2019-2020学年北京市昌平区八年级上册期末数学试卷

2019-2020学年北京市昌平区八年级上册期末数学试卷
题号一二三四总分
得分
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共8小题，共16.0分）
1.若分式|m|−1
m−1
的值为零，则m的取值为()
A. B. C. m=1 D. m的值不存在
2.下列方程中，是关于x的一元二次方程的是()
A. 3x+1=5x+7
B. 1
x2
+x−1=0
C. ax2−bx=5(a和b为常数)
D. 3(x+1)2=2(x+1)
3.下列二次根式中，与√3不是同类二次根式的是()
A. √1
3
B. √12
C. √18
D. √27
4.下列各式中，正确的是()
A. 1+b
a+2b =1
a+2
B. a−2
a2−4
=1
a−2
C. a+2
a−2=a2−4
(a−2)2
D. −1−b
a
=−1−b
a
5.某同学手里拿着长为3和2的两根木棍，想要再找一根木棍，用它们围成一个三角
形，那么他所找的这根木棍的长满足条件的整数是()
A. 1，3，5
B. 1，2，3
C. 2，3，4
D. 3，4，5
6.正方体A的体积是正方体B的体积的27倍，那么正方体A的棱长是正方体B的棱
长的()．
A. 2倍
B. 3倍
C. 4倍
D. 5倍
7.将一副三角板如图所示放置，使得两条直角边在一条
直线上，则∠1的度数是()
A. 80°
B. 75°
C. 60°
D. 55°
8. 下列几组数中，为勾股数的是( )
A. 3、4、6
B. 13、14、1
5
C. 7、24、25
D. 0.9、1.2、1.6
第II 卷（非选择题）
二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）
9. 若√3−a 在实数范围内有意义，则a 的取值范围是______．
10. 已知关于x 的一元二次方程x 2+(a −1)x +a =0有一个根是−2，则a 的值为
______．
11. 如图，某同学把三角形玻璃打碎成三片，现在他要去配
一块完全一样的，你帮他想一想，带_____片去．应用的原理是__________(用字母表示)．
12. 已知等腰三角形的一腰长为5，周长为14，则它的底边长为______． 13. √18×√20=______ 14. 已知实数a 满足|2009−a|+
=a ，
那么a −20092的值是__________． 15. 如图，在等边三角形ABC 中，AD ⊥BC ，垂足为D ，且
AD =6，E 是AC 边的中点，M 是AD 边上的动点，则EM +CM 的最小值是__________．
16. 比较大小：8√7______7√8，√7−√6______√6−√5 三、计算题（本大题共2小题，共10.0分） 17. 解方程：3x 2–4x +1=0
18.化简：a+1
a2−a +1
a
．
四、解答题（本大题共10小题，共58.0分）
19.计算：(π−4)0+(−1)−2−|√2−2|．
20.解方程：3
y −4
y−1
=6
y−y2
．
21.如图，点B、E、C、F在同一直线上，∠A=∠D，AB//DE，AB=DE.求证：BE=CF．
22.关于x的一元二次方程x2−2x−(n−1)=0有两个不相等的实数根．
(1)求n的取值范围；
(2)若n为取值范围内的最小整数，求此方程的根．
23.如图，正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫格点．
(1)在图①中，以格点为端点，画线段MN=√17；
(2)在图②中，以格点为顶点，画正方形ABCD，使它的面积为13．
24.先化简：(a−2
a+2−a+2
a−2
)÷4a−4
a2−4
，再从−2、2、−1、1中选择一个合适的数代入求值．
25.如图，△ABC的边AB=8，BC=5，AC=7.求BC边上的高．
26.某公司购买了一批A、B型芯片，其中A型芯片的单价比B型芯片的单价少9元，
已知该公司用3120元购买A型芯片的条数与用4200元购买B型芯片的条数相等．
(1)求该公司购买的A、B型芯片的单价各是多少元？
(2)若两种芯片共购买了200条，且购买的总费用为6280元，求购买了多少条A型
27.如图，在△ABC中，点D为BC上一点，将△ABD沿AD翻折得到△AED，AE与
BC相交于点F，若AE平分∠CAD，∠B=40°，∠C=35°，求∠1的度数．
28.如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AB边上且点D到点A
的距离与点D到点C的距离相等．
(1)利用尺规作图作出点D，不写作法但保留作图痕迹．
(2)连接CD，若CD=CB，求∠B的度数．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】
