专题52 几何概型教学案-2018年高考数学文一轮复习资料

1.了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率；
2.了解几何概型的意义.
1．几何概型的定义
事件A 理解为区域Ω的某一子区域A ，A 的概率只与子区域A 的几何度量(长度、面积、体积)成正比，而与A 的位置和形状无关，满足上述条件的试验称为几何概型． 2.几何概型的两个基本特点
(1)无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个； (2)等可能性：每个结果的发生具有等可能性. 3．几何概型的概率公式 P (A )＝μA
μΩ
，其中μ
Ω
表示区域Ω的几何度量，μ
A 表示子区域
A 的几何度量．
高频考点一、与长度(角度)有关的几何概型
【例1】 (1)(2016·全国Ⅰ卷)某公司的班车在7：30，8：00，8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是( ) A.13 B.12
C.2
3
D.34
(2)如图，四边形ABCD 为矩形，AB ＝3，BC ＝1，以A 为圆心，1为半径作四分之一个圆弧DE ︵
，在∠DAB 内任作射线AP ，则射线AP 与线段BC 有公共点的概率为________.
解析 (1)如图所示，画出时间轴：
答案 (1)B (2)1
3
【方法规律】(1)解答几何概型问题的关键在于弄清题中的考查对象和对象的活动范围.当考查对象为点，且点的活动范围在线段上时，用“线段长度”为测度计算概率，求解的核心是确定点的边界位置.
(2)①第(2)题易出现“以线段BD 为测度”计算几何概型的概率，导致错求P ＝1
2
.
②当涉及射线的转动，扇形中有关落点区域问题时，应以角对应的弧长的大小作为区域度量来计算概率.事实上，当半径一定时，曲线弧长之比等于其所对应的圆心角的弧度数之比. 【变式探究】 (1)设A 为圆周上一点，在圆周上等可能地任取一点与A 连接，则弦长超过半径的2倍的概率是( ) A.34 B.12 C.13 D.35
(2)在区间[0，5]上随机地选择一个数p ，则方程x 2＋2px ＋3p －2＝0有两个负根的概率为________.
解析 (1)如图，作等腰直角△AOC 和△AMC ，B 为圆上任一点，则当点B 在MmC ︵上运动时，弦长|AB |＞2R ，
∴P ＝l MmC ︵
圆的周长＝1
2
.
(2)设方程x 2＋2px ＋3p －2＝0的两个根分别为x 1，x 2，由题意得，
⎩⎪⎨⎪
⎧Δ＝4p 2
－4（3p －2）≥0，x 1＋x 2＝－2p ＜0，x 1·x 2＝3p －2＞0， 解得2
3
＜p ≤1或p ≥2，
结合p ∈[0，5]得p ∈⎝⎛⎦⎤
23，1∪[2，5]，
故所求概率为
⎝⎛⎭⎫1－23＋（5－2）
5
＝2
3
.
答案 (1)B (2)2
3
高频考点二 与面积有关的几何概型(
【例2】 (2016·全国Ⅱ卷)从区间[0，1]随机抽取2n 个数x 1，x 2，…，x n ，y 1，y 2，…，y n ，构成n 个数对(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为( ) A.4n m
B.2n m
C.4m
n
D.2m n
由几何概型的概率公式可得m n ＝14π12，故π＝4m
n .
答案 C
【举一反三】在满足不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －3≤0，y ≥0
的平面内随机取一点M (x 0，y 0)，设事件A ＝“y 0＜2x 0”，那么事件A 发生的概率是( ) A.1
4
B.34
C.13
D.2
3
解析 作出不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －3≤0，y ≥0的平面区域即△ABC ，其面积为4，且事件A ＝“y 0＜2x 0”
表示的区域为△AOC ，其面积为3，所以事件A 发生的概率是3
4
.
答案 B
【方法规律】(1)与面积有关的平面图形的几何概型，解题的关键是对所求的事件A 构成的平面区域形状的判断及面积的计算，基本方法是数形结合.
(2)解题时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到全部试验结果构成的平面图形，以便求解.
