苏锡常镇2020届高三年级第三次模拟考试数学试卷

苏锡常镇2020届高三年级第三次模拟考试数学试卷
(满分160分，考试时间120分钟)
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．
1. 已知集合A ＝{1，2}，B ＝{－1，a}，若A ∪B ＝{－1，a ，2}，则a ＝________．
2. 若复数z 满足(1－i)z ＝1＋i ，其中i 是虚数单位，则z 的实部为________．
3. 某校100名学生参加知识竞赛的成绩均在[50，100]内，将学生成绩分成[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]五组，得到如图所示的频率分布直方图，则成绩在[80，90)内的学生人数是________．
(第3题) (第4题) (第9题) 4. 一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的y 的值为________．
5. 某班推选一名学生管理班级防疫用品，已知每个学生当选是等可能的．若“选到女生”的概率是“选到男生”的概率的1
2，则这个班级的男生人数与女生人数的比值为________．
6. 函数f(x)＝2－x ＋lnx 的定义域为________．
7. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线
y 2＝4x
的焦点是双曲线x 2a 2－y 2
4a
＝1的顶点，则a ＝
________．
8. 已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，S 4＝5S 2，a 2＝2，则a 4＝________． 9. 已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为6，M 是对角线A 1C 上靠近点A 1的三等分点，则三棱锥C-MBD 的体积为________．
10. 已知定义在R 上的奇函数f(x)的周期为2，且当x ∈[0，1]时，f(x)＝⎩⎨⎧2x
＋a ， 0≤x ≤1
2，
bx －1x ＋1， 1
2
<x ≤1，
则a ＋b ＝________．
11. 已知锐角α满足sin2α－2cos2α＝－1，则tan ⎝⎛⎭
⎫α＋π
4＝________． 12. 如图，在△ABC 中，∠ABC ＝π
2，AB ＝1，BC ＝3，以AC 为一边在△ABC 的另一侧作
正三角形ACD ，则BD →·AC →
＝________．
13. 在平面直角坐标系xOy 中，AB 是圆O ：x 2＋y 2＝1的直径，且点A 在第一象限．圆O 1：(x －a)2＋y 2＝r 2(a ＞0)与圆O 外离，线段AO 1与圆O 1交于点M ，线段BM 与圆O 交于点N ，且OM →＋O 1N →
＝0，则a 的取值范围为________．
14. 已知a ，b ∈R ，a ＋b ＝t(t 为常数)，且直线y ＝ax ＋b 与曲线y ＝xe x (e 是自然对数的底数，e ≈2.718 28…)相切．若满足条件的有序实数对(a ，b)唯一存在，则实数t 的取值范围为________．
二、 解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. (本小题满分14分)
已知在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角 A ，B ，C 的对边，且bsin2A ＝asinB.
(1) 求A 的值；
(2) 求cos ⎝⎛⎭⎫B ＋π6＋sin ⎝⎛⎭⎫C ＋π
3的最大值．
16. (本小题满分14分)
已知在四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是菱形，且平面A 1ADD 1⊥平面ABCD ，DA 1＝DD 1，E ，F 分别为线段A 1D 1，BC 的中点．求证： (1) EF ∥平面CC 1D 1D ； (2) AC ⊥平面EBD.
17. (本小题满分14分)
在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为1
2，右焦点到右准线
的距离为3.
