【安徽专用】机械制图(主编张信群 合肥工大版)教案：第二章 正投影的基本原理05

§2—5 平面的投影
课题：1、平面的表示法
2、平面对于一个投影面的投影特性
3、各种位置平面的投影特性
课堂类型：讲授
教学目的：1、介绍平面的两种表示法
2、讲解三种投影面平行面和三种投影面垂直面的投影特性
教学要求：1、熟悉平面在投影图上的表示法
2、理解并掌握各种位置平面的投影特性，并能根据投影特性判别平面对投影面
的相对位置
教学重点：各种位置平面的投影特性，
教具：自制的三投影面体系模型；
挂图：“投影面平行面的投影特性”、“投影面垂直面的投影特性”
教学方法：平面投影的实质，就是平面形各顶点的同面投影依次连线。

各种位置平面的投影，讲解重点放在投影特性和有无实形的判断上；对于每一种
位置平面形的投影，重点讲解其中的一种类型，其他类型可由学生自己分析解决。

教学过程：
一、复习旧课
1、复习两直线各种相对位置（平行、相交、交叉）的投影特性和判别方法。

2、结合作业讲解直角投影定理的应用。

二、引入新课题
平面图形具有一定的形状、大小和位置，常见的有三角形、矩形、正多边形等直线轮廓的平面形。

另外，还有一些由直线或曲线围成的平面形。

平面投影的实质，就是求平面形轮廓上的一系列的点的投影（对于多边形而言则是其顶点），然后将各点的同面投影依次连线。

三、教学内容
（一）平面的表示法
在投影图上表示平面有两种方法。

1、一组几何元素的投影表示平面
（1）不在同一直线上的三点，如图2－37（a）
（2）一直线和直线外一点，如图2－37（b）
（3）相交两直线，如图2－37（c）
（4）平行两直线，如图2－37（d）
（5）任意平面图形，如三角形、四边形、圆形等，如图2－37（e）
（a）（b）（c）（d）（e）
图2－37 用几何元素表示平面
注意：为了解题的方便，常常用一个平面图形（如三角形）表示平面。

2、迹线表示法
迹线——空间平面与投影面的交线，如图2－38（a）所示。

平面P与H面的交线称为水平迹线，用P H表示；
平面P与V面的交线称为正面迹线，用P V表示；
平面P与W面的交线称为侧面迹线，用P W表示。

P H 、P V 、P W两两相交的交点P x 、P Y 、P Z称为迹线集合点，它们分别位于OX、OY、OZ轴上。

由于迹线既是平面内的直线，又是投影面内的直线，所以迹线的一个投影与其本身重合，另两个投影与相应的投影轴重合。

在用迹线表示平面时，为了简明起见，只画出并标注与迹线本身重合的投影，而省略与投影轴重合的迹线投影，如图2－38（b）所示。

（a）（b）
图2－38 用迹线表示平面
（二）平面对于一个投影面的投影特性
空间平面相对于一个投影面的位置有平行、垂直、倾斜三种，三种位置有不同的投影特性。

1、真实性当平面与投影面平行时，则平面的投影为实形，如图2－39（a）所示。

2、积聚性当平面与投影面垂直时，则平面的投影积聚成一条直线，如图2－39（b）所示。

3、类似性当直线或平面与投影面倾斜时，则平面的投影是小于平面实形的类似形，如图2－39（c）所示。

（a）（b）（c）
图2－39 平面的投影特性
（三）各种位置平面的投影特性
根据平面在三投影面体系中的位置可分为投影面倾斜面、投影面平行面、投影面垂直面三类。

前一类平面称为一般位置平面，后两类平面称为特殊位置平面。

1、投影面垂直面
垂直于一个投影面且同时倾斜于另外两个投影面的平面称为投影面垂直面。

垂直于V
面的称为正垂面；垂直于H面的称为铅垂面；垂直于W面的称为侧垂面。

平面与投影面所夹的角度称为平面对投影面的倾角。

α、β、γ分别表示平面对H面、V面、W面的倾角。

举例说明：铅垂面的投影特性
强调：（1）两个投影均为类似形；
（2）一个投影积聚为直线，并反映β、γ角。

总结投影面平行线的投影特性：两面一线。

要求学生必须掌握表2－3中的图例。

对于投影面垂直面的辨认：如果空间平面在某一
投影面上的投影积聚为一条与投影轴倾斜的直线，则
此平面垂直于该投影面。

讲解例题（例2－9）如图2－39（a）所示，四边形ABCD垂直于V面，已知H面的投影abcd及B点的V面投影b′，且于H面的倾角α= 45°，求作该平面的V面和W面投影。

（a）题目（b）解答
图2－40 求作四边形平面ABCD的投影
2、投影面平行面
平行于一个投影面且同时垂直于另外两个投影面的平
面称为投影面平行面。

平行于V面的称为正平面；平行于
H面的称为水平面；平行于W面的称为侧平面；
举例说明：正平面的投影特性
强调：（1）两个投影积聚为直线；
（2）一个投影反映实形。

总结投影面平行线的投影特性：两线一面。

要求学生必须掌握表2－4中的图例。

对于投影面垂直面的辨认：如果空间平面在某一投影面上的投影积聚为一条与投影轴倾斜的直线，则此平面垂直于该投影面。

3、一般位置平面
与三个投影面都处于倾斜位置的平面称为一般位
置平面。

例如平面△ABC与H、V、W面都处于倾斜位置，
倾角分别为α、β、γ。

其投影如图2－41所示。

一般位置平面的投影特征可归纳为：一般位置平
面的三面投影，既不反映实形，也无积聚性，而都为
类似形。

图2－41 一般位置平面对于一般位置平面的辨认：如果平面的三面投影都是类似的几何图形的投影，则可判定该平面一定是一般位置平面。

四、小结
1、平面的两种表示法。

2、三种位置平面（包括七种类型）的投影特性，尤其注意：有无实形的判断。

五、布置作业
五、布置作业
习题集2－3（1）、（4）、（5）。