直线、平面垂直的判定和性质(基础)9

【巩固练习】
1. 直线与平面α内无数条直线垂直是“直线与平面α垂直”的________条件(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”“既不充分也不必要”)．
2.关于直线m，n和平面α，β，有以下四个命题：
①若m∥α，n∥β，α∥β，则m∥n；
②若m∥n，m⊂α，n⊥β，则α⊥β；
③若α∩β＝m，m∥n，则n∥α且n∥β；
④若m⊥n，α∩β＝m，则n⊥α或n⊥β.
其中假命题的序号是________．
3.设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的有________．
①若l⊥m，m⊂α，则l⊥α；②若l⊥α，l∥m，则m⊥α；
③若l∥α，m⊂α，则l∥m；④若l∥α，m∥α，则l∥m.
4.设b，c表示两条直线，α，β表示两个平面，现给出下列命题：
①若b⊂α，c∥α，则b∥c; ②若b⊂α，b∥c，则c∥α；
③若c∥α，α⊥β，则c⊥β；④若c∥α，c⊥β，则α⊥β.
其中正确的命题是________．(写出所有正确命题的序号)
5. 已知直线a，b与平面α，β，γ，能使α⊥β的条件是________．(填序号)
①α⊥γ，β⊥γ；②α∩β＝a，b⊥a，b⊂β；
③a∥α，a∥β；④a⊥β，a∥α.
6.设m，n是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，给出下列命题：
①若m⊂β，α⊥β，则m⊥α；
②若m∥α，m⊥β，则α⊥β；
③若α⊥β，α⊥γ，则β⊥γ；
④若α∩γ＝m，β∩γ＝n，m∥n，则α∥β.
上面命题中，真命题的序号是________(写出所有真命题的序号)．
7. 在各个面都是正三角形的四面体P­ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA 的中点，下面四个结论中成立的是________(填序号)．
①BC∥平面PDF；②DF⊥平面PAE；
③平面PDF⊥平面ABC；④平面PAE⊥平面ABC.
8. 如图所示，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为矩形，那么以P、A、B、C、D五个点中的三点为顶点的直角三角形的个数是________．
9. 如图所示，矩形ABCD中，AB＝1，BC＝2，PA⊥平面ABCD，且PA＝1，则在BC上存在________个点使PQ⊥QD.
10.称四个面均为直角三角形的三棱锥为“四直角三棱锥”，若在四直角三棱锥SABC中，∠SAB＝∠SAC＝∠SBC＝90°，则第四个面中的直角为
________．
11. 在正方体ABCD­A1B1C1D1中，点P在侧面BB1C1C上运动，并且保持AP⊥BD1，则动点P的轨迹是________．
12. 如图所示，四棱锥P­ABCD的底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱PA ＝1，PB＝PD＝2，则它的5个面中，互相垂直的面有________对．
13. 如图，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面各边都相等，M是PC 上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.
14.如图，棱柱ABC­A1B1C1的侧面BCC1B1是菱形，B1C⊥A1B.求证：平面AB1C⊥平面A1BC1.
15.如图，AB为圆O的直径，点E在圆O上，矩形ABCD所在的平面和圆O所在的平面互相垂直．求证：AE⊥平面CBE.
16.如图，在四棱锥P­ABCD中， PD⊥平面ABCD，AD＝CD，DB平分∠ADC，E为PC的中点．
(1)证明：PA∥平面BDE；
(2)证明：平面PAC⊥平面PDB.
17.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中．
(1)求证：平面BC1D⊥平面A1ACC1；
(2)求二面角C1BDC的正切值．
【参考答案与解析】
1．【答案】必要不充分
【解析】由直线与平面垂直的定义知为必要不充分条件．
2. 【答案】①③④
【解析】据面面垂直的判定定理可知②正确，所以填①③④.