(1) 求椭圆C 的标准方程；
(2) 过点P(0，1)的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点．已知在椭圆C 上存在点Q ，使得四边形OAQB 是平行四边形，求点Q 的坐标．
18. (本小题满分16分)
某地开发一片荒地，如图，荒地的边界是以C 为圆心，半径为1千米的圆周．已有两条互相垂直的道路OE ，OF ，分别与荒地的边界有且仅有一个接触点A ，B.现规划修建一条新路(由线段MP ，PQ ︵
，线段QN 三段组成)，其中点M ，N 分别在OE ，OF 上，且使得MP ，QN 所在直线分别与荒地的边界有且仅有一个接触点P ，Q ，PQ ︵所对的圆心角为π
6. 记∠PCA
＝2θ(道路宽度均忽略不计)．
(1) 若θ＝5π
12，求QN 的长度；
(2) 求新路总长度的最小值．
19. (本小题满分16分)
已知各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝2，且对任意n ∈N *，a n S n ＋1－a n ＋1S n ＝2a n ＋1－2a n 恒成立．
(1) 求证：数列⎩⎨
⎧⎭
⎬⎫
S n ＋2a n 是等差数列，并求数列{a n }的通项公式； (2) 设b n ＝a n ＋4n －3，已知b 2，b i ，b j (2＜i ＜j)成等差数列，求正整数i ，j 的值．
20. (本小题满分16分)
已知函数f(x)＝(m －1)x ＋lnx ，g(x)＝(m －2)x 2＋(n ＋3)x －2，m ，n ∈R . (1) 当m ＝0时，求函数f(x)的极值；
(2) 当n ＝0时，函数F(x)＝g(x)－f(x)在(0，＋∞)上为单调函数，求m 的取值范围； (3) 当n ＞0时，判断是否存在正数m ，使得函数f(x)与g(x)有相同的零点，并说明理由．
数学附加题(本部分满分40分，考试时间30分钟)
21. 【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两小题，并作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A. [选修4-2：矩阵与变换](本小题满分10分) 已知点M(2，1)在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤1 a b 2对应的变换作用下得到点N(5，
6)，求矩阵A 的特征值．
B. [选修4-4：坐标系与参数方程](本小题满分10分)
在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝2cosα，
y ＝sinα(α为参数)．以原点O 为极
点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭
⎫θ＋π
4＝10. (1) 求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；
(2) P 是曲线C 上的动点，求点P 到直线l 的距离的最小值．
C. [选修4-5：不等式选讲](本小题满分10分)
已知a ，b ，c 是正数，求证：对任意x ∈R ，不等式||x －2－||x ＋1≤b a ＋c b ＋a
c 恒成立．
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22. (本小题满分10分)
如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，AB ＝2，AD ＝AP ＝3，M 是棱PD 的中点．
(1) 求二面角M-AC-D 的余弦值；
(2) N 是棱PC 上的点，已知直线MN 与平面ABCD 所成角的正弦值为32222，求PN
PC
的值．
23. (本小题满分10分)
已知在数列{a n }中，a 1＝6，a n ＋1＝13a 2
n －a n ＋3( n ∈N *)．
(1) 分别比较下列每组中两个数的大小： ①a 2和6×3
2；
②a 3和6×⎝⎛⎭⎫
323
；
(2) 当n ≥3时，证明：∑n
i ＝2⎝⎛⎭⎫a i 62i >2⎝⎛⎭
⎫32n
－3. 数学参考答案 1. 1 2. 0 3. 30 4. －1 5. 2 6. (0，2] 7. 1 8. 2或8 9. 24 10. 0 11. 2 12. 4 13. (22，4) 14. {e}∪(－∞，－5e －
2) 15. (1) 因为bsin 2A ＝asin B ， 所以2bsin Acos A ＝asin B ， 所以由正弦定理a sin A ＝b
sin B
，
得2bacos A ＝ab.(3分)
因为ab ≠0，所以cos A ＝ab 2ab ＝1
2.
又因为A ∈(0，π)，所以A ＝π
3
.(6分)
(2) 由(1)得A ＝π3，又A ＋B ＋C ＝π，所以C ＝2π3－B ，B ∈⎝⎛⎭⎫0，2π3，所以cos ⎝⎛⎭⎫B ＋π6＋sin(C ＋π3)＝cos Bcos π6－sin Bsin π6＋sin(π－B)＝12sin B ＋3
2cos B ＝sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π3.(11分) 因为0<B<2π3，所以π3<B ＋π
3<π，
所以当B ＋π3＝π2，即B ＝π
6时，
sin ⎝⎛⎭
⎫B ＋π
3取最大值1， 所以cos ⎝⎛⎭⎫B ＋π6＋sin ⎝⎛⎭
⎫C ＋π
3的最大值为1.(14分) 16. (1) 连结CD 1，由题意得四边形A 1B 1C 1D 1，BB 1C 1C 是平行四边形，
所以A 1D 1∥ B 1C 1，BC ∥B 1C 1，且A 1D 1＝B 1C 1，BC ＝B 1C 1. 又因为E ，F 分别为线段A 1D 1，BC 的中点， 所以ED 1∥FC ，ED 1＝FC ，
所以四边形ED 1CF 是平行四边形，(3分) 所以EF ∥CD 1.
