2019版一轮文数北师大版练习：第七章 第三节 基本不等式及其应用 含解析 精品

课时规范练 A 组 基础对点练
1．若对任意x >0，
x
x 2
＋3x ＋1
≤a 恒成立，则a 的取值范围是( )
A ．a ≥1
5
B ．a >15
C ．a <15
D ．a ≤1
5
解析：因为对任意x >0，x
x 2＋3x ＋1≤a 恒成立，
所以对x ∈(0，＋∞)，a ≥⎝⎛⎭⎫x x 2＋3x ＋1max ， 而对x ∈(0，＋∞)，x
x 2＋3x ＋1
＝
1
x ＋1
x
＋3≤1
2x ·1
x ＋3＝15， 当且仅当x ＝1x 时等号成立，∴a ≥1
5.
答案：A
2．(2018·厦门一中检测)设0<a <b ，则下列不等式中正确的是( ) A ．a <b <ab <a ＋b
2
B ．a <ab <a ＋b
2<b
C ．a <ab <b <a ＋b
2
D.ab <a <a ＋b
2
<b
解析：因为0<a <b ，所以a －ab ＝a (a －b )<0，故a <ab ；b －a ＋b 2＝b －a 2>0，故b >a ＋b
2；
由基本不等式知a ＋b 2>ab ，综上所述，a <ab <a ＋b
2<b ，故选B.
答案：B
3．(2018·山东名校调研)若正数x ，y 满足3x ＋y ＝5xy ，则4x ＋3y 的最小值是( ) A ．2 B ．3 C ．4
D ．5
解析：由3x ＋y ＝5xy ，得3x ＋y xy ＝3y ＋1x ＝5，所以4x ＋3y ＝(4x ＋3y )·15(3y ＋1x )＝15(4＋9＋3y
x ＋
12x y )≥15(4＋9＋236)＝5，当且仅当3y x ＝12x
y ，即y ＝2x 时，“＝”成立，故4x ＋3y 的最小值为5. 答案：D
4．(2018·天津模拟)若a ，b ∈R ，且ab >0，则下列不等式中，恒成立的是( ) A ．a ＋b ≥2ab
B.1a ＋1b >1
ab
C.b a ＋a
b
≥2 D ．a 2＋b 2>2ab
解析：因为ab >0，所以b a >0，a b >0，所以b a ＋a
b ≥2
b a ·a
b
＝2，当且仅当a ＝b 时取等号． 答案：C
5．下列不等式一定成立的是( ) A ．lg ⎝⎛⎭⎫x 2＋1
4>lg x (x >0) B ．sin x ＋1sin x ≥2(x ≠k π，k ∈Z)
C ．x 2＋1≥2|x |(x ∈R) D.1
x 2＋1
>1(x ∈R) 解析：对选项A ，当x >0时，x 2＋1
4－x ＝⎝⎛⎭⎫x －122≥0，∴lg ⎝⎛⎭⎫x 2＋14≥lg x ，故不成立；对选项B ，当sin x <0时显然不成立；对选项C ，x 2＋1＝|x |2＋1≥2|x |，一定成立；对选项D ，∵x 2＋1≥1，∴0<1
x 2
＋1
≤1，故不成立． 答案：C
6．若实数a ，b 满足1a ＋2
b ＝ab ，则ab 的最小值为( )
A. 2 B ．2 C ．2 2
D ．4
解析：法一：由已知得1a ＋2b ＝b ＋2a
ab ＝ab ，且a >0，b >0，
∴ab ab ＝b ＋2a ≥22ab ，∴ab ≥2 2. 法二：由题设易知a >0，b >0， ∴ab ＝1a ＋2
b ≥2
2
ab
，即ab ≥22，选C. 答案：C
7．(2018·天津模拟)若log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，则a ＋b 的最小值是( ) A ．6＋2 3 B ．7＋2 3 C ．6＋4 3
D ．7＋4 3
解析：因为log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，所以log 4(3a ＋4b )＝log 4(ab )，即3a ＋4b ＝ab ，且
⎩
⎪⎨⎪⎧
3a ＋4b >0，ab >0，即a >0，b >0，所以4a ＋3b ＝1(a >0，b >0)，a ＋b ＝(a ＋b )·(4a ＋3b )＝7＋4b a ＋3a b ≥7
＋2
4b a ·3a b ＝7＋43，当且仅当4b a ＝3a
b
时取等号，故选D.