【分析】
此题主要考查了分式的值为零的条件，分式有意义的条件，直接利用分式的值为零则分子为零，分母不为零进而得出答案．
【解答】
解：∵分式|m|−1
的值为零，
m−1
∴|m|−1=0且m−1≠0，
解得：m=−1．
故选：B．
2.【答案】D
【解析】
【试题解析】
【分析】
此题主要考查了一元二次方程的定义，解题的关键在于掌握一元二次方程满足的条件．一元二次方程必须满足四个条件：(1)含有一个未知数；(2)未知数的最高次数是2；(3)是整式方程；(4)二次项系数不为0.同时满足这四个条件的即为一元二次方程，对选项进行逐个判断即可．
【解答】
解：A.未知数的最高次数为1，故A错误；
B.是分式方程，故B错误；
C.二次项系数未说明不能为0，故C错误；
D.化简为：3x2+4x+1=0是一元二次方程，故D正确．
故选D．
3.【答案】C
【分析】
本题主要考查的是同类二次根式的有关知识，由题意利用同类二次根式的定义进行求解即可．
【解答】
解：A．√1
3=√3
3
与√3是同类二次根式，故A错误；
B.√12=2√3与√3是同类二次根式，故B错误；
C.√18=3√2与√3不是同类二次根式，故C正确；
D.√27=3√3与√3是同类二次根式，故D错误，
故选C．
4.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查了分式的基本性质：分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变．
根据分式的基本性质对各选项进行判断．
【解答】
解：A．1+b
a+2b
为最简分式，所以A选项错误；
B.a−2
a2−4=a−2
(a+2)(a−2)
=1
a+2
，所以B选项错误；
C.a+2
a−2=(a+2)(a−2)
(a−2)(a−2)
=a2−4
(a−2)2
，所以C选项正确；
D.−1−b
a =−1+b
a
，所以D选项错误．
故选C．
5.【答案】C
【解析】
【分析】
此题主要考查了三角形三边关系，掌握三角形三边关系定理是解题的关键．
首先根据三角形三边关系定理：①三角形两边之和大于第三边；②三角形的两边差小于第三边，求出第三边的取值范围，再找出范围内的整数即可．
解：设他所找的这根木棍长为x，由题意得：
3−2<x<3+2，
∴1<x<5，
∵x为整数，
∴x=2，3，4，
故选C．
6.【答案】B
【解析】解：设正方体A的棱长是a，正方体B的棱长是b，
依题意得：a3=27b3，
∴a=3b，
即正方体A的棱长是正方体B的棱长的3倍．
故选：B．
根据正方体的体积公式进行计算．
本题考查了立方根．熟记正方体的体积公式是解题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：
∵一副三角板如图所示放置，使得两条直角边在一条直线上，
∴∠3=45°，∠4=30°，
∴∠2=∠3+∠4=75°，
∴∠1=∠2=75°，
故选：B．
根据对顶角相等和三角形外角性质解答即可．
此题考查三角形外角性质，关键是根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和解答．
8.【答案】C
【分析】
本题考查了勾股数的定义，比较简单.根据勾股数的定义：满足a2+b2=c2且a，b，c 是三个正整数，称为勾股数解答即可．
【解答】
解：A.32+42≠62，不是勾股数；
B.这组数不是整数，不是勾股数；
C.72+242=252，是勾股数；
D.这组数不是整数，不是勾股数．
故选C．
9.【答案】a≤3
【解析】解：∵√3−a在实数范围内有意义，
∴3−a≥0，
解得a≤3．
故答案为：a≤3．
先根据二次根式有意义的条件列出关于a的不等式，求出a的取值范围即可．
本题考查的是二次根式有意义的条件，即被开方数大于等于0，此题比较简单．
10.【答案】6
【解析】解：把x=−2代入方程x2+(a−1)x+a=0得4−2(a−1)+a=0，
解得a=6．
故答案为6．
把x=−2代入方程x2+(a−1)x+a=0得4−2(a−1)+a=0，然后解关于a的方程即可．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
11.【答案】3 三角形全等(ASA)
【解析】
【分析】
主要考查学生对全等三角形的判定方法的灵活运用，要求对常用的几种方法熟练掌握．此题可以采用排除法进行分析从而确定最后的答案．
【解答】
解：第一块，仅保留了原三角形的一个角和部分边，不符合任何判定方法；
第二块，仅保留了原三角形的一部分边，所以该块不行；
第三块，不但保留了原三角形的两个角还保留了其中一个边，所以符合ASA判定，所以应该拿这块去．
故答案为3，三角形全等(ASA)．
12.【答案】4
【解析】
