章协方差分析研究生
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第二十三页，编辑于星期二：十一点 三十七分。
三、协方差分析步骤
(一)变异的分解及其公式 协方差分析将因变量Y的残差分为两部分：修止均数间的变异和
组内残差。 修正均数指的是当混杂因素(初始体重、进食量等）一致时，
各处理组的因变量（如增重）的平均值。修正均数间的变异是
由处理因素（如本例的不同饲料）、个体变异、随机误差 造成的。
第十四页，编辑于星期二：十一点 三十七分。
S总 S
(Y Y)2
Y 2(
Y )2 n
SS回
blXY
lX2Y lXX
SS剩
SS总
SS回
lyy
lx2y lxx
(重点）
离均差4种表达方式平方和
第十五页，编辑于星期二：十一点 三十七分。
第一节 协方差分析的基本思想和步骤
• 协方差分析（analysis of covariance）是 把直线回归分析与方差分析结合起来的一种统计分析
第二十六页，编辑于星期二：十一点 三十七分。
2.组间变异
(
Xij)2
lXX
i
j
ni
C
(
Yij )2
lYY
i
j
ni
C
(
X ij)(
Y ij)
lXY
j
i
j
n i
C
第二十七页，编辑于星期二：十一点 三十七分。
3. 组内变异
lXX (lX) X 总 (lX) X 组间
lYY ( lY) Y 总 ( lY) Y 组间 lXY ( lX) Y 总 ( lX) Y 组间
组内残差是由个体变异、随机误差造成的。
如果修正均数的变异远远地大于组内残差的话，可以认为处 理因素有作用；如果修正均数的变异与组内残差相差不大，则 不能认为处理因素作用。
第二十四页，编辑于星期二：十一点 三十七分。
表2 两种饲料喂白鼠实验的进食量（x,g）及增重（y,g）资料
母乳组
X
Y
549.1 532.0 513.0 526.0 373.0 560.0 571.1 618.7 470.9 500.9 合计 5211.7 均数 521.2
• 表13-1 完全随机设计的协方差分析的资料模式
第1处理组
X
Y
X11 X12
X1n1
Y11 Y12
Y1n1
第2处理组
第k处理组
X
Y… X
Y
X21 X22
X2n2
Y21 … Xk1
Y22 … Xk2
Y2n2 … Xknk
Yk1 Yk2
Yknk
X1 Y1 X2 Y2
Xk Yk
X1
Y1
X 2 Y2
第二十八页，编辑于星期二：十一点 三十七分。
4.计算残差平方和及自由度
S 总 S 残 ( l Y ) 总 Y 差 ( l X 2 ) 总 Y /l X ( ) 总 X
S 组 S内 ( l Y 残 ) 组 Y 差 ( 内 lX 2) 组 Y/lX 内 () 组 X 内
SS修正 SS总残差SS组内残差
SS组内
组内
MS组内
三者之间的关系： SS总= SS组内+ SS组间 = 总 组内+ 组间
SS组间 组间 MS组间
第五页，编辑于星期二：十一点 三十七分。
• SS总
• 总
SS配伍间 配伍间
MS配伍间
变异间的关系
SS组内
组内 MS组内
SS组间 组间 MS组间
变异之间的关系：
= SS •
总 SS组内+ SS组间+ SS配伍间
• 完全随机设计 :将受试对象随机分配到各 组,每组分别接受不同的处理后,进行 比较 推断各组的处理效果是否相同.
•设有k组双变量资料，欲比较k组因变量y有无差
别，而因变量Y又受自变量X的影响；若满足协 方差分析的要求，可选用完全随机设计的协 入差分析。其数据模式如表13-1。
第三十一页，编辑于星期二：十一点 三十七分。
X k Yk
对于完全随机设计资料的协方差分析是把Y的残差平方和分解 为修正均数间和组内残差两部分 。
第三十二页，编辑于星期二：十一点 三十七分。
• 例13.1把20头雄性白鼠随机分2组,第一组 白鼠饲母乳,第二组白鼠饲奶粉,现将2组白鼠9 周内进食量(X,g)及所增体重(Y,g)列表如下:
• 问摄入不同饲料的白鼠所增体重的均数有无 不同?