答案：D
8．(2018·宁夏银川一中检测)对一切实数x ，不等式x 2＋a |x |＋1≥0恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－2) B ．[－2，＋∞) C ．[－2,2]
D ．[0，＋∞)
解析：当x ＝0时，不等式x 2
＋a |x |＋1≥0恒成立，此时a ∈R ，当x ≠0时，则有a ≥
－1－|x |2|x |＝－(|x |＋1|x |)，设f (x )＝－(|x |＋1|x |)，则a ≥f (x )max ，由基本不等式得|x |＋1
|x |≥2(当且仅当|x |＝1
时取等号)，则f (x )max ＝－2，故a ≥－2.故选B. 答案：B
9．当x >0时，函数f (x )＝2x
x 2＋1有( )
A ．最小值1
B ．最大值1
C ．最小值2
D ．最大值2
解析：f (x )＝2x ＋1x ≤22x ·1x ＝1.当且仅当x ＝1
x ，x >0即x ＝1时取等号．所以f (x )有最大值1.
答案：B
10．(2018·南昌调研)已知a ，b ∈R ，且ab ≠0，则下列结论恒成立的是( ) A ．a ＋b ≥2ab B ．a 2＋b 2>2ab C.a b ＋b
a
≥2 D ．|a b ＋b a
|≥2
解析：对于A ，当a ，b 为负数时，a ＋b ≥2ab 不成立； 对于B ，当a ＝b 时，a 2＋b 2>2ab 不成立； 对于C ，当a ，b 异号时，b a ＋a
b ≥2不成立；
对于D ，因为b a ，a b 同号，所以|b a ＋a b |＝|b a |＋|a
b |≥2
|b a |·|a
b
|＝2(当且仅当|a |＝|b |时取等号)，即|b a ＋a
b |≥2恒成立． 答案：D
11．设f (x )＝ln x,0<a <b ，若p ＝f (ab )，q ＝f (a ＋b 2)，r ＝1
2(f (a )＋f (b ))，则下列关系式中正确
的是( ) A ．q ＝r <p B ．p ＝r <q C ．q ＝r >p
D ．p ＝r >q
解析：∵0<a <b ，∴a ＋b 2>ab ，又f (x )＝ln x 在(0，＋∞)上单调递增，故f (ab )<f (a ＋b
2)，即
q >p ，∴r ＝12(f (a )＋f (b ))＝1
2(ln a ＋ln b )＝ln ab ＝f (ab )＝p ，∴p ＝r <q .故选B.
答案：B
12．(2018·朝阳区模拟)已知a 1≤a 2，b 1≥b 2，则a 1b 1＋a 2b 2与a 1b 2＋a 2b 1的大小关系是( ) A ．a 1b 1＋a 2b 2≥a 1b 2＋a 2b 1 B ．a 1b 1＋a 2b 2≤a 1b 2＋a 2b 1 C ．a 1b 1＋a 2b 2＝a 1b 2＋a 2b 1 D ．不确定 答案：B
13．(2018·河南百校联盟模拟)已知正实数a ，b 满足a ＋b ＝4，则1a ＋1＋1b ＋3
的最小值为__________．
解析：∵a ＋b ＝4，∴a ＋1＋b ＋3＝8， ∴
1a ＋1＋1b ＋3
＝1
8[(a ＋1)＋(b ＋3)]⎝⎛⎭⎫1a ＋1＋1b ＋3 ＝18⎝ ⎛⎭⎪⎫
2＋b ＋3a ＋1＋a ＋1b ＋3
≥18(2＋2)＝12
， 当且仅当a ＋1＝b ＋3，即a ＝3，b ＝1时取等号， ∴
1a ＋1＋1b ＋3
的最小值为1
2.
答案：1
2
14．已知函数f (x )＝4x ＋a
x (x >0，a >0)在x ＝3时取得最小值，则a ＝__________.
解析：f (x )＝4x ＋a
x ≥2
4x ·a x ＝4a ，当且仅当4x ＝a
x
，即a ＝4x 2时取等号，则由题意知a ＝4×32＝36. 答案：36
15．(2018·邯郸质检)已知x ，y ∈(0，＋∞)，2x －
3＝(12)y ，则1x ＋4y 的最小值为________．
解析：2x －3＝(12)y ＝2－
y ，∴x －3＝－y ，∴x ＋y ＝3.又x ，y ∈(0，＋∞)，所以1x ＋4y ＝13(1x ＋4y
)(x
＋y )＝13(5＋y x ＋4x y )≥1
3(5＋2
y x ·4x y )＝3(当且仅当y x ＝4x
y
，即y ＝2x 时取等号)． 答案：3
B 组 能力提升练
1．若正数a ，b 满足：1a ＋1b ＝1，则1a －1＋9
b －1的最小值为( )
A ．16
B ．9
C ．6
D ．1
解析：∵正数a ，b 满足1a ＋1
b ＝1，
∴a ＋b ＝ab ，1a ＝1－1b >0，1b ＝1－1
a >0，
∴b >1，a >1， 则
1a －1＋9b －1
≥29
(a －1)(b －1)
＝2
9
ab －(a ＋b )＋1
＝6
⎝⎛⎭
⎫当且仅当a ＝43，b ＝4时等号成立，
∴
1a －1＋9b －1
的最小值为6，故选C. 答案：C
2．若存在x 0>1，使不等式(x 0＋1)ln x 0<a (x 0－1)成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，2) B ．(2，＋∞) C ．(1，＋∞)
D ．(4，＋∞)
解析：存在x 0>1，使不等式(x 0＋1)ln x 0<a (x 0－1)成立，即存在x 0>1，使不等式ln x 0－a (x 0－1)x 0＋1
<0成立．
令g (x )＝ln x －a (x －1)x ＋1(x >1)，则g (1)＝0，
g ′(x )＝1x －2a
(x ＋1)2＝x 2＋2(1－a )x ＋1x (x ＋1)2
.