【分析】
本题主要考查等腰三角形的性质及三角形的三边关系，根据5是等腰三角形的腰时，则其底边是14−5×2=4，即可解答．
【解答】
解：∵5是等腰三角形的腰时，则其底边是14−5×2=4，且5，5，4能够组成三角形，∴该等腰三角形的底边长为4．
故答案为4．
13.【答案】6√10
【解析】解：原式=3√2×2√5=6√10，
故答案为：6√10
根据二次根式的运算法则即可求出答案．
本题考查二次根式的运算，解题的关键是熟练运用二次根式的运算法则，本题属于基础题型．
14.【答案】2010
【解析】
【分析】
本题考查了二次根式的性质，以及二次根式的化简求值，关键是理解得出a的范围后去掉绝对值，技巧性较强．根据二次根式的被开方数求得a的取值范围，再根据
即可变形得到．
【解答】
解：根据题意，得a−2010≥0，即a≥2010；
所以|2009−a|=a−2009，
∵，即+a−2009=a，
∴=2009，
a−2010=20092，
∴a−20092=2010．
故答案为2010．
15.【答案】6
【解析】
【试题解析】
【分析】
本题考查了等边三角形的性质和轴对称等知识的综合应用，解题关键是对这些知识的熟练掌握及灵活运用．
连接BE，交AD于M，则BE就是ME+MC的最小值，根据等边三角形的三线合一的性质从而证得BE=AD=6．
【解答】
解：如图所示：
∵AD 是BC 边上的中线，
∴AD 等边三角形ABC 的边BC 上的高，
∴AD 是BC 的垂直平分线，
连接BE ，交AD 于M ，则BE 就是EM +CM 的最小值，
∵E 是AC 的中点，
∴BE 是等边三角形ABC 的边AC 上的高，
∴BE =AD ，
∵等边三角形ABC 的边BC 上的高为6，
∴BE =AD =6．
∴EM +CM 的最小值是6．
故答案为6．
16.【答案】>；<
【解析】解：A 、∵8√7=√448，7√8=√392，
∵√448>√392，
∴8√7>7√8；
∵√7−√6=√7+√6，√6−√5=√6+√5， ∵7+6<6+5
， ∴√7−√6<√6−√5，
故答案为：>，<．
根据实数的大小比较法则逐个进行判断即可．
此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握．
17.【答案】解：3x 2–4x +1=0，
(3x −1)(x −1)=0，
x 1=1
3，x 2=1．
【解析】【试题解析】
本题考查了用因式分解法解一元二次方程.解题关键是能熟练地将方程左边的式子进行因式分解．
将式子因式分解为(3x −1)(x −1)=0，便可得出结果．
18.【答案】解：原式=a+1a(a−1)+a−1a(a−1)=2a a(a−1)=2a−1．
【解析】
【分析】此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．原式变形后，通分并利用同分母分式的加法法则计算即可得到结果． 19.【答案】解：(π−4)0+(−1)−2−|√2−2|
=1+1−2+√2
=√2
【解析】首先计算乘方，然后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．
此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
20.【答案】解：3y −4y−1=6
y−y 2
3y
−4y−1=−6y(y−1)， 3(y −1)−4y =−6，
y =3，
经检验：y =3是原方程的解，
故原方程的解是y =3．
【解析】①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论；依此即可求解． 考查了解分式方程，解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．
21.【答案】证明：∵AB//DE ，
∴∠B =∠DEF ，
在△ABC 和△DEF 中，{∠A =∠D
AB =DE ∠B =∠DEF
，
∴△ABC≌△DEF(ASA)，
∴BC =EF ，
∴BC−EC=EF−EC，
即BE=CF．
【解析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．
根据两直线平行，同位角相等可得∠B=∠DEF，然后利用“角边角”证明△ABC和△DEF全等，根据全等三角形对应边相等可得BC=EF，最后都减去EC整理即可得解．22.【答案】解：(1)根据题意知，Δ=(−2)2−4×1×[−(n−1)]>0，
解得n>0；
(2)∵n>0且n为取值范围内的最小整数，
∴n=1，
则方程为x2−2x=0，
即x(x−2)=0，
解得x1=0，x2=2．