又因为EF ⊄平面CC 1D 1D ，CD 1⊂平面CC 1D 1D ， 所以EF ∥平面CC 1D 1D.(6分)
(2) 在四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，四边形AA 1D 1D 是平行四边形，所以AD ∥A 1D 1. 在△DA 1D 1中，DA 1＝DD 1，E 为线段A 1D 1的中点，所以DE ⊥A 1D 1. 又因为AD ∥A 1D 1，所以DE ⊥AD.(8分)
又因为平面A 1ADD 1⊥平面ABCD ，平面A 1ADD 1∩平面ABCD ＝AD ，DE ⊂平面A 1ADD 1， 所以DE ⊥平面ABCD.
又AC ⊂平面ABCD ，所以DE ⊥AC.(11分) 因为底面ABCD 是菱形，所以BD ⊥AC. 又因为BD ∩DE ＝D ，BD ，DE ⊂平面EBD ， 所以AC ⊥平面EBD.(14分)
17. (1) 由椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1的离心率为1
2，右焦点与右准线的距离为3，
得c a ＝12，a 2
c
－c ＝3，解得c ＝1，a ＝2，
所以b 2＝a 2－c 2＝3，(4分)
所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 2
3
＝1.(5分)
(2) 设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，当四边形OAQB 是平行四边形时，则OQ →＝OA →＋OB →
. 当直线l 的斜率不存在时，直线l 过原点O ，此时O ，A ，B 三点共线，不符合题意；(7分)
当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝kx ＋1，与椭圆方程联立有⎩⎪⎨⎪
⎧y ＝kx ＋1，x 24＋y 23＝1，
所以x 24＋（kx ＋1）2
3＝1，
即(3＋4k 2)x 2＋8k 2x －8＝0，
所以Δ>0，x 1＋x 2＝－8k
3＋4k 2，
所以y 1＋y 2＝
6
3＋4k 2
.(10分) 将点Q(x 1＋x 2，y 1＋y 2)的坐标代入椭圆方程得
⎝⎛⎭
⎫－8k 3＋4k 22
4
＋
⎝⎛⎭
⎫63＋4k 22
3
＝1，
化简得k 2＝14，所以k ＝±1
2，符合题意，(13分)
所以点Q 的坐标是⎝⎛⎭⎫±1，3
2.(14分) 18. (1) 因为PQ ︵所对的圆心角为π6，θ＝5π
12，
所以∠PCQ ＝π6，∠PCA ＝2θ＝5π
6.
又因为∠BCA ＝π
2
，
所以∠BCQ ＝2π－5π6－π2－π6＝π
2
，
所以在四边形BCQN 中，∠BCQ ＝∠CBN ＝∠CQN ＝π
2，
所以四边形BCQN 是矩形，所以QN ＝CB ＝1， 故QN 的长为1千米 .(4分)
(2) PM ＝tan ∠PCA 2＝tan θ，∠BCQ ＝4π
3－2θ，
NQ ＝tan ∠BCQ 2＝tan ⎝⎛⎭⎫2π3－θ，PQ ︵的长为π
6
，(6分)
所以PM ＋NQ ＝tan θ＋tan ⎝⎛⎭⎫2π3－θ＝tan θ＋tan
2π
3－tan θ1＋tan 2π3
tan θ
＝tan θ＋－3－tan θ1－3tan θ， 即PM ＋NQ ＝tan θ＋3＋tan θ
3tan θ－1＝tan θ＋1＋33tan θ
tan θ－
3
3
，(9分)
其中θ∈⎝⎛⎭⎫π6，π2，tan θ∈⎝⎛⎭⎫3
3，＋∞，tan θ－33∈(0，＋∞)，(11分) 所以PM ＋NQ ＝⎝
⎛⎭⎫
tan θ－
33＋43
tan θ－
3
3
＋233≥2
⎝
⎛⎭⎫tan θ－33·
4
3tan θ－
33
＋
23
3
＝23，(14分)
当且仅当tan θ－
33
＝43
tan θ－
3
3
，又θ∈⎝⎛⎭⎫π6，π2，即θ＝π
3时取等号，(15分) 所以当∠PCA ＝2π
3时，新路总长度的最小值为⎝⎛⎭⎫23＋π6千米．(16分) 19. (1)
S 1＋2a 1＝2＋2
2
＝2， 因为a n S n ＋1－a n ＋1S n ＝2a n ＋1－2a n ，
所以a n S n ＋1＋2a n ＝a n ＋1S n ＋2a n ＋1. 又因为a n >0，两边除以a n a n ＋1得
S n ＋1＋2a n ＋1＝S n ＋2a n ，所以S n ＋1＋2a n ＋1
－S n ＋2
a n ＝0，n ∈N *，
所以数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫S n ＋2a n 是首项为2，公差为0的等差数列，所以S n ＋2
a n ＝2，(3分)
则S n ＋2＝2a n ，S n ＋1＋2＝2a n ＋1，
两式作差得a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝2a n ＋1－2a n ， 所以a n ＋1＝2a n .