当a ≤2时，x 2＋2(1－a )x ＋1≥0(x >1)，从而g ′(x )≥0，得g (x )在(1，＋∞)上为增函数，故g (x )>g (1)＝0，不合题意； 当a >2时，令g ′(x )＝0，得 x 1＝a －1－(a －1)2－1， x 2＝a －1＋(a －1)2－1， 由x 2>1和x 1x 2＝1得0<x 1<1，
易知当x ∈(1，x 2)时，g ′(x )<0，g (x )在(1，x 2)上单调递减， 此时g (x )<g (1)＝0，
即ln x －a (x －1)
x ＋1<0，满足存在x 0>1，使不等式(x 0＋1)ln x <a (x 0－2)成立．
综上，a 的取值范围是(2，＋∞)． 答案：B
3．(2018·保定调研)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且C ＝π
3，a ＋b ＝λ，
若△ABC 面积的最大值为93，则λ的值为( ) A ．8 B ．12 C ．16
D ．21
解析：S △ABC ＝12ab sin C ＝34ab ≤34·(a ＋b 2)2＝3
16λ2＝93，当且仅当a ＝b 时取“＝”，解得
λ＝12. 答案：B
4．已知x ，y 都是正数，且x ＋y ＝1，则4x ＋2＋1
y ＋1的最小值为( )
A.1315 B ．2 C.94
D ．3
解析：由题意知，x ＋2>0，y ＋1>0，(x ＋2)＋(y ＋1)＝4，则4x ＋2＋1y ＋1＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫
5＋
4(y ＋1)x ＋2＋x ＋2y ＋1≥14⎣
⎢⎡
⎦
⎥⎤5＋2 4(y ＋1)x ＋2·x ＋2y ＋1＝94，当且仅当x ＝2
3， y ＝13时，4x ＋2＋1y ＋1取最小值94. 答案：C
5.(3－a )(a ＋6)(－6≤a ≤3)的最大值为( ) A ．9 B.9
2 C ．3
D.322
解析：因为－6≤a ≤3，所以3－a ≥0，a ＋6≥0，则由基本不等式可知，(3－a )(a ＋6)≤(3－a )＋(a ＋6)2＝92，当且仅当a ＝－32时等号成立．
答案：B
6．若2x ＋2y ＝1，则x ＋y 的取值范围是( )
A ．[0,2]
B ．[－2,0]
C ．[－2，＋∞)
D ．(－∞，－2]
解析：∵2x ＋2y ≥22x ·2y ＝22x ＋y (当且仅当2x ＝2y 时等号成立)，∴2x ＋y ≤12，∴2x ＋
y ≤14，x
＋y ≤－2，故选D. 答案：D
7．若两个正实数x ，y 满足1x ＋4y ＝1，且不等式x ＋y
4<m 2－3m 有解，则实数m 的取值范围是
( ) A ．(－1,4) B ．(－∞，－1)∪(4，＋∞) C ．(－4,1)
D ．(－∞，0)∪(3，＋∞)
解析：∵不等式x ＋y 4<m 2－3m 有解，∴⎝⎛⎭⎫x ＋y 4min <m 2－3m ，∵x >0，y >0，且1x ＋4
y ＝1，∴x ＋y
4＝⎝⎛⎭⎫x ＋y 4⎝⎛⎭⎫1x ＋4y ＝4x y ＋y 4x ＋2≥24x y ·y 4x ＋2＝4，当且仅当4x y ＝y
4x
，即x ＝2，y ＝8时取等号，
∴⎝⎛⎭
⎫x ＋y
4min ＝4，∴m 2－3m >4，即(m ＋1)(m －4)>0，解得m <－1或m >4，故实数m 的取值范围是 (－∞，－1)∪(4，＋∞)． 答案：B
8．设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0.则当xy z 取得最大值时，2x ＋1y －2z 的最大值为( )
A ．0
B ．1 C.9
4
D ．3
解析：xy z ＝xy x 2－3xy ＋4y 2＝1x y ＋4y x －3≤14－3
＝1，当且仅当x ＝2y 时等号成立，此时z ＝2y 2，2
x ＋1y －2z ＝－1y 2＋2
y ＝－⎝⎛⎭⎫1y －12＋1≤1，当且仅当y ＝1时等号成立，故所求的最大值为1. 答案：B
9．设等差数列{a n }的公差是d ，其前n 项和是S n ，若a 1＝d ＝1，则S n ＋8a n 的最小值是( )
A.92
B.72 C ．22＋1
2
D ．22－1
2
解析：a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n ，S n ＝n (1＋n )
2
，
∴S n ＋8a n ＝n (1＋n )
2＋8n ＝1
2⎝⎛⎭⎫n ＋16n ＋1 ≥1
2⎝
⎛⎭
⎫2n ·16n ＋1＝92， 当且仅当n ＝4时取等号． ∴S n ＋8a n 的最小值是9
2，故选A.
