2024-2025学年初中数学九年级上期末考点大串讲(北师版)考点串讲04图形的相似【9大考点】

∴BC＝3CE， ∴CE＝ BE＝ ×12＝3，
故选：A．
C．5
D．6
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考点3：相似多边形的性质
相似多边形的概念：如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，我们就说它们是相 似多边形．
注意：（1）相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质． （2）相似多边形对应边的比称为相似比．
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∵△AEH∽△ABC，∴
，得
，解得
，
∴正方形 EFGH 的边长为 ．
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变式 7：（2023 春•烟台期末）如图，在△ABC 中，BC＝12，高 AD＝6，正方形 EFGH 一边 在 BC 上，点 E，F 分别在 AB，AC 上，AD 交 EF 于点 N，求 AN 的长．
【解答】解：设正方形 EFGH 的边长 EF＝EH＝x， ∵四边形 EFGH 是正方形，∴∠HEF＝∠EHG＝90°，EF∥BC，∴△AEF∽△ABC， ∵AD 是△ABC 的高，∴∠HDN＝90°，∴四边形 EHDN 是矩形，∴DN＝EH＝x， ∵△AEF∽△ABC，∴ ＝ （相似三角形对应边上的高的比等于相似比）， ∵BC＝12，AD＝6，∴AN＝6﹣x，∴ ＝ ，解得：x＝4，∴AN＝6﹣x＝6﹣4＝2．
【解答】（1）证明：∵CD⊥AB，∴∠CDA＝∠CDB＝90°，∵∠ACB＝90°， ∴∠ACD+∠BCD＝90°，∠BCD+∠B＝90°，∴∠ACD＝∠B，∴△ACD∽△CBD． （2）解：∵△ACD∽△CBD，∴ ＝ ，∴CD2＝AD•DB， ∵AD＝6，BD＝AB﹣AD＝2，∴CD2＝12，∵CD＞0，∴CD＝2 ．
2．成比例线段：对于四条线段 a、b、c、d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相 等，如 a:b=c:d，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． 3．比例的基本性质： （1）若 a:b=c:d ，则 ad=bc；
（2）若 a:b=b:c ，则 b2 =ac（b 称为 a、c 的比例中项）．
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考点7：射影定理
射影定理 直角三角形斜边上的高是它分斜边所得两条线段的比例中项；且每 条直角边都是它在斜边上的射影和斜边的比例中项。
如图（１）：Ｒt△ＡＢＣ中，若ＣＤ为高， 则有ＣD２＝ＢＤ•AD、 ＢＣ２＝ＢＤ•ＡＢ或 ＡＣ２＝ＡＤ•ＡＢ。（证明略）
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典例 8：（2023 春•梁溪区校级期末）如图，Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，CD 是边 AB 上的 高． （1）求证：△ACD∽△CBD； （2）若 AB＝8，AD＝6，求 CD 的长．
类型 1 平行线等分线段定理
如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段也相等.
几何语言：
如图一：直线AB//CD//EF,直线AE、BF分别交AB、 CD、EF于A、B、C、D、E、F. 若AC EC,则BD FD 类型 2 平行线分线段成比例定理
（1）定理 1：平行于三角形一边的直线与其它两边(或两边的延长线)相交,截得的对应线段成比例.
九年级期末大串讲复习
第四章 相似三角形
第四章 相似三角形
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考点1 比例线段
1．线段的比： 如果选用同一长度单位量得两条线段 a、b 长度分别是 m、n，那么就a m ． bn
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典例 5：（2022 秋•铜仁市期末）如图，D，E 分别为 AB，AC 边上两点，且 AD＝5，BD＝3，AE＝4，CE＝6．求证：△ADE∽△ACB．
【解答】证明：∵AD＝5，BD＝3，AE＝4，CE＝6， ∴AB＝AD+BD＝8，AC＝AE+CE＝10，
∴
，
，
∴
，又∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ACB．
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考点4：相似三角形的判定
1．判定方法（1）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形 相似. 2．判定方法（2）：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似. 3．判定方法（3）：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么 这两个三角形相似.