又因为a n >0，所以a n ＋1
a n
＝2，n ∈N *，
所以数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列，所以a n ＝2n .(7分)
(2) b n ＝2n ＋4n －3，由b 2，b i ，b j 成等差数列得2b i ＝b 2＋b j ，即2(2i ＋4i －3)＝9＋2j ＋4j －3，
整理得2i －1＋2i ＝2j －
2＋j ＋3(2<i<j)，(*)
若j ＝i ＋1，则2i －1＋2i ＝2i －
1＋i ＋1＋3， 所以i ＝4，j ＝5.(10分)
若j ≥i ＋2，则(2j －
2＋j ＋3)－(2i －
1＋2i)≥2i ＋i ＋5－2i －
1－2i ＝2i －
1－i ＋5.(12分)
设c n ＝2n －1－n ＋5(n>2)，c n ＋1－c n ＝(2n －n ＋4)－(2n －1－n ＋5)＝2n －
1－1>0，
则c n ＋1>c n (n>2)，所以当n>2时，数列{c n }单调递增，其中c 3＝6>0，所以c n >0， 即2j －
2＋j ＋3>2i －
1＋2i ，所以(*)式不成立．(15分) 综上可得，i ＝4，j ＝5.(16分)
20. (1) 当m ＝0时，f(x)＝－x ＋lnx ，令f′(x)＝－1＋1
x
＝0，得x ＝1，列表如下：
所以当x ＝1时，函数f(x)的极大值为f(1)＝－1，函数f(x)无极小值．(3分) (2) 当n ＝0时，F(x)＝(m －2)x 2＋(4－m)x －lnx －2，x ∈(0，＋∞)， 则F′(x)＝2(m －2)x ＋(4－m)－1
x
＝2（m －2）x 2＋（4－m ）x －1x
＝
（2x －1）[（m －2）x ＋1]
x
.
当m －2≥0时，即m ≥2，令F′(x)>0，则x>1
2
，所以函数F(x)在⎝⎛⎭⎫0，12上单调递减，在⎝⎛⎭
⎫12，＋∞上单调递增，不符合题意； (5分)
当m<2时，令F ′(x)＝0，则x ＝12或x ＝1
2－m .
若
12－m <12，令F′(x)>0，则12－m
<x<1
2，所以函数F(x)在⎝⎛⎭⎫0，12－m 上单调递减，在
⎝⎛⎭
⎫12－m ，12上单调递增，在⎝⎛⎭⎫12，＋∞上单调递减，不符合题意；
若
12－m >12，令F′(x)>0，则12<x<1
2－m
，所以函数F(x)在⎝⎛⎭⎫0，12上单调递减，在⎝⎛⎭⎫12，12－m 上单调递增，在⎝⎛⎭
⎫1
2－m ，＋∞上单调递减，不符合题意；
若12－m ＝1
2，即m ＝0，此时F′(x)＝－（2x －1）2x ≤0恒成立，
所以函数F(x)在(0，＋∞)上单调递减，符合题意. (8分) 综上可得，m ＝0.(9分)
(3) 对于任意的n>0，构造函数h(x)＝x ＋lnx ＋2
x
－(3＋n)(x>0)，
则h′(x)＝1＋1x －2x 2＝x 2＋x －2x 2＝（x ＋2）（x －1）
x 2
.
