高二数学上册课后强化练习题7

2.4第2课时
一、选择题
1．若a＝(2,3)，b＝(－4,7)，则a在b方向上的投影为()
A.65
5 B.65
C.13
5 D.13
[答案] A
[解析]∵cosθ＝
a·b |a|·|b|
＝2×(－4)＋3×7
4＋9·16＋49
＝
5
5，
∴a在b方向上的投影|a|cosθ
＝22＋32×
5
5＝
65
5.
2．(08·海南文)已知平面向量a＝(1，－3)，b＝(4，－2)，λa＋b 与a垂直，则λ＝()
A．－1 B．1
C．－2 D．2
[答案] A
[解析]a＝(1，－3)，b＝(4，－2)，
∴λa＋b＝λ(1，－3)＋(4，－2)＝(λ＋4，－3λ－2)，
∵λa＋b与a垂直，
∴λ＋4＋(－3)(－3λ－2)＝0，
∴λ＝－1，故选A.
3．(2018·重庆南开中学)平面向量a 与b 的夹角为60°，a ＝(2,0)，|b |＝1，则a ·b ＝( )
A.12 B ．1 C.32
D. 3
[答案] B
[解析] |a |＝2，a ·b ＝|a |·|b |·cos60°＝2×1×1
2＝1.
4．已知△ABC 中，AB →＝a ，AC →＝b ，a ·b <0，S △ABC ＝154，|a |＝3，|b |＝5，则a 与b 的夹角是( )
A ．30°
B ．150°
C ．210°
D ．30°或150°
[答案] B
[解析] 由a ·b <0知，a 、b 夹角是钝角， ∵S △ABC ＝154，∴12×3×5×sin A ＝154，∴sin A ＝12， ∵A 为钝角，∴A ＝150°.
5．已知向量a ＝(3，1)，b 是不平行于x 轴的单位向量，且a ·b ＝3，则b 等于( )
A.⎝ ⎛⎭⎪⎫32
，12
B.⎝ ⎛⎭⎪⎫
12
，32
C.⎝ ⎛⎭
⎪⎫
14，
334 D ．(1,0)
[答案] B
[解析] 方法1：令b ＝(x ，y )(y ≠0)，则
⎩⎪⎨⎪⎧
x 2＋y 2＝1， ①3x ＋y ＝3， ②
将②代入①得x 2＋(3－3x )2＝1，即2x 2－3x ＋1＝0， ∴x ＝1(舍去，此时y ＝0)或x ＝12⇒y ＝32.
方法2：排除法，D 中y ＝0不合题意；C 不是单位向量，舍去；代入A ，不合题意，故选B.
6．(2018·四川理，5)设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，BC
→2＝16，|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，则|AM →|＝( ) A ．8 B ．4 C ．2
D ．1
[答案] C
[解析] ∵|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，∴△ABC 是以A 为直角顶点的三角形，
又M 是BC 的中点，则|AM →|＝12|BC →|＝12×4＝2.
7．(2018·河北省正定中学模拟)已知向量a ＝(2cos θ，2sin θ)，b ＝
(0，－2)，θ∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π2，π，则向量a ，b 的夹角为( )
A.3π
2－θ B ．θ－π
2 C.π
2＋θ D ．θ
[答案] A
[解析] 解法一：由三角函数定义知a 的起点在原点时，终点落在圆x 2＋y 2＝4位于第二象限的部分上
(∵π
2<θ<π)，设其终点为P ，则∠xOP ＝θ，
∴a 与b 的夹角为3π
2－θ.
解法二：cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a |·|b |＝－4sin θ
2×2
＝－sin θ＝cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
3π2－θ，
∵θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴3π
2－θ∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2，π，
又〈a ，b 〉∈(0，π)，∴〈a ，b 〉＝3π2－θ. 8．若非零向量a 、b 满足|a ＋b |＝|b |，则( ) A ．|2a |>|2a ＋b | B ．|2a |<|2a ＋b | C ．|2b |>|a ＋2b | D ．|2b |<|a ＋2b | [答案] C
[解析] 由已知(a ＋b )2＝b 2，即2a ·b ＋|a |2＝0.
∵|2a ＋b |2－|2a |2＝4a ·b ＋|b |2＝|b |2－2|a |2符号不能确定，∴A 、B 均不对．
∵|a ＋2b |2－|2b |2＝|a |2＋4a ·b ＝|a |2－2|a |2＝－|a |2<0.故选C.
9．设A (a,1)、B (2，b )、C (4,5)为坐标平面上三点，O 为坐标原点，若OA
→与OB →在OC →方向上的投影相同，则a 与b 满足的关系式为( ) A ．4a －5b ＝3 B ．5a －4b ＝3 C ．4a ＋5b ＝14 D ．5a ＋4b ＝14
[答案] A
[解析] 据投影定义知，OA →·OC →|OC →|＝OB →·OC
→|OC →|
⇒OA →·OC →－OB →·OC →＝0⇒BA →·OC →＝0， ⇒4(a －2)＋5(1－b )＝0⇒4a －5b ＝3.
10．(08·浙江)已知a 、b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足(a －c )·(b －c )＝0，则|c |的最大值是( )
A ．1
B ．2 C. 2
D.2
2
[答案] C
[解析] 由(a －c )·(b －c )＝0得a ·b －(a ＋b )·c ＋c 2＝0，即c 2＝(a ＋b )·c ，故|c |·|c |≤|a ＋b |·|c |，即|c |≤|a ＋b |＝2，故选C.
二、填空题
11．已知a ＝(1,2)，b ＝(－2,1)，则与2a －b 同方向的单位向量e 为________．
[答案] ⎝ ⎛⎭
⎪⎫45，35
[解析] ∵2a －b ＝2(1,2)－(－2,1)＝(4,3)， ∴同方向的单位向量e ＝(4，3)42＋32＝⎝
⎛⎭⎪⎫
45，35.