3.【答案】②
【解析】根据线面垂直的判定定理知①错；根据线面垂直的性质知②正确；
③中l可能与m异面；④中l可能与m异面，也可能相交．
4.【答案】④
【解析】由面面垂直的判定定理可知④正确．
5.【答案】④
【解析】由面面垂直的定义、判定定理可得．
6.【答案】②
【解析】①中m与不一定垂直；③中可以得到和γ相交或∥γ；④
中可以得到∥或，相交；只有②正确．
7.【答案】①②④
【解析】作出图形易知①正确；由BC⊥AE，BC⊥PE，可得BC⊥平面PAE，从而得DF⊥平面PAE，②正确；因为BC⊥平面PAE，BC⊂平面ABC，则平面PAE ⊥平面ABC，④正确．
8.【答案】9
【解析】分三类：
(1)在底面ABCD中，共有4个直角，因而有4个直角三角形；(2)四个侧面都是直角三角形；(3)过两条侧棱的截面中，△PAC为直角三角形．故共有9个直角三角形.
9.【答案】1
【解析】因为PA⊥平面ABCD，又QD⊂平面ABCD，则PA⊥QD，又PQ⊥QD，PA∩PQ=P，则QD⊥平面PAQ，又AQ⊂平面PAQ，则QD⊥AQ，取AD中点O，则Q
应在以O为圆心，以1
2
AD为半径的圆周上，又根据题意Q在BC上，则Q是圆O
与BC的交点，因为圆心O到直线BC的距离为1，圆O的半径也是1，所以圆O 与BC相切，所以满足题意的Q点有且仅有一个．
10.【答案】∠ABC
【解析】如图，由∠SAB=∠得SA⊥底面ABC，故SA⊥BC，又由∠，即SB⊥BC，又SA∩SB=S，所以BC⊥平面SAB，故BC⊥AB，即∠ABC 为直角．
11.【答案】线段B1C
【解析】连结AB1，B1C，AC，则BD1⊥平面B1AC，当P在B1C上运动时，AP ⊥BD1恒成立，故轨迹为线段B1C.
12.【答案】5
【解析】平面PAB⊥平面ABCD，平面PAD⊥平面ABCD，平面PAB⊥平面PAD，平面PAB⊥平面PBC，平面PAD⊥平面PCD.共有5对．
13.
【答案】MD⊥PC或MB⊥PC
【解析】连接AC.∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD.
∵PA⊥底面ABCD，
∴BD⊥平面PAC，∴PC⊥BD.∴当点M满足MD⊥PC(或MB⊥PC)时，PC⊥平面
MBD，从而有平面MBD⊥平面PCD.
14.【证明】因为侧面BCC1B1是菱形，所以B1C⊥BC1，又已知B1C⊥A1B，且A1B∩BC1=B，
所以B1C⊥平面A1BC1，又B1C⊂平面AB1C，
所以平面AB1C⊥平面A1BC1.
15.【证明】∵平面ABCD⊥平面ABE，CB⊥AB，平面ABCD∩平面ABE=AB，∴CB ⊥平面ABE，∵AE⊂平面ABE，∴AE⊥CB，
∵AB为圆O的直径，∴AE⊥BE，
又BE∩CB=B，∴AE⊥平面CBE.
16.
【证明】(1)如图，连结AC，交BD于O，连结OE.
∵DB平分∠ADC，AD=CD，
∴AC⊥BD且OC=OA.
又∵E为PC的中点，
∴OE∥PA，
又∵OE⊂平面BDE，PA⊄平面BDE，
∴PA∥平面BDE.
(2)由(1)知AC⊥DB，∵PD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥PD，
∵PD，BD⊂平面PDB，PD∩DB=D，
∴AC⊥平面PDB，又AC⊂平面PAC，
∴平面PAC ⊥平面PDB.
17. 【证明】
(1)因为ABCD­A 1B 1C 1D 1是正方体，所以AC ⊥BD ，AA 1⊥平面ABCD.
而BD ⊂平面ABCD ，于是BD ⊥AA 1，因为AC ，AA 1⊂平面A 1ACC 1，AC∩AA 1=A ，所以BD ⊥平面A 1ACC 1，因为BD ⊂平面BC 1D ，所以平面BC 1D ⊥平面A 1ACC 1.
(2)设AC 与BD 交于点O ，连C 1O ，
因为C 1O ，CO ⊂平面A 1ACC 1，而BD ⊥平面A 1ACC 1，CO ⊥BD ，故C 1O ⊥BD ，则∠C 1OC 是二面角C 1BDC 的平面角，设正方体的棱长为a ，则CO=2
2a ，在Rt △C 1OC
中，tan ∠C 1OC=C 1C OC =a
2
2
a =2，故二面角C 1BDC 的正切值为 2.。