• = 总 组内+ 组间+配伍间
第六页，编辑于星期二：十一点 三十七分。
方差分析的基本思想
• 总变异(total variation)：SS总 ν总=（N−1）。
• 组内变异(variation within groups)：SS组内 ν组内=N−k，
组内均方:MS组内=SS组内 /(N−k)。
第九页，编辑于星期二：十一点 三十七分。
重复测量设计与随机区组设计区别
重复测量设计
●处理因素在区组间（受试者）随机分配； ●区组内各时间点固定，不能随机分配；
区组内实验单位彼此不独立。
随机区组设计 ●处理因素在区组内随机分配；
每个区组内实验单位彼此独立。
第十页，编辑于星期二：十一点 三十七分。
• 请设计一个实验： • 饮食（肉食者，素食者）与运动强度（轻、
2.各组间不同质：但在医学科研中常遇到以 下情况：如在食品营养的动物实验中，各组动物 所增加的平均体重不仅与各种饲料的营养价值有 关，还与各组动物的初始体重、进食量有关。初 始体重、进食量都是影响观察指标的变量，亦称 混杂因素，在统计分析中又称协变量；考虑协变量影 响的方差分析，即为协方差分析。
第十八页，编辑于星期二：十一点 三十七分。
同一个体两个不同时间的观测
两个个体的实验观测结果相互独立 两个不同时间观测结果常不相互独立
对差数用成对资料 t 检验推论两种处理 对差数用成对资料 t 检验推论该处理有
有无差别
无作用；
处理前后的相关与回归分析。
第八页，编辑于星期二：十一点 三十七分。
重复测量设计(单因素)
受试者编号
1 2 3 4 5 6 7 8
的变异程度，称为回归平方和，记为
； SS 回
括随机误(y差所yˆ引)2起：的反y映的了变除异y程与度x存，在称直为线离关回系归以平外的方原和因或，剩包
余平方和，记为SS剩。
S总 SS回 SS剩 S
第十三页，编辑于星期二：十一点 三十七分。
FS SS S 剩 回 // 回 剩M M回 剩 S S
F MS 组间 MS 组内
150.0
155.0
145.0
130.5
125.0
6026.0 603.6
1406.5 140.7
修正均数
对照62页
第二十五页，编辑于星期二：十一点 三十七分。
基本公式有：
1.总变异
l X XX 2 (X ) 2 / n l Y YY 2 (Y ) 2 / n l X Y X ( Y X ) ( Y ) / n
中、重）对脉搏的影响（人群研究）。
第十一页，编辑于星期二：十一点 三十七分。
p(x,y)
直线回归的变异来源
第十二页，编辑于星期二：十一点 三十七分。
(yy)2 ( y ˆ y ) 2 ( y y ˆ ) 2
(yy)：2 反映了y的总变异程度，称为y的总平方和，
记为
S；S 总
(yˆy)2：映了由于y与x间存在直线关系所引起的y
受试者血糖浓度(mmol/L)
放 置 时 间（分）
0
45
90
5．32
5．32
4．98
5．32 5．94
5．26 5．88
4．93 5．43
5．49 5．71
5．43 5．49
5．32 5．43
6．27 5．88
6．27 5．77
5．66 5．43
5．32
5．15
5．04
135 4．65 4．70 5．04 5．04 4．93 5．26 4．93 4．48
讲课内容
第一节 协方差分析的基本思想与步
骤(重点)
第二节 完全随机设计资料的协方差 分析
第三节 随机区组设计资料的协方差
分析
第一页，编辑于星期二：十一点 三十七分。
复习方差内容
• 1.方差分析的基本思想 • 2.成组设计的多个样本均数比较 • 3.配伍组设计的多个样本均数比较 • 4.多个样本均数的两两比较 • 5.重复测量方差分析（与方差对应）
数量关系，求得在假定协变量相等时的修正均数，然后
用方差分析比较修正均数间的差别。
第二十一页，编辑于星期二：十一点 三十七分。
二 、协方差应用条件及其用途
1．协方差分析的应用条件
(1)各样本是来自于方差相同的正态总体的随机样本，即：
.(2)各样本12 的X与2 2 Y呈 直线回k2归关系，即：
