【配套K12】2018年高考数学复习演练第十六章数系的扩充与复数的引入含2014_2017年真题

第十六章数系的扩充与复数的
引入
1.（2017•新课标Ⅰ,3）设有下面四个命题
p1：若复数z满足∈R，则z∈R；
p2：若复数z满足z2∈R，则z∈R；
p3：若复数z1， z2满足z1z2∈R，则z1= ；
p4：若复数z∈R，则∈R．
其中的真命题为（）
A.p1， p3
B.p1， p4
C.p2， p3
D.p2， p4
1.B 若复数z满足∈R，则z∈R，故命题p1为真命题；
p2：复数z=i满足z2=﹣1∈R，则z∉R，故命题p2为假命题；
p3：若复数z1=i，z2=2i满足z1z2∈R，但z1≠ ，故命题p3为假命题；
p4：若复数z∈R，则=z∈R，故命题p4为真命题．
故选B．
2.（2017•新课标Ⅱ,1）=（）
A.1+2i
B.1﹣2i
C.2+I
D.2﹣i
2. D = = =2﹣i，故选 D．
3.（2017•新课标Ⅲ,2）设复数z满足（1+i）z=2i，则|z|=（）
A. B. C. D.2
3.C ∵（1+i）z=2i，∴（1﹣i）（1+i）z=2i（1﹣i），z=i+1．则|z|= ．故选C．
4.（2017•北京,2）若复数（1﹣i ）（a+i ）在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是（ ）
A.（﹣∞，1）
B.（﹣∞，﹣1）
C.（1，+∞）
D.（﹣1，+∞） 4.B 复数（1﹣i ）（a+i ）=a+1+（1﹣a ）i 在复平面内对应的点在第二象限， ∴
，解得a ＜﹣1．
则实数a 的取值范围是（﹣∞，﹣1）．故选B ．
5.（2017•山东,2）已知a∈R，i 是虚数单位，若z=a+i ，z•=4，则a=（ ）
A ．1或﹣1
B ．或﹣
C ．﹣
D ．
5.A 由z=a+i ，则z 的共轭复数=a ﹣i ，
由z•=（a+
i ）（a ﹣
i ）=a 2
+3=4，则a 2
=1，解得：a=±1，
∴a 的值为1或﹣1，故选A ．
6.(2016·山东，1)若复数z 满足2z ＋z ＝3－2i ，其中i 为虚数单位，则z ＝( ) A.1＋2i B.1－2i C.－1＋2i D.－1－2i 6.B [设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＝a －b i ，
∴2(a ＋b i)＋(a －b i)＝3－2i ，整理得3a ＋b i ＝3－2i ，
∴⎩⎪⎨⎪⎧3a ＝3，b ＝－2，解得⎩
⎪⎨⎪⎧a ＝1，
b ＝－2，∴z ＝1－2i ，故选B.]
7.(2016·全国Ⅲ，2)若z ＝1＋2i ，则4i
z z －1
＝( )
A.1
B.－1
C.i
D.－i 7.C[z ＝1＋2i ，z z ＝5，4i
z z －1
＝i.]
8.(2016·全国Ⅰ，2)设(1＋i)x ＝1＋y i ，其中x ，y 是实数，则|x ＋y i|＝( ) A.1 B.2 C.3 D.2
8.B [由(1＋i)x ＝1＋y i ，得x ＋x i ＝1＋y i ⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x ＝y
⇒⎩⎪⎨
⎪⎧x ＝1，y ＝1.
所以|x ＋y i|＝x 2＋y 2
＝
2，故选B.]
9.(2016·全国Ⅱ，1)已知z ＝(m ＋3)＋(m －1)i 在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是( )
A.(－3，1)
B.(－1，3)
C.(1，＋∞)
D.(－∞，－3)
9.A [由复数z ＝(m ＋3)＋(m －1)i 在复平面内对应的点在第四象限得：⎩
⎪⎨⎪⎧m ＋3>0，
m －1<0解得
－3<m <1，故选A.]
10.(2015·安徽，1)设i 是虚数单位，则复数2i
1－i 在复平面内所对应的点位于( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
10.B [2i 1－i ＝2i （1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＝2i （1＋i ）
2＝i －1＝－1＋i ，其对应点坐标为(－1，1)，
位于第二象限，故选B.]
