河南省林州市第一中学高一(普通班)12月调考数学试题

高一本部12月月考数学试卷
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

共150分，时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、 选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四
个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.下列说法正确的是（ ）
A .有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱
B .有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱
C .有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥
D .棱台各侧棱的延长线交于一点
2．函数y = ）
A .{}|0x x ≥
B .{}|1x x ≥
C .{}{}|10x x
≥⋃ D .{}|01x x ≤≤
3.用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形，则原来的图
形是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
4.函数1
()ln(1)f x x x
=+-的零点所在的大致区间是( )
A .(0,1) B.(3,4) C.(2,)e D.(1,2) 5.已知12
112
3
1
2 log
3 log 5
a b c -===，
，，则（ ） A.a c b >> B ．c b a >> C .a b c >> D ．c a b >>
6．已知直线a ，b 和平面α，β，给出以下命题，其中正确的是（ ） A ．若a ∥β，α∥β，则a ∥α B ．若α∥β，a ⊂α，则a ∥β C ．若α∥β，a ⊂α，b ⊂β，则a ∥b D ．若a ∥β，b ∥α，α∥β，则a ∥b
7.一个几何体的三视图及部分数据如图所示，正（主）视图、侧（左）视图和俯视图都是等腰直角三角形，则该几何体的体积为（ ）
A ．
16
B ．
13 C ．2
3
D ．1 8．在正方体1111D C B A ABCD -中，M 、N 分别为棱BC 和棱CC 1的中点，则异面直线AC 和MN 所成的角为（ ） A ．30°
B ．45°
C ．90°
D ． 60°
9.已知函数=-=+-++=)(,6)(,511lg
)(a f a f x
x
x x f 则且 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
10．在封闭的直三棱柱111ABC A B C -内有一个体积为V 的球，若AB BC ⊥，6AB =，
8BC =，13AA =，则V 的最大值是（ ）
A ．4π
B ．
92π C ． 6π D ． 323
π 11.若函数()()
2
log 2a
f x x x =+（0a >且1a ≠）在区间10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
内恒有()0f x >，则()f x 的单调递增区间为（ ） A. 1,4⎛⎫
-∞-
⎪⎝⎭ B. 1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭ C. ()0,+∞ D. 1,2⎛
⎫-∞- ⎪⎝
⎭
12
．
设函数 ，若关于
的方程
有四个不
同的解 且 ，则 的取值范围是
（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
第Ⅱ卷（选择题 90分）
二、填空题（本大题共 4小题每小题 5分，计20分）
13. 设函数()21,12,1x x f x x x ⎧+≤⎪
=⎨>⎪⎩则()()3f f =____________
14.空间四边形ABCD 中,
且AB 与CD 所成的角为,E 、F 分别是BC 、
AD 的中点,则EF 与AB 所成角的大小为____________。

15.据说阿基米德死后,敌军将领给他建了一块墓碑,在墓碑上刻了一 个图案(如图),图案中球的直径与圆柱底面的直径和圆柱的高相等,圆 锥的顶点为圆柱上底面的圆心,圆锥的底面是圆柱的下底面.图案中
圆锥、球、圆柱的体积比为____________
16．如图所示是一几何体的平面展开图，其中ABCD 为正方形，E ，F ，分别为
PA ，PD 的中点，在此几何体中，给出下面三个结论：
①直线BE 与直线CF 异面； ②直线BE 与直线AF 异面；
③直线EF ∥平面PBC ；
其中正确的有（填序号）____________。

