2019届全国高三原创精准冲刺试卷(十七)理科数学

2019届全国高三原创精准冲刺试卷（十七）
理科数学
本试题卷共6页，23题（含选考题）。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

★祝考试顺利★
注意事项：
1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。

2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。

答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题：
1.已知集合A=，集合，则 ( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
利用一元二次不等式的解法化简集合，利用补集的定义求出集合的补集，由交集的定义可得结果.
【详解】利用一元二次不等式的解法化简集合,
或，又因为，
所以，故选A.
【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键
是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足不属于集合且属于集合的元素的集合.
2.下列四个结论, 其中正确的是（）
①命题“”的否定是“”；
②若是真命题，则可能是真命题；
③“且”是“”的充要条件；
④当时，幂函数在区间上单调递减.
A. ①④
B. ②③
C. ①③
D. ②④
【答案】A
【解析】
【分析】
根据特称命题的否定判断①；利用且命题与非命题的定义判断②；根据充要条件的定义判断③；根据幂函数的性质判断④.
【详解】根据特称命题的否定是全称命题可得“”的否定是“”，①正确；
是真命题可得都是真命题，一定是假命题，②不正确；
“”不能推出“且”，③不正确；
根据幂函数的性质可得，当时，幂函数在区间上单调递减，④正确，
故选A.
【点睛】本题主要通过对多个命题真假的判断，主要综合考查特称命题的否定；且命题与非命题的定义；充要条件的定义；幂函数的性质，属于中档题. 这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题.
3.等差数列前项和为，若，是方程的两根，则（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由韦达定理可得，结合等差数列的性质以及等差数列的求和公式，即可求得结论. 【详解】是方程的两根，
，
，
，故选C.
【点睛】本题主要考查等差数列的性质与求和公式，属于中档题. 解等差数列问题要注意应用等差数列的性质（）与前项和的关系.
4.设平面向量，，若，则等于（）
A. 4
B. 5
C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】
利用向量共线定理即可得出，从而计算出的坐标，利用向量模的公式即可得结果. 【详解】，解得，
，
，故选D.
【点睛】本题主要考查平面向量平行的性质以及向量模的坐标表示，属于中档题. 利用向量的位置关系求参数是出题的热点，主要命题方式有两个：（1）两向量平行，利用解答；（2）两向量垂直，利用解答.
5.若两个正实数满足，则的最小值为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据可得，然后展开，利用基本不等式求出最值，注意等号成立的条件.
【详解】两个正实数满足，
，
当且仅当时，即取等号，
故的最小值是8，故选A.
【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.
6.已知是定义在上的偶函数，且在上是增函数，设，，
，则的大小关系是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
先利用对数函数与指数函数的性质可得，由是定义在上的偶函数，且在上是增函数，可得在上是减函数，从而可得结果.
【详解】根据对数函数的性质可得；
根据指数函数的性质可得,
所以,
因为是定义在上的偶函数，且在上是增函数，
所以在上是减函数，
所以
即,故选D.
【点睛】在比较，，，的大小时，首先应该根据函数的奇偶性与周期性将，
，，通过等值变形将自变量置于同一个单调区间，然后根据单调性比较大小．
7.已知且,则的值为 ( )
A. B. 7 C. D. -7
【答案】A
【解析】
【分析】
因为且，所以，，由两角和的正切公式可得结果.
【详解】因为且,
所以，,
可得，故选A.
【点睛】三角函数求值有三类，(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角
8.设实数满足不等式组，则的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
作出不等式组表示的可行域，就是可行域内的点到原点距离的平方，利用数形结合即可得结果.
【详解】
设，则的几何意义为动点到原点距离的平方，
作出不等式组，对应的平面区域如图，
由图象可知点到原点的距离最大，
最大值为4，
原点到直线的距离最小，
的最小值为，
的取值范围是，故选B.
【点睛】本题主要考查点到直线的距离公式，以及简单线性规划的应用，利用目标函数的几何意义是解决线性规划问题的基本方法，利用数形结合是解决本题的关键.
9.中，角的对边长分别为，若，则的
最大值为 ( ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
利用正弦定理，将已知等式化简整理得，两边同除以，得到
，利用两角差的正切公式，得，最后利用基本不等式求最值 .
【详解】，
结合正弦定理与，
可得，
整理得，
同除以，得，
由此可得，
是三角形内角，且与同号，
都是锐角，即，
，当且仅当，
即时，的最大值为，故选C.
【点睛】本题主要考查了正弦定理、两角差的正切公式和基本不等式求最值等知识，属于中档题. 正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下三种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.
10.已知A是函数的最大值，若存在实数使得对任意实数
总有成立，则的最小值为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
