方程； （2）若直线OM 经过曲线2C
上的点)
1T
−，且2a 为正整数，求a 的值；．
（3）若直线2l ：22y k x b =+与曲线2C 相交于C 、D 两点，且直线OM 经过线段CD 中点
N ，求证：22
121k k +>．
【答案】（1）曲线1C
的离心率c
e a
=
=渐近线方程为12y x =±;
10
（2）1a =
（3）见解析 【解析】(1)因为曲线1C 和2C 有且仅有两个公共点,所以曲线1C 和2C 的两公共点为左右顶点,
则2a =,曲线1C
的半焦距c =, 所以曲线1C
的离心率c
e a =
=渐近线方程为12
y x =±; (2)联立22
2111x y a y k x b −=
=+
,得()()22222211111210
a k x a k
b x a b −−−+=
设()()1122,,,A x y B x y ,则()
222111
1212
2222
11
12,11a b a k b x x x x a k a k −++==−− 所以221111111222222111,111M M a k b a k b b x y k b a k a k a k ==+=−−−故直线OM 的方程为2
1
1
y x a k =, 依题意直线OM
经过点)
1T
−,
代入得21a k =,则4212a k =,所以214
2
k a =
, 因为直线1l 与曲线1C 的左支相交于两点,故
(
)()
22
1221
101a b a k −+>−,得2
21
1a k
>,
则242
221a a a
=>,所以2
2a <,又曲线1C 和2C 有公共点,所以204a <…,所以202a <<, 又2a 为正整数,所以21a =,所以1a =;
(3)证明:由(2)可得12
1
(02),M M
y k a x a =
<≤
同理,联立直线222:l y k x b =+与曲线222:1,42x y C +=可得21
2N N y k x =−,
因为N
M M N
y y x x =
,所以2212a k k =−,又因为2211a k >,
11
所以4222222221121
1121 1.4a k k k k a k k k +=+≥=>+>即 21．（1）()()0,1,x y f x ∈=
单调递减，()()1,,x y f x ∈+∞=单调递增， （2）22222211111111n n n e e e e S n n e e
−− =+=+−−，222111n n e T n n e −=++− 2222222111111331
1n n n e e e e n n n en n e n n e e e −− −+>++⇒>⇒>⇒≥⇒≥ −−
正整数 （3）证明略。