【变式探究】如图，矩形ABCD 中，点A 在x 轴上，点B 的坐标为(1，0)，且点C 与点D 在函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧x ＋1，x ≥0，－12x ＋1，x ＜0的图象上.若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分
的概率等于( )
A.1
6
B.14
C.38
D.1
2
答案 B
高频考点三 与体积有关的几何概型
【例3】 如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，在正方体内随机取点M ，则使四棱锥M －ABCD 的体积小于1
6
的概率为
________.
1×1×
121×1×1＝12.
答案 12
【方法规律】对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的也可利用其对立事件去求.
【变式探究】 一个长方体空屋子，长、宽、高分别为5米、4米、3米，地面三个角上各装有一个捕蝇器(大小忽略不计)，可捕捉距其一米空间内的苍蝇，若一只苍蝇从位于另外一角处的门口飞入，并在房间内盘旋，则苍蝇被捕捉的概率是________.
解析 依题意，放在地面一角处的捕蝇器能捕捉到的空间体积V 0＝18×4
3π×13＝π6(立方米).
又空屋子的体积V ＝5×4×3＝60(立方米)，
三个捕蝇器捕捉到的空间体积V ′＝3V 0＝π
2(立方米).
故苍蝇被捕捉的概率是π
260＝π
120.
答案
π120
1.(2016·全国Ⅱ卷)某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒.若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为( )
108810解析 至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为40－1540＝5
8. 答案 B
2.(2016·全国Ⅱ卷)从区间[0，1]随机抽取2n 个数x 1，x 2，…，x n ，y 1，y 2，…，y n ，构成n 个数对(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为( ) A.4n m
B.2n m
C.4m
n
D.2m n
由几何概型的概率公式可得m n ＝14π12，故π＝4m
n . 答案 C
3.(2016·山东卷)在[－1，1]上随机地取一个数k ，则事件“直线y ＝kx 与圆(x －5)2＋y 2＝9相交”发生的概率为________.
解析 直线y ＝kx 与圆(x －5)2＋y 2＝9相交的充要条件是圆心(5，0)到直线y ＝kx 的距离小于3.
则|5k －0|k 2＋1＜3，解之得－34＜k ＜34，故所求事件的概率P ＝34－⎝⎛⎭⎫
－341－（－1）＝3
4.
答案 3
4
4.(2015·山东卷)在区间[0，2]上随机地取一个数x ，则事件“－1≤log 12
⎝⎛⎭⎫x ＋12≤1”发生的概率为( )
4334解析 由－1≤log 12⎝⎛⎭⎫x ＋12≤1，得12≤x ＋12≤2，
解得0≤x ≤32，所以事件“－1≤log 1
2⎝⎛⎭⎫x ＋12≤1”发生的 概率为322＝3
4，故选A. 答案 A
5.(2015·福建卷)如图，矩形ABCD 中，点A 在x 轴上，点B 的坐标为(1，0)，且点C 与点D 在函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≥0，－12x ＋1，x ＜0的图象上.若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分
的概率等于(
)
A.1
6
B.14
C.38
D.12
答案 B
6.(2015·湖北卷)在区间[0，1]上随机取两个数x ，y ，记p 1为事件“x ＋y ≤1
2”的概率，p 2为事件“xy ≤1
2”的概率，则( ) A.p 1<p 2<1
2
B.p 2<12<p 1
C.1
2<p 2<p 1 D.p 1<12<p 2
答案 D
1.在区间[－2，3]上随机选取一个数x ，即x ≤1，故所求的概率为( ) A.45
B.35
C.25
D.15
解析 在区间[－2，3]上随机选取一个数x ，且x ≤1，即－2≤x ≤1，故所求的概率为P ＝3
5. 答案 B
2.如图所示，半径为3的圆中有一封闭曲线围成的阴影区域，在圆中随机扔一粒豆子，它落在阴影区域内的概率是1
3，则阴影部分的面积是( )
A.π
3 B.π C.2π D.3π
解析 设阴影部分的面积为S ，且圆的面积S ′＝π·32＝9π.由几何概型的概率，得S S ′＝1
3，
则S ＝3π. 答案 D
3.若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD 中，其中AB ＝2，BC ＝1，则质点落在以
AB 为直径的半圆内的概率是(
)
A.π2
B.π4
C.π6
D.π8
解析 设质点落在以AB 为直径的半圆内为事件A ，则P (A )＝阴影面积长方形面积＝12π×1
21×2＝π
4.