123.5 117.0 124.5 104.0 89.0 142.5 127.0 140.0 102.5 111.2
1081.2 108.12
奶 粉组
X
Y
704.0 690.2 517.1 576.6 566.0 650.0 590.3 610.5 570.6 550.7
171.0
170.0 组 113.0 内 126.0 残 121.0 差
第二页，编辑于星期二：十一点 三十七分。
方差分析（analysis of variance, ANOVA）
• 应用范围
• 1.用于两个或两个以上样本均数的比较
• 2.分析两个或多个研究因素的交互作用
• 3.回归方程线性假各样本是相互独立的随机样本；
• 2.各样本来自正态分布总体
;且各组间回归直
线平行（组间差别无统计学显著性意义） ，即i ：0
在做1 协方2差 分 析之k前，须先进行方差齐性检验、正态性检
验和回归系数的假设检验。符合上述条件，或经变量变换后符合 上述条件，方可进行协方差分析；否则，不宜用此法。
第二十二页，编辑于星期二：十一点 三十七分。
2．协方差分析的用途 根据研究目的不 同，协方差分析可用于完全随机设计、配伍 组设计、拉丁方设计和析因设计的资料。下 面介绍完全随机设计和配伍组设计的协方差 分析的步骤。
方法，用来消除混杂因素对处理效应的影响，提高分 析结果的真实性。属多元统计方法范畴。
第十六页，编辑于星期二：十一点 三十七分。
一 基本思想
1.各组间同质： 在多个样本均数比较的方 差分析中，我们要求除处理因素外，其他影响观
察指标的因素应齐同，即各组间应有同质基础。举 例说明。
第十七页，编辑于星期二：十一点 三十七分。
第十九页，编辑于星期二：十一点 三十七分。
进食量 线性
性别
处理因素
不同蛋白质
窝别
增长体重
出生体重
线性
第二十页，编辑于星期二：十一点 三十七分。
•
例如，在上述的营养研究中，若要比较不同饲料组
的动物增重有无差别，而动物的增重又与进食量、初始
体重有线性关系时，可先用直线回归的方法，找出各组
因变量（增重）与协变量（进食量或动物体重）之间的
概念
1.协方差分析：是解决混杂因素影响的分析方法，
它是将线性回归与方差分析结合起来，检验2个或多 个修正均数间有无差别的假设检验方法。目的把与Y 有线性关系的协变量影响化为相等后，再来比较修 正均数间的差别。
2.修正均数：假定各组协变量相等时的均数。 3.协变量：又称混杂因素，处理因素以外影 响观察指标的变量
第三十三页，编辑于星期二：十一点 三十七分。
表13-3 三种饲料喂猪的进初始重量与增重（单位公斤）
A饲料组
X1
Y1
15 13 11 12 12 16 14 17
X1
85 83 65 76 80 91 84 90
Y1
B饲料组
X2 Y2
17 16 18 18 21 22 19 19
X2
97 90 100 95 103 106 99 94
总残差 N 2,修正 k 1 组内残差 N k 1
比较P169
SS剩SS总SS回lYYllX X 2X Y
第二十九页，编辑于星期二：十一点 三十七分。
5.计算F值
MS修正
SS修正
修正
MS组内残差
SS组内残差
组内残差
F MS修正 MS组内残差
第三十页，编辑于星期二：十一点 三十七分。
第二节 完全随机设计的协方差分析
• 3.各总体方差齐。
•
如果不符合上述条件就要对资料进行
处理。
第三页，编辑于星期二：十一点 三十七分。
单因素方差分析变异构成
个体变异
处理因素
随机误差
组间变异
• SS组间
总变异
SS 总
随机误差
组内变异
SS组内
个体变异
第四页，编辑于星期二：十一点 三十七分。
各种变异的表示方法
• SS总
• 总 • MS总
• 组间变异(variation among groups)：（SS组间 ν组间=
（k−1）, 组间的均方：MS组间=SS组间 /(k−1)。
第七页，编辑于星期二：十一点 三十七分。
配对设计与前后测量设计的区别与联系
配对设计
前后测量设计
两种处理作用于同一对的两个个体 一种处理作用于同一个体