将函数利用辅助角公式化为，依题意可知的最小值为,从而可得结论.
【详解】
,
，周期，
由存在实数，对任意实数总有成立，
，
的最小值为，又，
的最小值为，故选B.
【点睛】本题主要考查辅助角公式的应用以及两角和的正弦公式、两角差的余弦公式、正弦函数性质，属于难题. 由函数可求得函数的最大值；函数的周期为；由
可得对称轴方程；由可得对称中心横坐标.
11.已知函数f(x)＝a1x＋a2x2＋a3x3＋…＋a n x n(n∈N*，x∈R)，且对一切正整数n都有f(1)＝n2成立，则=（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
中令，结合，可得,再根据等差数列的前项和与第项的关系求出的值，由裂项相消法进行数列求和，即可得结果.
【详解】设数列的前项和为,
对一切正整数 ,都有成立,
，
当时，；
当时，，
当时上式成立，，
则
，故选A.
【点睛】本题主要考查等差数列的前项和与第项的关系，以及裂项相消法求数列的和，属于中档题. 已知数列前项和与第项关系，求数列通项公式，常用公式，将所给条件化为关于前项和的递推关系或是关于第项的递推关系，若满足等比数列或等差数列定义，用等比数列或等差数列通项公式求出数列的通项公式，否则适当变形构造等比或等数列求通项公式. 在利用与通项的关系求的过程中，一定要注意的情况.
12.已知方程恰有四个不同的实数根，当函数时，实数K的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
利用导数判断的单调性和极值，得出方程的根分布情况，从而得出方程
恰有四个不同的实数根等价于关于的方程在上有一个解，在
上有一个解，利用二次函数的性质列不等式可求出的范围.
【详解】
，
令，解得或，
当或时，；当时，，
在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
当时，函数取得极大值，
当时，函数取得极小值，
作出的大致函数图象如图所示，
令，则当或时，关于的方程只有一个解；
当时，关于的方程有两个解；
当时，关于的方程有三个解，
恰有四个零点，
关于的方程在上有一个解，
在上有一个解，
显然不是方程的解，
关于的方程在和上各有一个解，
，解得，
即实数的取值范围是，故选B.
【点睛】已知函数零点(方程根)的个数，求参数取值范围的三种常用的方法：(1)直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法，先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．一是转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为的交点个数的图象的交点个数问题 .
二、填空题：
13.若函数，则____________.
【答案】
【解析】
【分析】
直接利用微积分基本定理求解即可.
【详解】，
则，
故答案为.
【点睛】本题主要考查微积分基本定理求函数的定积分，意在考查对基本定理的掌握与应用，属于简单题.
14.已知，，，则向量与向量的夹角为_______________.
【答案】
【解析】
【分析】
由条件利用两个向量垂直的性质,两个向量的数量积的定义，求得向量与向量的夹角的余弦值,可得向量与向量的夹角的值.
【详解】由题意可得，即,
为向量与向量的夹角），
求得，故答案为.
【点睛】本题主要考查向量的模、夹角及平面向量数量积公式，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是，二是，主要应用以下几个方面:(1)求
向量的夹角，（此时往往用坐标形式求解）；（2）求投影，在上的投影是；（3）向量垂直则;(4)求向量的模（平方后需求）.
15.在平行四边形ABCD中，AD＝1，∠BAD＝60°，E为CD的中点，若，则AB的长为__________．
【答案】2
【解析】
【分析】
由向量运算的三角形法则可得，再根据
，从而求得的值.
【详解】
如图所示，由向量运算的三角形法则可得，
再根据
，求得，故答案为2.
【点睛】本题主要考查向量的几何运算以及平面向量数量积公式，属于中档题．向量的运算有两种方法，一是几何运算往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：（１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）；二是坐标运算：建立坐标系转化为解析几何问题解答（求最值与范围问题，往往利用坐标运算比较简单）．
16.已知x<0，且x-y=1，则的最大值是____．
【答案】
【解析】
【分析】
由题意可得，可得，运用基本不等式
可得最大值．
【详解】，且，可得，
则
，
当且仅当时，上式取得最大值，则的最大值是，故答案为.【点睛】本题主要考查了基本不等式.基本不等式求最值应注意的问题(1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是对其前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可．(2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件．
三、解答题：
17.设函数.
（1）若，求不等式的解集；
（2）若关于的不等式恒成立，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）对分三种情况讨论，分别去掉绝对值符号，然后求解不等式组，再求并集即可得结果；（2）不等式恒成立等价于，因为，所以可得，从而可得结果.
【详解】（1）当时，.由，得.
①当时，不等式化为，即.所以，原不等式的解为.
②当时，不等式化为1-x+1+x≥3，即2≥3.所以，原不等式无解.
③当x≥1时，不等式化为，即.所以，原不等式的解为.
综上，原不等式的解为.
（2）因为，
所以，所以，解得或，即的取值范围为. 【点睛】绝对值不等式的常见解法：
①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；
②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；