答案 B
4.在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点O 为底面ABCD 的中心，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1 内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为( ) A.π12 B.1－π12 C.π6 D.1－π
6
答案 B
5.已知△ABC 中，∠ABC ＝60°，AB ＝2，BC ＝6，在BC 上任取一点D ，则使△ABD 为钝角三角形的概率为( ) A.16
B.13
C.12
D.23
解析 如图，当BE ＝1时，∠AEB 为直角，则点D 在线段BE (不包含B ，E 点)上时，△ABD 为钝角三角形；当BF ＝4时，∠BAF 为直角，则点D 在线段CF (不包含C ，F 点)上时，△ABD 为钝角三角形.所以△ABD 为钝角三角形的概率为1＋26＝1
2
.
答案 C
6.设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，
0≤y ≤2表示的平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原
点的距离大于2的概率是( ) A.π4 B.π－22
C.π6
D.4－π4
故选D.
答案 D
7.在区间[0，4]上随机取两个实数x ，y ，使得x ＋2y ≤8的概率为( ) A.14 B.316 C.916 D.34
解析 由x ，y ∈[0，4]知(x ，y )构成的区域是边长为4的正方形及其内部，其中满足x ＋2y ≤8的区域为如图所示的阴影部分.易知A (4，2)，S 正方形＝16， S 阴影＝（2＋4）×42＝12.故“使得x ＋2y ≤8”的概率P ＝S 阴影S 正方形＝34
.
答案 D
8.已知正三棱锥S －ABC 的底面边长为4，高为3，在正三棱锥内任取一点P ，使得V P －ABC ＜12V S －ABC 的概率是( ) A.78
B.34
C.12
D.14
解析 当点P 到底面ABC 的距离小于3
2时， V P －ABC ＜1
2V S －ABC .
由几何概型知，所求概率为P ＝1－⎝⎛⎭
⎫123
＝7
8.
答案 A
9.设复数z ＝(x －1)＋y i(x ，y ∈R )，若|z |≤1，则y ≥x 的概率为( )
A.34＋12π
B.12＋1π
C.12－1π
D.14－12π
解析 因为复数z ＝(x －1)＋y i(x ，y ∈R )且|z |≤1，所以|z |＝（x －1）2＋y 2≤1，即(x －1)2＋y 2≤1，
答案 D
10.在区间[－1，4]内取一个数x ，则2x －x 2≥14的概率是( )
A.12
B.13
C.25
D.35
解析 由2x －x 2≥14，得－1≤x ≤2.又－1≤x ≤4.
∴所求事件的概率P ＝2－（－1）4－（－1）＝35
. 答案 D
11.在区间[－2，4]上随机地取一个数x ，若x 满足|x |≤m 的概率为56，则m ＝________.
解析 由|x |≤m ，得－m ≤x ≤m .
当m ≤2时，由题意得2m 6＝56，解得m ＝2.5，矛盾，舍去.
当2＜m ＜4时，由题意得m －（－2）6
＝56，解得m ＝3. 答案 3
12.如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，有一动点在此长方体内随机运动，则此动点在三棱锥A －A 1BD 内的概率为________.
解析 因为VA －A 1BD ＝VA 1－ABD ＝13AA 1×S △ABD ＝16×AA 1×S 矩形ABCD ＝16V 长方体，故所求概率为
VA －A 1BD V 长方体
＝16. 答案 16
13. 如图，将半径为1的圆分成相等的四段弧，再将四段弧围成星形放在圆内(阴影部分).现在往圆内任投一点，此点落在星形区域内的概率为________.
答案 4π
－1。