答案：A
10．(2018·河北五校联考)函数y ＝log a (x ＋3)－1(a >0，且a ≠1)的图像恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋2＝0上，其中m >0，n >0，则2m ＋1
n 的最小值为( )
A ．2 2
B ．4 C.52
D.92
解析：由函数y ＝log a (x ＋3)－1(a ＞0，且a ≠1)的解析式知，当x ＝－2时，y ＝－1，所以点A 的坐标为(－2，－1)，又点A 在直线mx ＋ny ＋2＝0上，所以－2m －n ＋2＝0，即2m ＋n ＝2，所以2m ＋1n ＝2m ＋n m ＋2m ＋n 2n ＝2＋n m ＋m n ＋12≥52＋2＝92，当且仅当m ＝n ＝2
3时等号成立．所
以2m ＋1n 的最小值为9
2，故选D. 答案：D
11．(2018·合肥模拟)若不等式2kx 2＋kx －38＜0对一切实数x 都成立，则k 的取值范围为( )
A ．(－3,0)
B ．[－3,0)
C ．[－3,0]
D ．(－3,0]
答案：D
12．某工厂需要建造一个仓库，根据市场调研分析，运费与工厂和仓库之间的距离成正比，仓储费与工厂和仓库之间的距离成反比，当工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费为5万元，当工厂和仓库之间的距离为________千米时，运费与仓储费之和最小，最小为________万元．
解析：设工厂和仓库之间的距离为x 千米，运费为y 1万元，仓储费为y 2万元，则y 1＝k 1x (k 1≠0)，y 2＝k 2
x
(k 2≠0)，
∵工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费用为5万元， ∴k 1＝5，k 2＝20，∴运费与仓储费之和为⎝⎛⎭⎫5x ＋20
x 万元， ∵5x ＋20
x
≥2
5x ×20x ＝20，当且仅当5x ＝20x
，
即x ＝2时，运费与仓储费之和最小，为20万元． 答案：2 20
13．(2018·青岛模拟)已知实数x ，y 均大于零，且x ＋2y ＝4，则log 2x ＋log 2y 的最大值为__________．
解析：因为log 2x ＋log 2y ＝log 22xy －1≤log 2⎝⎛
⎭⎫x ＋2y 22
－1＝2－1＝1，当且仅当x ＝2y ＝2，即x
＝2，y ＝1时等号成立，所以log 2x ＋log 2y 的最大值为1. 答案：1
14．设a >0，b >0.若3是3a 与32b 的等比中项，则2a ＋1
b 的最小值为__________．
解析：因3是3a 与32b 的等比中项， 则有3a ×32b ＝(3)2，即3a ＋2b
＝3，
得a ＋2b ＝1， 则2a ＋1
b
＝(a ＋2b )⎝⎛⎭⎫2a ＋1b ＝4＋⎝⎛⎭⎫4b a ＋a b ≥4＋24＝8⎝⎛⎭⎫当且仅当a ＝2b ＝1
2时取等， 即2a ＋1
b 的最小值为8. 答案：8
15．在等腰梯形ABCD 中，已知AB ∥DC ，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°.动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上，且BE →＝λBC →，DF →＝19λ
DC →，则AE →·AF →的最小值为________．
解析：以点A 为坐标原点，AB 所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系(图略)，则B (2,0)，C (32，32)，D (12，32)．又BE →＝λBC →，DF →＝19λDC →
，则E (2－12λ，32λ)，F (12＋19λ，32)，λ>0，所以AE →·AF →＝(2－12λ)·(12＋19λ)＋34λ＝1718＋29λ＋12λ≥1718＋2
29λ·12λ＝2918，λ>0，当且仅当29λ＝12
λ，即λ＝23时取等号，故AE →·AF →的最小值为2918.
答案：2918。