可以对两个个体同时观测
Y2
C饲料组
X3 Y3
22 24 20 23 25 27 30 32
Xk
89 91 83 95 100 102 105 110
Yk
第三十四页，编辑于星期二：十一点 三十七分。
三、协方差分析步骤
(一)变异的分解及其公式 协方差分析将因变量Y的残差分为两部分：修止均数间的变异和
组内残差。 修正均数指的是当混杂因素(初始体重、进食量等）一致时，
各处理组的因变量（如增重）的平均值。修正均数间的变异是
由处理因素（如本例的不同饲料）、个体变异、随机误差 造成的。
第十四页，编辑于星期二：十一点 三十七分。
S总 S
(Y Y)2
Y 2(
Y )2 n
SS回
blXY
lX2Y lXX
SS剩
SS总
SS回
lyy
lx2y lxx
(重点）
离均差4种表达方式平方和
第十五页，编辑于星期二：十一点 三十七分。
第一节 协方差分析的基本思想和步骤
• 协方差分析（analysis of covariance）是 把直线回归分析与方差分析结合起来的一种统计分析
第二十六页，编辑于星期二：十一点 三十七分。
2.组间变异
(
Xij)2
lXX
i
j
ni
C
(
Yij )2
lYY
i
j
ni
C
(
X ij)(
Y ij)
lXY
j
i
j
n i
C
第二十七页，编辑于星期二：十一点 三十七分。
3. 组内变异
lXX (lX) X 总 (lX) X 组间
lYY ( lY) Y 总 ( lY) Y 组间 lXY ( lX) Y 总 ( lX) Y 组间
组内残差是由个体变异、随机误差造成的。
如果修正均数的变异远远地大于组内残差的话，可以认为处 理因素有作用；如果修正均数的变异与组内残差相差不大，则 不能认为处理因素作用。
第二十四页，编辑于星期二：十一点 三十七分。
表2 两种饲料喂白鼠实验的进食量（x,g）及增重（y,g）资料
母乳组
X
Y
549.1 532.0 513.0 526.0 373.0 560.0 571.1 618.7 470.9 500.9 合计 5211.7 均数 521.2
• 表13-1 完全随机设计的协方差分析的资料模式
第1处理组
X
Y
X11 X12
X1n1
Y11 Y12
Y1n1
第2处理组
第k处理组
X
Y… X
Y
X21 X22
X2n2
Y21 … Xk1
Y22 … Xk2
Y2n2 … Xknk
Yk1 Yk2
Yknk
X1 Y1 X2 Y2
Xk Yk
X1
Y1
X 2 Y2
第二十八页，编辑于星期二：十一点 三十七分。
4.计算残差平方和及自由度
S 总 S 残 ( l Y ) 总 Y 差 ( l X 2 ) 总 Y /l X ( ) 总 X
S 组 S内 ( l Y 残 ) 组 Y 差 ( 内 lX 2) 组 Y/lX 内 () 组 X 内
SS修正 SS总残差SS组内残差
SS组内
组内
MS组内
三者之间的关系： SS总= SS组内+ SS组间 = 总 组内+ 组间
SS组间 组间 MS组间
第五页，编辑于星期二：十一点 三十七分。
• SS总
• 总
SS配伍间 配伍间
MS配伍间
变异间的关系
SS组内
组内 MS组内
SS组间 组间 MS组间
变异之间的关系：
= SS •
总 SS组内+ SS组间+ SS配伍间
• 完全随机设计 :将受试对象随机分配到各 组,每组分别接受不同的处理后,进行 比较 推断各组的处理效果是否相同.
•设有k组双变量资料，欲比较k组因变量y有无差
别，而因变量Y又受自变量X的影响；若满足协 方差分析的要求，可选用完全随机设计的协 入差分析。其数据模式如表13-1。
第三十一页，编辑于星期二：十一点 三十七分。
X k Yk
对于完全随机设计资料的协方差分析是把Y的残差平方和分解 为修正均数间和组内残差两部分 。
第三十二页，编辑于星期二：十一点 三十七分。
• 例13.1把20头雄性白鼠随机分2组,第一组 白鼠饲母乳,第二组白鼠饲奶粉,现将2组白鼠9 周内进食量(X,g)及所增体重(Y,g)列表如下:
• 问摄入不同饲料的白鼠所增体重的均数有无 不同?