11.(2015·湖北，1)i 为虚数单位，i 607
的共轭复数为( ) A.i B.－i C.1 D.－1 11.A [法一 i 607
＝i
4×151＋3
＝i 3
＝－i ，其共轭复数为i.故选A.
法二 i 607
＝i 608
i ＝i 4×152
i ＝1
i ＝－i ，其共轭复数为i.故选A.]
12.(2015·新课标全国Ⅱ，2)若a 为实数，且(2＋a i)(a －2i)＝－4i ，则a ＝( ) A.－1 B.0 C.1 D.2
12.B [因为a 为实数，且(2＋a i)(a －2i)＝4a ＋(a 2
－4)i ＝－4i ，得4a ＝0且a 2
－4＝－4，解得a ＝0，故选B.]
13.(2015·广东，2)若复数z ＝i(3－2i)(i 是虚数单位)，则z ＝( ) A.3－2i B.3＋2i C.2＋3i D.2－3i
13.D [因为z ＝i(3－2i)＝2＋3i ，所以z ＝2－3i ，故选D.]
14.(2015·湖南，1)已知(1－i )
2
z
＝1＋i(i 为虚数单位)，则复数z ＝( )
A.1＋i
B.1－i
C.－1＋i
D.－1－i
14.D [由（1－i ）2
z ＝1＋i ，知z ＝（1－i ）2
1＋i ＝－2i 1＋i ＝－1－i ，故选D.]
15.(2015·北京，1)复数i(2－i)＝( ) A.1＋2i B.1－2iC.－1＋2i D.－1－2i 15.A [i(2－i)＝2i －i 2
＝1＋2i.]
16.(2015·四川，2)设i 是虚数单位，则复数i 3
－2i ＝( )
A.－i
B.－3i
C.i
D.3i
16.C [i 3
－2i ＝－i －2i i 2＝－i ＋2i ＝i.选C.]
17.(2015·山东，2)若复数z 满足
z
1－i
＝i ，其中i 为虚数单位，则z ＝( )
A.1－i
B.1＋i
C.－1－i
D.－1＋i
17.A [∵z
1－i ＝i ，∴z ＝i(1－i)＝i －i 2
＝1＋i ，∴z ＝1－i.]
18.(2015·新课标全国Ⅰ，1)设复数z 满足1＋z
1－z ＝i ，则|z |＝( )
A.1
B. 2
C. 3
D.2
18.A [由1＋z 1－z ＝i ，得1＋z ＝i －z i ，z ＝－1＋i
1＋i ＝i ，∴|z |＝|i|＝1.]
19.(2014·福建，1)复数z ＝(3－2i)i 的共轭复数z 等于( ) A.－2－3i B.－2＋3i C.2－3i D.2＋3i
19.C [因为复数z ＝(3－2i)i ＝2＋3i ，所以z ＝2－3i ，故选C.]
20.(2014·大纲全国，1)设z ＝10i
3＋i ，则z 的共轭复数为( )
A.－1＋3i
B.－1－3i
C.1＋3i
D.1－3i
20.D [∵z ＝10i 3＋i ＝10i （3－i ）
（3＋i ）（3－i ）＝1＋3i ，∴z ＝1－3i.故选D.]
21.(2014·新课标全国Ⅱ，2)设复数z 1，z 2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z 1＝2＋i ，则z 1z 2＝( )
A.－5
B.5
C.－4＋i
D.－4－i
21.A [由题意得z 2＝－2＋i ，∴z 1z 2＝(2＋i)(－2＋i)＝－5，故选A.]
22.(2014·天津，1)i 是虚数单位，复数7＋i
3＋4i ＝( )
A.1－i
B.－1＋i
C.1725＋3125i
D.－177＋25
7
i
22.A [7＋i 3＋4i ＝（7＋i ）（3－4i ）（3＋4i ）（3－4i ）＝25－25i
25＝1－i.选A.]
23.(2014·湖南，1)满足
z ＋i
z
＝i(i 为虚数单位)的复数z ＝( ) A.12＋12i B.12－12i C.－12＋12i D.－12－12
i 23.B [去掉分母，得z ＋i ＝z i ，所以(1－i)z ＝－i ，解得z ＝－i 1－i ＝12－12i ，选B.]