【解析】本题主要考查根的判别式及解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系：①当Δ>0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当Δ=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当Δ<0时，方程无实数根．
(1)由方程有两个不相等的实数根知Δ=(−2)2−4×1×[−(n−1)]>0，解之可得；
(2)由题意得出n=1，将其代入方程，解之可得．
23.【答案】解：(1)如图①所示：
(2)如图②所示．
【解析】(1)以4和1为直角边作出直角三角形，斜边即为所求；
(2)以2和3为直角边作出直角三角形，斜边为正方形的边长，如图②所示．
此题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．
24.【答案】解：(a−2
a+2−a+2
a−2
)÷4a−4
a2−4
=
(a−2)2−(a+2)2
(a+2)(a−2)
÷
4(a−1)
a2−4 =
−8a
(a+2)(a−2)
×
(a+2)(a−2)
4(a−1)
=−2a
a−1
，
因为：a≠±2,a≠1,
所以：当a=−1时，原式=−2×(−1)
−1−1
=−1．
【解析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后在−2、2、−1、1中选择一个使得原分式有意义的x的值代入即可解答本题．
本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的计算方法．
25.【答案】解：作AD⊥BC于D，
由勾股定理得，AD2=AB2−BD2，AD2=AC2−CD2，
∴AB2−BD2=AC2−CD2，即82−(5−CD)2=72−CD2，
解得，CD=1，
则BC边上的高AD=√AC2−CD2=4√3．
【解析】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．
作AD⊥BC于D，根据勾股定理列方程求出CD，根据勾股定理计算即可．
26.【答案】解：(1)设B型芯片的单价为x元/条，则A型芯片的单价为(x−9)元/条，
根据题意得：3120
x−9=4200
x
，
解得：x=35，
经检验，x=35是原方程的解，且符合题意，
∴x−9=26．
答：A型芯片的单价为26元/条，B型芯片的单价为35元/条．(2)设购买a条A型芯片，则购买(200−a)条B型芯片，
根据题意得：26a+35(200−a)=6280，
解得：a=80．
答：购买了80条A型芯片．
【解析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)找准等量关系，正确列出一元一次方程．
(1)设B型芯片的单价为x元/条，则A型芯片的单价为(x−9)元/条，根据数量=总价÷单价结合用3120元购买A型芯片的条数与用4200元购买B型芯片的条数相等，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
(2)设购买a条A型芯片，则购买(200−a)条B型芯片，根据总价=单价×数量，即可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出结论．
27.【答案】解：∵∠B+∠C+∠BAC=180°，∠B=40°，∠C=35°，
∴∠BAC=105°．
又∵AE平分∠CAD，
∴∠CAE=∠DAE．
由翻折得：∠BAD=∠DAE，∠B=∠E=40°，
∴∠BAD=∠DAE=∠CAE=35°，
∴∠AFD=∠CAE+∠C=70°．
又∵∠AFD=∠1+∠E，
∴∠1=70°−40°=30°．
【解析】本题考查了三角形内角和定理、三角形的外角性质、角平分线的定义以及折叠的性质，利用角平分线的性质、折叠的性质及三角形的外角性质找出各角之间的关系是解题的关键．
根据三角形内角和定理可求出∠BAC的值，根据角平分线的性质结合折叠的性质可得出∠BAD=∠DAE=∠CAE=35°，∠B=∠E=40°，再利用三角形的外角的性质可求出∠AFD及∠1的度数．
28.【答案】解：(1)如图，点D即为所求．
(2)由(1)知AD=CD，
∴∠A=∠ACD，
设∠A=x，
∴∠ACD=x，
∴∠BDC=∠A+∠ACD=2x，
∵CD=CB，
∴∠B=∠BDC=2x，
∵AB=AC，
∴∠ACB=∠B=2x，
∵∠A+∠B+∠ACB=180°，
即x+2x+2x=180°，
解得：x=36°，
∴∠B=2x=72°．
【解析】【试题解析】
本题考查基本作图，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
(1)作线段AC的垂直平分线交AB于点D，点D即为所求．
(2)根据等腰三角形的性质和三角形的内角和解答即可．。