• = 总 组内+ 组间+配伍间
第六页，编辑于星期二：十一点 三十七分。
方差分析的基本思想
• 总变异(total variation)：SS总 ν总=（N−1）。
• 组内变异(variation within groups)：SS组内 ν组内=N−k，
组内均方:MS组内=SS组内 /(N−k)。
第九页，编辑于星期二：十一点 三十七分。
重复测量设计与随机区组设计区别
重复测量设计
●处理因素在区组间（受试者）随机分配； ●区组内各时间点固定，不能随机分配；
区组内实验单位彼此不独立。
随机区组设计 ●处理因素在区组内随机分配；
每个区组内实验单位彼此独立。
第十页，编辑于星期二：十一点 三十七分。
• 请设计一个实验： • 饮食（肉食者，素食者）与运动强度（轻、
2.各组间不同质：但在医学科研中常遇到以 下情况：如在食品营养的动物实验中，各组动物 所增加的平均体重不仅与各种饲料的营养价值有 关，还与各组动物的初始体重、进食量有关。初 始体重、进食量都是影响观察指标的变量，亦称 混杂因素，在统计分析中又称协变量；考虑协变量影 响的方差分析，即为协方差分析。
第十八页，编辑于星期二：十一点 三十七分。
同一个体两个不同时间的观测
两个个体的实验观测结果相互独立 两个不同时间观测结果常不相互独立
对差数用成对资料 t 检验推论两种处理 对差数用成对资料 t 检验推论该处理有
有无差别
无作用；
处理前后的相关与回归分析。
第八页，编辑于星期二：十一点 三十七分。
重复测量设计(单因素)
受试者编号
1 2 3 4 5 6 7 8
的变异程度，称为回归平方和，记为
； SS 回
括随机误(y差所yˆ引)2起：的反y映的了变除异y程与度x存，在称直为线离关回系归以平外的方原和因或，剩包
余平方和，记为SS剩。
S总 SS回 SS剩 S
第十三页，编辑于星期二：十一点 三十七分。
FS SS S 剩 回 // 回 剩M M回 剩 S S
F MS 组间 MS 组内
150.0
155.0
145.0
130.5
125.0
6026.0 603.6
1406.5 140.7
修正均数
对照62页
第二十五页，编辑于星期二：十一点 三十七分。
基本公式有：
1.总变异
l X XX 2 (X ) 2 / n l Y YY 2 (Y ) 2 / n l X Y X ( Y X ) ( Y ) / n
中、重）对脉搏的影响（人群研究）。
第十一页，编辑于星期二：十一点 三十七分。
p(x,y)
直线回归的变异来源
第十二页，编辑于星期二：十一点 三十七分。
(yy)2 ( y ˆ y ) 2 ( y y ˆ ) 2
(yy)：2 反映了y的总变异程度，称为y的总平方和，
记为
S；S 总
(yˆy)2：映了由于y与x间存在直线关系所引起的y
受试者血糖浓度(mmol/L)
放 置 时 间（分）
0
45
90
5．32
5．32
4．98
5．32 5．94
5．26 5．88
4．93 5．43
5．49 5．71
5．43 5．49
5．32 5．43
6．27 5．88
6．27 5．77
5．66 5．43
5．32
5．15
5．04
135 4．65 4．70 5．04 5．04 4．93 5．26 4．93 4．48
讲课内容
第一节 协方差分析的基本思想与步
骤(重点)
第二节 完全随机设计资料的协方差 分析
第三节 随机区组设计资料的协方差
分析
第一页，编辑于星期二：十一点 三十七分。
复习方差内容
• 1.方差分析的基本思想 • 2.成组设计的多个样本均数比较 • 3.配伍组设计的多个样本均数比较 • 4.多个样本均数的两两比较 • 5.重复测量方差分析（与方差对应）
数量关系，求得在假定协变量相等时的修正均数，然后
用方差分析比较修正均数间的差别。
第二十一页，编辑于星期二：十一点 三十七分。
二 、协方差应用条件及其用途
1．协方差分析的应用条件
(1)各样本是来自于方差相同的正态总体的随机样本，即：
.(2)各样本12 的X与2 2 Y呈 直线回k2归关系，即：
123.5 117.0 124.5 104.0 89.0 142.5 127.0 140.0 102.5 111.2
1081.2 108.12
奶 粉组
X
Y