图四
图五
如图四，在ABC中，DE//BC. 则 AD AE
DB EC
如图五，在ABC中，DE//BC.交CA、BA延长线于E、D。 则 AD AE
AB AC
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典例 3：（2022 秋•惠安县期末）如图，直线 l1∥l2∥l3，若 AB＝3，BC＝6，DE ＝2，则 DF 的长是（ ）
A．4
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变式 8：（2023•湘潭）在 Rt△ABC 中，∠BAC＝90°，AD 是斜边 BC 上的高． （1）证明：△ABD∽△CBA； （2）若 AB＝6，BC＝10，求 BD 的长．
【解答】（1）证明：∵AD 是斜边 BC 上的高，∴∠BDA＝90°，∵∠BAC＝90°，
∴∠BDA＝∠BAC，又∵∠B 为公共角，∴△ABD∽△CBA；
B．5
【解答】解：∵根据 l1∥l2∥l3，
∴
，
∴
，
解得 EF＝4， ∴DF＝DE+EF＝2+4＝6， 故选：C．
C．6
D．7
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变式 3：（2023 春•任城区期末）如图：AB∥CD∥EF，AD：DF＝3：1，BE＝12， 那么 CE 的长为（ ）
A．3
B．4
【解答】解：∵AB∥CD∥EF， ∴ ＝ ＝3，
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【解答】解：（1）在 Rt△ABC 中，∵∠A＝90°，AC＝9，BC＝15，
∴
，
∵
，
∴
；
（2）解：∵四边形 EFGH 是正方形，∴EH∥BC，∴△AEH∽△ABC， 如图，设 AD 与 EH 交于点 M，∵∠EFD＝∠FEM＝∠FDM＝90°， ∴四边形 EFDM 是矩形，∴EF＝DM，设正方形 EFGH 的边长为 x，
B．因为 ＝ ，所以 4m＝5n，符合题意；
C．因为 ＝ ，所以 5m＝4n，不符合题意；
D．因为 ＝ ，所以 mn＝20，不符合题意．
故选：B．
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典例 2：（2023•金山区一模）下列各组中的四条线段成比例的是（ ）
A．1cm，2cm，3cm，4cm
B．2cm，3cm，4cm，5cm
C．2cm，3cm，4cm，6cm
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变式 9：（2022 秋•贵阳期末）小星测量如图所示大楼的高度 MN．在距离大楼 39m 的点 B 处竖立一根长为 3m 的标杆 AB．他调整 自己的位置．站在 D 处时．使得他直立时眼睛 C、标杆顶点 A 和高楼顶点 M 三点共线．已知 BD＝1m．小星的眼睛距离地面高 度 CD 为 1.7m．求大楼的高度．
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变式 5：（2023•海淀区校级开学）如图，在△ABC 中，AB＝12，AC＝8，点 D，E 分别在边 AB，AC 上，且 BD＝8，EC＝2． 求证：△ADE∽△ACB．
【解答】解：∵AB＝12，AC＝8，BD＝8，EC＝2．
∴AD＝AB﹣BD＝12﹣8＝4，AE＝AC﹣CE＝8﹣2＝6，
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典例 9：（2023•启东市二模）如图，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平 面镜．手电筒的灯泡在点 G 处，手电筒的光从平面镜上点 B 处反射后，恰好经过木板的边缘点 F，落在墙上的点 E 处．点 E 到地面的高度 DE＝3.5m，点 F 到地面的高度 CF＝1.5m，灯泡到木板的水平距离 AC＝5.4m，墙到木板的 水平距离为 CD＝4m．已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点 A、B、C、D 在同一水平面上． （1）求 BC 的长． （2）求灯泡到地面的高度 AG．
A．1，2，3，4 B．1，2，3，6 C．2，3，4，5 D．1，3，4，7
【解答】解：A、1×4≠2×3，所以 A 选项不符合题意；
B、1×6＝2×3，所以 B 选项符合题意；
C、2×5≠4×3，所以 C 选项不符合题意；
D、1×7≠3×4，所以 D 选项不符合题意；
故选：B．
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考点2：平行线分线段成比例
∵余下的矩形 EBCF∽矩形 BCDA，
∴
，
即
，
∴CF＝1， 故答案为：1．
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变式 4：（2022 秋•双牌县期末）已知相似三角形的相似比为 9：4，那么这两个三角形的周长比为（ ）
A．9：4
B．4：9
C．3：2
D．81：16