令h′(x)＝0，则x ＝1，当0<x<1时，h′(x)<0，当x>1时，h′(x)>0，
所以函数h(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增， 所以当x ＝1时，h(x)取得极小值h(1)．
因为h(1)＝－n<0，h(n ＋3)＝ln(n ＋3)＋2
n ＋3>0，
且h(x)在[1，n ＋3]上的图象是一条连续不间断的曲线，
所以存在x 0∈(1，n ＋3)，使得h(x 0)＝0，即x 0＋lnx 0＋2
x 0－(3＋n)＝0，
两边同时乘x 0，
可得x 20＋x 0lnx 0＋2－(3＋n)x 0＝0.①(12分) 取m ＝1－lnx 0x 0，构造函数k(x)＝1－lnx x ，x>0，
则k′(x)＝
lnx －1
x 2
. 令k′(x)＝0，得x ＝e ，则函数k(x)在(0，e)上单调递增，在(e ，＋∞)上单调递减， 所以当x ＝e 时，k(x)取最小值1－1
e
>0，
所以m ＝1－lnx 0
x 0>0，两边同时乘x 0，可得mx 0＝x 0－lnx 0，
化简得(m －1)x 0＋lnx 0＝0，即x 0也是f(x)的零点； 两边同时乘x 0，可得(m －1)x 20＋x 0lnx 0＝0.② (14分)
由②－①，得(m －2)x 20＋(n ＋3)x 0－2＝0，所以x 0
也是g(x)的一个零点， 所以当n>0时，存在正数m ，使得函数f(x)与g(x)有相同的零点．(16分) 21. A. 因为点M(2，1)在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a b 2对应的变换作用下得到点N(5，6)，
所以⎣⎢
⎡⎦⎥⎤1a b 2
⎣⎢⎡⎦⎥⎤21＝⎣⎢⎡⎦⎥
⎤56，则⎩
⎪⎨⎪⎧2＋a ＝5，2b ＋2＝6， 解得⎩
⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝2，所以A ＝⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤
1
322.(5分) f(λ)＝⎪⎪⎪⎪
⎪⎪λ－1－3－2λ－2＝(λ－1)(λ－2)－6，
令f(λ)＝0，得λ2－3λ－4＝0，
即(λ－4)(λ＋1)＝0，解得λ1＝4，λ2＝－1， 所以矩阵A 的特征值为4和－1.(10分)
B. (1) 由题意，曲线C 的普通方程为x 24＋y 2
＝1，直线l 的直角坐标方程为x ＋y －25＝
0.(4分)
(2) 设P(2cosα，sinα)，则点P 到直线l 的距离
d ＝|2cosα＋sinα－25|2＝|5sin （α＋θ）－25|2＝25－5sin （α＋θ）2，(8分)
所以当sin(α＋θ)＝1时，d min ＝
10
2
， 所以点P 到直线l 的距离的最小值为
10
2
.(10分) C. 对于正数a ，b ，c ，由均值不等式得b a ＋c b ＋a
c ≥33b a ×c b ×a c ＝3，
当且仅当a ＝b ＝c 时取等号．(4分)
任意x ∈R ，由绝对值不等式得|x －2|－|x ＋1|≤||x －2|－|x ＋1||≤|(x －2)－(x ＋1)|＝3， 当且仅当x ≤－1时取等号，(8分)
所以对任意x ∈R ，都有不等式|x －2|－|x ＋1|≤b a ＋c b ＋a
c
成立．(10分)
22. (1) 以{AB →，AD →，AP →
}为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系Axyz ，则各点的坐标为A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，3，0)，D(0，3，0)，P(0，0，3)，M ⎝⎛⎭⎫0，32，32，AP →＝(0，0，3)，AC →＝(2，3，0)，AM →
＝⎝⎛⎭
⎫0，32，32. 因为PA ⊥平面ABCD ，所以平面ACD 的一个法向量为AP →
＝(0，0，3)．(1分) 设平面MAC 的法向量为n ＝(x ，y ，z)， 所以⎩⎪⎨⎪⎧n ·AC →＝0，n ·AM →＝0，即⎩⎪⎨⎪
⎧2x ＋3y ＝0，32y ＋32z ＝0，
取n ＝(3，－2，2)，(3分)
所以cos 〈AP →
，n 〉＝AP →
·n |AP →||n |＝63×9＋4＋4＝21717，
所以由图可得二面角MACD 的余弦值为217
17.(5分)
(2) 设PN →＝λPC →(λ∈(0，1))，其中PC →
＝(2，3，－3)，
所以MN →＝MP →＋PN →
＝⎝⎛⎭⎫0，－32，32＋(2λ，3λ，－3λ)＝⎝
⎛⎭⎫2λ，3λ－32，－3λ＋32.