704.0 690.2 517.1 576.6 566.0 650.0 590.3 610.5 570.6 550.7
171.0
170.0 组 113.0 内 126.0 残 121.0 差
第二页，编辑于星期二：十一点 三十七分。
方差分析（analysis of variance, ANOVA）
• 应用范围
• 1.用于两个或两个以上样本均数的比较
• 2.分析两个或多个研究因素的交互作用
• 3.回归方程线性假各样本是相互独立的随机样本；
• 2.各样本来自正态分布总体
;且各组间回归直
线平行（组间差别无统计学显著性意义） ，即i ：0
在做1 协方2差 分 析之k前，须先进行方差齐性检验、正态性检
验和回归系数的假设检验。符合上述条件，或经变量变换后符合 上述条件，方可进行协方差分析；否则，不宜用此法。
第二十二页，编辑于星期二：十一点 三十七分。
2．协方差分析的用途 根据研究目的不 同，协方差分析可用于完全随机设计、配伍 组设计、拉丁方设计和析因设计的资料。下 面介绍完全随机设计和配伍组设计的协方差 分析的步骤。
方法，用来消除混杂因素对处理效应的影响，提高分 析结果的真实性。属多元统计方法范畴。
第十六页，编辑于星期二：十一点 三十七分。
一 基本思想
1.各组间同质： 在多个样本均数比较的方 差分析中，我们要求除处理因素外，其他影响观
察指标的因素应齐同，即各组间应有同质基础。举 例说明。
第十七页，编辑于星期二：十一点 三十七分。
第十九页，编辑于星期二：十一点 三十七分。
进食量 线性
性别
处理因素
不同蛋白质
窝别
增长体重
出生体重
线性
第二十页，编辑于星期二：十一点 三十七分。
•
例如，在上述的营养研究中，若要比较不同饲料组
的动物增重有无差别，而动物的增重又与进食量、初始
体重有线性关系时，可先用直线回归的方法，找出各组
因变量（增重）与协变量（进食量或动物体重）之间的
概念
1.协方差分析：是解决混杂因素影响的分析方法，
它是将线性回归与方差分析结合起来，检验2个或多 个修正均数间有无差别的假设检验方法。目的把与Y 有线性关系的协变量影响化为相等后，再来比较修 正均数间的差别。
2.修正均数：假定各组协变量相等时的均数。 3.协变量：又称混杂因素，处理因素以外影 响观察指标的变量
第三十三页，编辑于星期二：十一点 三十七分。
表13-3 三种饲料喂猪的进初始重量与增重（单位公斤）
A饲料组
X1
Y1
15 13 11 12 12 16 14 17
X1
85 83 65 76 80 91 84 90
Y1
B饲料组
X2 Y2
17 16 18 18 21 22 19 19
X2
97 90 100 95 103 106 99 94
总残差 N 2,修正 k 1 组内残差 N k 1
比较P169
SS剩SS总SS回lYYllX X 2X Y
第二十九页，编辑于星期二：十一点 三十七分。
5.计算F值
MS修正
SS修正
修正
MS组内残差
SS组内残差
组内残差
F MS修正 MS组内残差
第三十页，编辑于星期二：十一点 三十七分。
第二节 完全随机设计的协方差分析
• 3.各总体方差齐。
•
如果不符合上述条件就要对资料进行
处理。
第三页，编辑于星期二：十一点 三十七分。
单因素方差分析变异构成
个体变异
处理因素
随机误差
组间变异
• SS组间
总变异
SS 总
随机误差
组内变异
SS组内
个体变异
第四页，编辑于星期二：十一点 三十七分。
各种变异的表示方法
• SS总
• 总 • MS总
• 组间变异(variation among groups)：（SS组间 ν组间=
（k−1）, 组间的均方：MS组间=SS组间 /(k−1)。
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配对设计与前后测量设计的区别与联系
配对设计
前后测量设计
两种处理作用于同一对的两个个体 一种处理作用于同一个体
可以对两个个体同时观测
Y2
C饲料组
X3 Y3
22 24 20 23 25 27 30 32
Xk
89 91 83 95 100 102 105 110
Yk
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