24.(2014·新课标全国Ⅰ，2)(1＋i )
3
(1－i )2＝( )
A.1＋i
B.1－i
C.－1＋i
D.－1－i
24.D [（1＋i ）3
（1－i ）2＝（1＋i ）2
（1－i ）2·(1＋i)＝1＋i 2
＋2i
1＋i 2
－2i ·(1＋i)＝－1－i ，故选D.]
25.(2014·安徽，1)设i 是虚数单位，z 表示复数z 的共轭复数.若z ＝1＋i ，则z
i ＋i·z
＝( )
A.－2
B.－2i
C.2
D.2i
25.C [因为z ＝1＋i ，所以z
i ＋i·z ＝(－i ＋1)＋i ＋1＝2.]
26.(2014·山东，1)已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位，若a －i 与2＋b i 互为共轭复数，则(a ＋b i)2
＝( )
A.5－4i
B.5＋4i
C.3－4i
D.3＋4i
26.D [根据已知得a ＝2，b ＝1，所以(a ＋b i)2
＝(2＋i)2
＝3＋4i.]
27.(2014·广东，2)已知复数z 满足(3＋4i)z ＝25，则z ＝( ) A.－3＋4i B.－3－4i C.3＋4i D.3－4i
27.D [(3＋4i)z＝25⇒z＝25
3＋4i ＝
25（3－4i）
（3＋4i）（3－4i）
＝3－4i.选D.]
28.（2017•江苏,2）已知复数z=（1+i）（1+2i），其中i是虚数单位，则z的模是________．28.复数z=（1+i）（1+2i）=1﹣2+3i=﹣1+3i，
∴|z|= = ．故答案为：．
29.（2017•浙江,12）已知a、b∈R，（a+bi）2=3+4i（i是虚数单位），则a2+b2=________，ab=________．
29. 5；2 a、b∈R，（a+bi）2=3+4i（i是虚数单位），∴3+4i=a2﹣b2+2abi，
∴3=a2﹣b2， 2ab=4，解得ab=2，，．
则a2+b2=5，故答案为：5，2．
30.（2017·天津,9）已知a∈R，i为虚数单位，若为实数，则a的值为________．30.﹣2 a∈R，i为虚数单位，
= = = ﹣i
由为实数，可得﹣=0，解得a=﹣2．故答案为：﹣2．
31.(2016·江苏，2)复数z＝(1＋2i)(3－i)，其中i为虚数单位，则z的实部是________.
31.5 [z＝(1＋2i)(3－i)＝5＋5i.故z的实部为5.]
32.(2016·北京，9)设a∈R，若复数(1＋i)(a＋i)在复平面内对应的点位于实轴上，则a ＝________.
32.－1 [(1＋i)(a＋i)＝a＋i＋a i＋i2＝(a－1)＋(a＋1)i，由复数对应点在实轴上得a＋1＝0，解得a＝－1.]
33.(2015·天津，9)i是虚数单位，若复数(1－2i)(a＋i)是纯虚数，则实数a的值为________.
33.－2 [(1－2i)(a＋i)＝a＋2＋(1－2a)i，由已知，得a＋2＝0，1－2a≠0，∴a＝－2.]
34.(2015·重庆，11)设复数a＋b i(a，b∈R)的模为3，则(a＋b i)(a－b i)＝________.
34.3 [由|a＋b i|＝3得a2＋b2＝3，即a2＋b2＝3，所以(a＋b i)(a－b i)＝a2＋b2＝3.]
35.(2014·江苏，2)已知复数z ＝(5＋2i)2
(i 为虚数单位)，则z 的实部为________. 35.21 [复数z ＝(5＋2i)2
＝21＋20i ，其实部是21.]
36.(2014·上海，2)若复数z ＝1＋2i ，其中i 是虚数单位，则⎝ ⎛⎭⎪⎫
z ＋1z ·z ＝________. 36.6 [∵z ＝1＋2i ，∴z ＝1－2i.∴⎝ ⎛⎭
⎪⎫z ＋1z `z ＝z ·z ＋1＝5＋1＝6.]
37.(2014·四川，11)复数2－2i 1＋i
＝________.
37.－2i [2－2i 1＋i ＝2（1－i ）2
（1＋i ）（1－i ）
＝(1－i)2
＝－2i.]。