三、解答题（本大题共6小题，计70分）
17.(10分)如图，已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 是AA 1的中点，N 是BB 1的中点．
求证：平面MDB 1∥平面ANC.
18.（12分）已知集合2
{log ,4}A y y x x ==≥，1{(),10}2
x
B y y x ==-≤≤. （1）求A
B ；
（2）若集合{21}C x a x a =≤≤-，且C
B B =，求实数a 的取值范围.
19.（本小题12分）
已知正四棱锥P ﹣ABCD 如图所示．
（Ⅰ）若其正视图是一个边长分别为
、
，2的
等腰三角形，求其表面积S 、体积V ； （Ⅱ）设AB 中点为M ，PC 中点为N ，
证明：MN ∥平面PAD ．
20．（本题12分）已知函数
)32(log )(2
2
1+-=ax x x f . （1）当1-=a 时，求函数的值域；
（2）是否存在R a ∈，使)(x f 在)2,(-∞上单调递增，若存在，求出a 的取值范围，不存在，请说明理由.
21.（12分）如图所示，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，点D ，D 1分别为AC ，A 1C 1
上的点．若平面BC 1D ∥平面AB 1D 1，求AD
DC 的值．
22．（12分）对于函数()f x ，若存在R x ∈0，使00()f x x =成立，则称0x 为()f x 的
不动点.已知函数2()(1)(1)(0)f x ax b x b a =+++-≠. （1）当1,2a b ==时，求函数()f x 的不动点；
（2）若对任意实数b ，函数()f x 恒有两个相异的不动点，求a 的取值范围； （3）在（2）的条件下，若f （x ）的两个不动点为12,x x ，且()12221
a
f x x a -+=+，求实数b 的取值范围.
答案
1----5 D C A D D 6--10 B B D D B 11---12 D D
13.
9
13
14. 或 15. 1:2:3 16. (2)(3)
17．证明 如图，连接MN.
∵M ，N 分别是所在棱的中点，
∴四边形AMB 1N 和四边形MNCD 是平行四边形． ∴MB 1∥AN ，CN ∥MD.
又∵MB 1⊂平面MDB 1，MD ⊂平面MDB 1，MB 1∩MD ＝M ， ∴MB 1∥平面ANC ，MD ∥平面ANC. ∴平面MDB 1∥平面ANC.
18.（1）对于函数2log y x =,∵4x ≥,∴2y ≥,其值域为集合[)2,A =+∞．
对于函数1()2
x
y =,∵10x -≤≤,∴12y ≤≤,其值域为集合B=[1,2]．
∴A B={2}． ……6分
（2）∵C
B B =,∴
C ⊆B ．
当21a a -<时,即1a <时,C=∅,满足条件；
当21a a -≥时,即1a ≥时,要使C ⊆B,则1212
a a ≥⎧⎨-≤⎩,解得312a ≤≤．
综上可得：3,2
a ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝
⎦
． ……12分
19.（本小题满分12分）
解：（I ）过P 作PE ⊥CD 于E ，过P 作PO ⊥平面ABCD ，垂足为O ，…………………1分 则PE ⊥CD ，E 为CD 的中点，O 为正方形ABCD 的中心． ∵正四棱锥的正视图是一个边长分别为、
，2的等腰三角形，
∴PE=
，BC=CD=2，
∴OE=，∴PO==．…………………………………………………3分
∴正四棱锥的表面积S=S 正方形ABCD +4S △PCD =22+4×=4+4
．………………5分
正四棱锥的体积V=
=
=
．…………………………7分
（II ）过N 作NQ ∥CD ，连结AQ ，
∵N 为PC 的中点，∴Q 为PD 的中点，∴NQ CD ，又AM
CD ，
∴AM
NQ ，∴四边形AMNQ 是平行四边形，
∴MN ∥AQ ，…………………………………………………………………………………10分 又MN ⊄平面PAD ，AQ ⊂平面PAD ，
∴MN ∥平面PAD ．……………………………………………………………………………12 20．解：（1）当1-=a 时，)32(log )(2
2
1++=x x x f ，
设22)1(32)(2
2≥++=++=x x x x h ，∴1)(-≤x f ，∴)(x f 的值域为]1,(--∞. …6分
（2）要使)(x f 在)2,(-∞上单调递增，只需32)(2
+-=ax x x h 在)2,(-∞上单调递减且
0322
>+-ax x 在
)2,(-∞上恒成立，所以⎩⎨⎧≥≥,
0)2(,
2h a 此不等式无解， 故不存在R a ∈，使)(x f 在)2,(-∞上单调递增. ．．．．．．12分 21. 答案
解：如图，连接A 1B 交AB 1于点O ，连接OD 1.
由棱柱的性质知四边形A 1ABB 1为平行四边形，所以点O 为A 1B 的中点．
因为平面BC 1D ∥平面AB 1D 1，且平面A 1BC 1∩平面AB 1D 1＝D 1O ，平面A 1BC 1∩平面BC 1D ＝BC 1，所以BC 1∥D 1O. 所以D 1为线段A 1C 1的中点，即D 1C 1＝1
2A 1C 1.
因为平面BC 1D ∥平面AB 1D 1，且平面AA 1C 1C ∩平面BDC 1＝DC 1， 平面AA 1C 1C ∩平面AB 1D 1＝AD 1，所以AD 1∥DC 1. 又AD ∥D 1C 1，所以四边形ADC 1D 1是平行四边形， 所以AD ＝C 1D 1＝12A 1C 1＝1
2AC ，
即D 为线段AC 的中点，所以AD
DC ＝1.
22．（1）2
()31f x x x =++，因为x 0为不动点，因此20000()31f x x x x =++=
所以x 0=－1，所以－1为f （x ）的不动点. ……………… 4分 （2）因为f （x ）恒有两个不动点，f （x ）=ax 2
+（b +1）x +（b －1）=x ，
ax 2+bx +（b －1）=0，由题设b 2－4a （b －1）＞0恒成立，
即对于任意b ∈R ，b 2－4ab +4a ＞0恒成立，
所以（4a ）2－4（4a ）＜0⇒a 2－a ＜0，所以0＜a ＜1. ………………8分
(3)因为()1212221b a f x x x x a a -+=+=-=+，所以2
2
21
a b a =+， 令()2
0,1t a =∈，则,0121
t b t t =
<<+1
03b ∴<<. …………12分。