二元联合分布函数例题

二元联合分布函数例题
以下是5道关于二元联合分布函数的例题及其解析：
例题一
【题目】设二维随机变量(X,Y)的联合分布函数为F(x,y)，且F(x,y) = A(B + arctan(x/2))(C + arctan(y/3))，其中A, B, C是常数。

已知F(-∞, +∞) = 1，F(+∞, -∞) = 0，F(0,0) = 1/4。

求A, B, C的值。

【解析】由题意得F(-∞, +∞) = A(B + π/2)(C + π/2) = 1，F(+∞, -∞) = A(B - π/2)(C - π/2) = 0，F(0,0) = ABC = 1/4。

联立上述方程可得A, B, C的值。

例题二
【题目】设二维随机变量(X,Y)的联合分布函数为F(x,y)，且F(x,y) = (1/4)(x^2 + y^2)，当x≥0, y≥0时；0，其他。

求P{X + Y ≤ 1}。

【解析】根据题意，需要求出X和Y在第一象限内，且X + Y ≤1的概率。

通过联合分布函数F(x,y)和概率的定义进行计算。

例题三
【题目】设二维随机变量(X,Y)的分布律为P{X = i, Y = j} = a(i + j)，i, j = 0, 1。

求常数a的值。

【解析】根据题意，可以列出关于a的方程组，然后求解得到a 的值。

需要注意的是，所有概率之和必须等于1。

例题四
【题目】设二维随机变量(X,Y)的分布函数为F(x,y)，且F(x,y) = A(1 - e^(-x))(1 - e^(-2y))，x > 0, y > 0；0，其他。

求A的值及P{X < 1, Y < 2}。

【解析】由F(+∞, +∞) = 1可得A的值。

再根据联合分布函数求出P{X < 1, Y < 2}的值。

例题五
【题目】设二维随机变量(X,Y)的分布函数为F(x,y)，且F(x,y) = (1/4)(1 + xarctanx)(2 + ysiny)，-1 ≤ x ≤ 1，-2 ≤ y ≤ 2；0，其他。

求P{X ≤ 1/2, Y ≤ -1}。

【解析】根据联合分布函数和概率的定义，求出P{X ≤ 1/2, Y ≤ -1}的值。

注意在计算过程中要考虑定义域的限制。