12．(2018·金华十校)△ABO 三顶点坐标为A (1,0)，B (0,2)，O (0,0)，P (x ，y )是坐标平面内一点，满足AP →·OA →≤0，BP →·OB →≥0，则OB →·AB →的最小值为________．
[答案] 3
[解析] ∵AP →·OA →＝(x －1，y )·(1,0)＝x －1≤0，∴x ≤1，∴－x ≥
－1，
∵BP →·OB →＝(x ，y －2)·(0,2)＝2(y －2)≥0， ∴y ≥2.
∴OP →·AB →＝(x ，y )·(－1,2)＝2y －x ≥3.
13．设向量a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，(a －b )⊥c ，a ⊥b .若|a |＝1，则|a |2＋|b |2＋|c |2的值是________．
[答案] 4
[解析] ∵a ＋b ＋c ＝0，∴c ＝－(a ＋b )． ∵(a －b )⊥c ，∴(a －b )·[－(a ＋b )]＝0. 即|a |2－|b |2＝0，∴|a |＝|b |＝1， ∵a ⊥b ，∴a ·b ＝0，
∴|c |2＝(a ＋b )2＝|a |2＋2a ·b ＋b 2＝1＋0＋1＝2. ∴|a |2＋|b |2＋|c |2＝4. 三、解答题
14．已知向量a ＝(－3,2)，b ＝(2,1)，c ＝(3，－1)，t ∈R . (1)求|a ＋t b |的最小值及相应的t 值； (2)若a －t b 与c 共线，求实数t .
[解析] (1)a ＋t b ＝(2t －3,2＋t )，|a ＋t b |2＝(2t －3)2＋(2＋t )2＝5t 2
－8t ＋13＝5⎝ ⎛⎭
⎪⎫t －452＋495，当t ＝45时，|a ＋t b |取得最小值75
5. (2)a －t b ＝(－3－2t,2－t )，因为a －t b 与c 共线，所以3＋2t －6＋3t ＝0，即t ＝3
5.
15．已知AB →＝(6,1)，BC →＝(x ，y )，CD →＝(－2，－3)，若BC →∥DA →，AC
→⊥BD →.
(1)求x 、y 的值；
(2)求四边形ABCD 的面积．
[解析] (1)AD
→＝AB →＋BC →＋CD →＝(4＋x ，y －2)， ∴DA
→＝(－4－x,2－y )， 由BC
→∥DA →得，x (2－y )＋y (4＋x )＝0① AC
→＝AB →＋BC →＝(6＋x ，y ＋1)， BD
→＝BC →＋CD →＝(x －2，y －3)， 由AC
→⊥BD →得， (6＋x )(x －2)＋(y ＋1)(y －3)＝0②
由①②解得x ＝2，y ＝－1或x ＝－6，y ＝3. (2)当x ＝2，y ＝－1时，AC
→＝(8,0)，BD →＝(0,4)， ∴S 四边形ABCD ＝12|AC →|·|BD →|＝1
2×8×4＝16； 当x ＝－6，y ＝3时，AC
→＝(0,4)，BD →＝(－8,0)， ∴S 四边形ABCD ＝12|AC →|·|BD →|＝12×4×8＝16.
16．已知a ＝(3，－1)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫
12
，32.
(1)求证：a ⊥b ；
(2)若存在不同时为0的实数k 和t ，使x ＝a ＋(t －3)b ，y ＝－k a ＋t b ，且x ⊥y ，试求函数关系式k ＝f (t )；
(3)求函数k ＝f (t )的最小值．
[解析] (1)由a ·b ＝32－3
2＝0，得a ⊥b .
(2)由x ⊥y 得，x ·y ＝[a ＋(t －3)b ]·(－k a ＋t b )＝0，即－k a 2－k (t －
3)a ·b ＋t a ·b ＋t (t －3)b 2＝0.
－k a 2＋t (t －3)b 2＝0. ∴k ＝1
4t (t －3)．
(3)k ＝14t (t －3)＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫t －322－916，
所以当t ＝32时，k 取最小值－9
16.
17．如图所示，已知△ABC 中，A (2，－1)，B (3,2)，C (－3，－1)，AD 是BC 边上的高，求AD
→及点D 的坐标．
[解析] 设点D 的坐标为(x ，y )，∵AD 是BC 边上的高， ∴AD
→⊥BC →，CD →与BC →共线． 又AD
→＝(x －2，y ＋1)，BC →＝(－6，－3)． CD
→＝(x ＋3，y ＋1)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ －6(x －2)－3(y ＋1)＝0，－3(x ＋3)＋6(y ＋1)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧
2x ＋y －3＝0，
x －2y ＋1＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝1，y ＝1，
∴D 点坐标为(1,1)，∴AD
→＝(－1,2)． 18．已知O 为平面直角坐标系的原点，设OA
→＝(2,5)，OB →＝(3,1)，OC
→＝(6,3)．在线段OC 上是否存在点M ，使MA ⊥MB .若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．
[解析] 设OM →＝tOC →，t ∈[0,1]．则OM →＝(6t,3t )， 即M (6t,3t )．
∴MA
→＝OA →－OM →＝(2－6t,5－3t )， MB
→＝OB →－OM →＝(3－6t,1－3t )． ∵MA ⊥MB ，∴MA →·MB →＝(2－6t )(3－6t )＋(5－3t )(1－3t )＝0， 即45t 2
－48t ＋11＝0，t ＝13或t ＝11
15.
∴存在点M ，M 点的坐标为(2,1)或⎝ ⎛⎭⎪⎫
225
，115.。