③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．
18.已知数列的前项和为，
⑴求数列的通项公式；
⑵数列满足，，求数列的前n项和.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）利用，可得时，，检验当时是否成立即可得结果；（2）因为数列满足，，所以由等比数列的通项公式可得，结合（1）可得,利用错位相减法，结合等比数列的求和公式可得结果.
【详解】（1），
当时，，
又当时，适合上式，
.
（2）因为数列满足，，
所以由等比数列的通项公式可得，
可得,
,
,
两式相减可得：
，
所以，.
【点睛】本题主要考查等差数列的通项以及错位相减法求数列的前项和，属于中档题.一般地，如果数列是等差数列，是等比数列，求数列的前项和时，可采用“错位相
减法”求和，一般是和式两边同乘以等比数列的公比，然后作差求解, 在写出“”
与“” 的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表
达式.
19.已知a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且满足．
（1）求角A的大小；
（2）若，，求的面积．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
(1)由可得，由余弦定理可得，结合范围，即可求得的值；(2)由及正弦定理可得，又，由余弦定理可解得的值，利用三角形面积公式即可得结果.
【详解】（1）∵，可得：，
∴由余弦定理可得：，
又∵，∴
（2）由及正弦定理可得：，
∵，，
∴由余弦定理可得：，
∴解得：，，
∴
【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理及特殊角的三角函数以及三角形面积公式的应用，属于中档题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.
20.已知数列的前n项和为, 其中，数列满足.
(1)求数列的通项公式;
(2)令，数列的前n项和为，若对一切恒成立，求实数k 的最小值.
【答案】（1），；（2）
【解析】
【分析】
（1）由可得，两式相减得:
，利用等比数列的定义可得结果；(2) 由（1）知
，利用裂项相消法和数列的单调性求岀结果. 【详解】（1）由可得，
两式相减得: ，
又由可得，
数列是首项为2，公比为4的等比数列，从而，
于是.
（2）由（1）知，
于是，
依题意对一切恒成立，
令，则
由于易知，
即有，
∴只需，
从而所求k的最小值为.
【点睛】本题主要考查等比数列的通项，以及裂项相消法求数列的和，属于中档题. 裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法
是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)；（2）
；（3）；（4）
；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.
21.近年电子商务蓬勃发展，平台对每次成功交易都有针对商品和快递是否满意的评价系统.从该评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，网购者对商品的满意率为0.70，对快递的满意率为0.60,商品和快递都满意的交易为80
（1）根据已知条件完成下面的2×2列联表，并回答能否有99%认为“网购者对商品满意与对快递满意之间有关系”？
（2）若将频率视为概率，某人在该网购平台上进行的3次购物中，设对商品和快递都满意的次数为随机变量，求的分布列和数学期望E(x).
附：，
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】
【分析】
(1) 根据所给数据可完成列联表，由列联表利用公式求得，与邻界值比较，即可得到结论；（2）每次购物时，对商品和快递都满意的概率为，且的取值可以是，，，，根据独立重复试验概率公式求出各随机变量对应的概率，从而可得分布列，进而利用期望公式可得的数学期望.
（2）
【详解】（1）列联表：
，
由于，所以没有的把握认为“网购者对商品满意与对快递满意之间有关系”.（2）每次购物时，对商品和快递都满意的概率为，且的取值可以是，，，.
；
；
；
.
的分布列为：
所以.
【点睛】本题主要考查独立性检验的应用以及离散型随机变量的分布列与数学期望，属于中档题. 求解数学期望问题，首先正确要理解题意，其次要准确无误的找出随机变量的所以可能值，计算出相应的概率，写出随机变量的分布列，正确运用均值、方差的公式进行计算，也就是要过三关：（1）阅读理解关；（2）概率计算关；（3）公式应用关.
22.已知函数.
（1）若，求函数的极值点；
（2）若，函数有两个极值点，，且，求的最小值。

【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）求出，分两种情况讨论的范围，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间，根据函数的单调性可得函数的极
值；（2），记
,，利用导数研究函数的单调性，由单调性可求得，从而可得结果.
【详解】（1）的定义域为，，
①若，则，
所以当时，，所以在上单调递增，
所以无极值点．
②若，则，
由得，.
当的值变化时，，的值的变化情况如下：
所以有极大值点，极小值点．
（2）由（1）及条件可知
，
且, ,即,，
所以,
记,，
因为当时，，
所以在上单调递减，因为，
所以，即.
【点睛】本题主要考查利用导数判断函数的单调性以及函数的极值、利用导数证明不等式，属于难题.求函数极值的步骤：(1) 确定函数的定义域；(2) 求导数；(3) 解方程
求出函数定义域内的所有根；(4)检查在的根左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那么在处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么在处取极小值. （5）如果只有一个极值点，则在该处即是极值也是最值；（6）如果求闭区间上的最值还需要比较端点值的函数值与极值的大小.
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