【解答】解：三角形的周长比等于相似多边形的相似比为 9：4． 故周长比也为 9：4． 故选：A．
D．3cm，4cm，6cm，9cm
【解答】解：A、∵1×4≠2×3，∴四条线段不成比例，不符合题意；
B、∵2×5≠3×4，∴四条线段不成比例，不符合题意；
C、∵2×6＝3×4，∴四条线段成比例，符合题意；
D、∵3×9≠4×6，∴四条线段成比例，不符合题意；
故选：C．
变式 2：（2022 秋•叙州区期末）下列给出长度的四条线段中，是成比例线段的是（ ）
（2）解：由（1）知△ABD∽△CBA，
∴
，
∴
，
∴BD＝3.6．
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考点8：相似三角形的实际应用
知识点 1 利用相似三角形测量高度 测量不能到达顶部的物体的高度，通常使用“在同一时刻物高与影长的比例
相等”的原理解决. 注意：测量旗杆的高度的几种方法：
平面镜测量法
影子测量法
手臂测量法
标杆测量法
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如图一：
∽
，则
由比例性质可得：
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相似三角形面积的比等于相似比的平方
如图二，
∽
，则
分别作出
与
的
高和
，则
S△ABC S△ ABC
1 BC 2 1 BC
AD AD
1 k BC k AD
2 1 BC AD
=k 2
2
2
图二
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典例 6：（2023•南明区校级模拟）若两个相似三角形的对应高的比为 3：5，则它们对应周长
的比为（ ）
A．3：5
B．9：25
C．1：3
D．1：5
【解答】解：∵两个相似三角形的对应高的比为 3：5， ∴两个相似三角形的相似比为 3：5， ∴它们对应周长的比为 3：5， 故选：A．
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变式 6：（2022 秋•昌图县期末）已知两个相似三角形的相似比是 1：3，那么它们的面积比
是（ ）
A．1：3
典例 4：（2023•婺城区模拟）如图，矩形 ABCD 中，AD＝2，AB＝4，剪去一个 矩形 AEFD 后，余下的矩形 EBCF∽矩形 BCDA，则 CF 的长为 ．
【解答】解：∵四边形 ABCD 是矩形，
∴AD＝BC＝2，AB＝DC＝4，
∵四边形 EFBC 是矩形，
∴EF＝BC＝2，CF＝BE，
B．1：6
C．1：9
D．3：1
【解答】解：∵两个相似三角形的相似比是 1：3， ∴它们的面积比＝1：9． 故选：C．
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考点6：相似三角形的性质与判定
典例 7：（2022 秋•江都区期末）如图，在 Rt△ABC 中，∠A＝90°，AC＝9，BC＝15． （1）求 BC 边上的高 AD 的长度； （2）正方形的一边 FG 在 BC 上，另两个顶点 E、H 分别在边 AB、AC 上，求正方形 EFGH 的边长．
知识点 2 利用相似三角形测量距离 测量不能直接到达的两点间的距离，常构造如下两种相似三角形求解。
1．如甲图所示，通常可先测量图中的线段 DC、BD、CE 的距离（长度），根据 相似三角形的性质，求出 AB 的长. 2．如乙图所示，可先测 AC、DC 及 DE 的长，再根据相似三角形的性质计算 AB 的长.
∴
，
，
∴
，
又∵∠A＝∠A， ∴△ADE∽△ACB．
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考点5：相似三角形的性质
相似三角形的对应角相等，对应边对应成比例.
相似三角形中的重要线段的比等于相似比. 相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比. 注意：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段.
相似三角形周长的比等于相似比
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典例 1：（2023 春•乳山市期末）若
A．
B．
，则 ＝（ ）
C．
D．
【解答】解：∵ ，∴
，∴ ＝
＝
，故选：C．
变式 1：（2023•大丰区校级模拟）若 4m＝5n（m≠0），则下列等式成立的是（ ）
A． ＝
B． ＝
C． ＝
D． ＝
【解答】解：A．因为 ＝ ，所以 5m＝4n，不符合题意；
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【解答】解：（1）由题意可得：FC∥DE，则△BFC∽BED，
故
，即
，解得：BC＝3；
（2）∵AC＝5.4m， ∴AB＝5.4﹣3＝2.4（m）， ∵光在镜面反射中的入射角等于反射角， ∴∠FBC＝∠GBA， 又∵∠FCB＝∠GAB， ∴△BGA∽△BFC， ∴＝，
∴
，
解得：AG＝1.2（m）， 答：灯泡到地面的高度 AG 为 1.2m．