因为平面ABCD 的一个法向量为AP →
＝(0，0，3)， 所以cos 〈AP →，MN →
〉＝AP →·MN →|AP →||MN →|＝
3⎝
⎛⎭⎫－3λ＋323（2λ）2
＋⎝⎛⎭⎫3λ－322＋⎝⎛⎭
⎫－3λ＋322＝
－3λ＋
3
222λ2－18λ＋
92
.(8分)
因为直线MN 与平面ABCD 所成角的正弦值为322
22
，所以
⎪⎪⎪⎪⎪⎪－3λ＋
3
2
22λ2
－18λ＋92
＝32222，
所以⎝
⎛⎭⎫
－3λ＋322
22λ2－18λ＋
92
＝922，化简得4λ＝1，即λ＝14，所以PN PC ＝1
4
.(10分)
23. (1) ①因为a 2＝9，6×3
2＝9，
所以a 2＝6×3
2
.
②因为a 3＝21，6×⎝⎛⎭⎫323
＝81
4， 所以a 3>6×⎝⎛⎭⎫323
.(3分) (2) 先用数学归纳法证明： 当n ≥3时，a n >6×⎝⎛⎭
⎫32n （n －1）
2
.(4分)
①当n ＝3时，a 3>6×⎝⎛⎭⎫
323
；
②假设当n ＝k(k ≥3，k ∈N *)时，结论成立， 即a k >6×⎝⎛⎭
⎫32k （k －1）
2
.
当n ＝k ＋1时，
a k ＋1＝13a 2k －a k ＋3>13×⎣⎡⎦⎤6×⎝⎛⎭⎫32k （k －1）22－6×⎝⎛⎭⎫32k （k －1）2＋3>13×⎣⎡⎦⎤6×⎝⎛⎭⎫32k （k －1）2
2－6×⎝⎛⎭⎫32k （k －1）2
，
其中a k ＋16×⎝⎛⎭⎫32（k ＋1）k 2> 13×⎣⎡⎦⎤6×⎝⎛⎭⎫32k （k －1）226×⎝⎛⎭⎫32（k ＋1）k 2－6×⎝⎛⎭⎫32k （k －1）
26×⎝⎛⎭
⎫32（k ＋1）k 2
＝2×⎝⎛⎭⎫32k （k －3）2－⎝⎛⎭⎫32－k >1， 所以a k ＋1>6×⎝⎛⎭
⎫32（k ＋1）k
2
，所以当n ＝k ＋1时，结论也成立．
综上可得，当n ≥3时，a n >6×⎝⎛⎭⎫
32n （n －1）
2
.(8分)
所以当n ≥3时，⎝⎛⎭⎫a n 62
n >⎝⎛⎭
⎫32n －1
，
则∑n
i ＝2(a i 6)2i >(a 26)22＋(32)2＋(32)3＋…＋(32)n －1＝32＋⎝⎛⎭⎫322＋⎝⎛⎭⎫323＋…＋⎝⎛⎭⎫32n －1＝3
2×1－⎝⎛⎭⎫
32n －1
1－3
2
＝
2⎝⎛⎭⎫
32n
－3，
所以当n ≥3时，∑n
i ＝2⎝⎛⎭⎫a i 62i >2⎝⎛⎭
⎫32n
－3.(10分)。