数学丨四川省绵阳市南山中学2025届新高三6月期末热身考试数学试卷及答案

南山中学高二下期数学期末热身考试
数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的．
1．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，59a =，则10S 的值为（）
A ．70
B ．80
C ．90
D ．100
2．
)
5
y -的展开式中23x y 的系数为（
）A ．50
B ．100
C ．50
-D ．100
-3．某校高中三年级1600名学生参加了区第二次高考模拟统一考试，已知数学考试成绩X 服从正态分布()2
100,N σ
（试卷满分为150分）
，统计结果显示，数学考试成绩在80分到120分之间的人数约为总人数的3
4
，则此次统考中成绩不低于120分的学生人数约为（）
A ．200
B ．150
C ．250
D ．100
4．已知等比数列{}n a 的公比为1
2
-，前n 项和为n S .若231m S =，32m S =，则m =（
）
A ．3
B ．4
C ．5
D ．7
5．若曲线()1e x
y x =-有两条过点(),0A a 的切线，则a 的取值范围是（）
A ．()()
,13,-∞-+∞ B ．()
3,1-C ．()
,3-∞-D ．()()
,31,-∞-+∞ 6．某校在高一开展了选课走班的活动，已知该校提供了3门选修课供学生选择，现有5名同学参加选课走班的活动，要求这5名同学每人选修一门课程且每门课程都有人选，则5名同学选课的种数为（）
A ．150
B ．180
C ．240
D ．540
7．如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点()0,0出发，每隔1s 等可能地向上或向右移动一个单位，则质点移动6次后位于()2,4的概率为（）A ．
1
16
B ．
115
C ．
1532
D ．
1564
8．若实数,,x y z 满足2,ln()y xz z x y x y ==+--，则下列不等式错误的是（）A ．ln()x y x y +<+B ．0x >C ．0
y >D ．z x y
<<二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．设{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项的和.且56S S <，678S S S =>，则下面结论正确的是（）
A ．0
d ≤B ．70
a =C ．6S 与7S 均为n S 的最大值
D ．满足0n S <的n 的最小值为14
10．在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的和，形成新的数列，我们把这样的操作称为该数列的一次“和扩充”．如数列1，3，第1次“和扩充”后得到数列1，4，3；第2次“和扩充”后得到数列1，5，4，7，3；依次扩充，记第(
)*
n n ∈N
次“和扩充”后所得数列的项数．．
记为n P ，所有项．的和记为n a ，数列{}n a 的前n 项为n S ，则（）
A ．1
21n n P +=-B ．满足2024n P ≥的n 的最小值为11C ．1
3
1
n n a +=-D ．1
3
23
n n S n +=+-11.设函数3()1()f x x ax a =-+∈R ，则（
）
A ．当0a =时，直线1y =不是曲线()y f x =的切线
B ．当3a =时，函数()y f x =有三个零点
C ．若()f x 有三个不同的零点123x x x ，，，则1230
x x x ++=D ．若曲线()y f x =
上有且仅有四点能构成一个正方形，则a =三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知函数()()23e x
f x x =-，则()f x 的极小值点为
．
13．在2)n
x
-的二项式中，所有的二项式系数之和为64，则各项的系数的绝对值之和
为．
14．我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》给出了著名的杨辉三角，由此可见我国
古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的，下图是由“杨辉三角”拓展而成的三角数阵，记第一条斜线之和为1a ，第二条斜线之和为2a ，第三条斜线之和为3a ，以此类推，组成数列{}n a .例如1231,1,11,,a a a ===+ 若2024
211k n n a a ==+∑，则k =
.
四、解答题：本题共5小题，共77分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）
设数列{}n a 的前n 项和为1,1n S a =，且()12
n n n a S +=．
(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若1
22
1
n n n n n a a b a a +++=
⋅，数列{}n b 的前n 项和为*
,,n n T n T m ∀∈<N 恒成立，求实数m 的最小值．16．（15分）
为迎接2024新春佳节，某地4S 店特推出盲盒抽奖营销活动
中，店家将从一批汽车模型中随机抽取50个装入盲盒用于抽奖，已知抽出的50个汽车模型的外观和内饰的颜色分布如下表所示．
(1)从这50个模型中随机取1个，
用A 表示事件“取出的模型外观为红色”，用B 表示事件“取出的模型内饰为米色”，求()P B 和()
P B A ，并判断事件A 与B 是否相互独立；
(2)活动规定：在一次抽奖中，每人可以一次性拿2个盲盒．对其中的模型给出以下假设：假设1：拿到的2个模型会出现3种结果，即外观和内饰均为同色、外观和内饰都异色以及仅外观或仅内饰同色．假设2：按结果的可能性大小，概率越小奖项越高．假设3：该抽奖活动的奖金额为一等奖3000元、二等奖2000元、三等奖1000元．请你分析奖项对应的结果，设X 为奖金额，写出X 的分布列并求出X 的期望（精确到元）.
红色外观
蓝色外观
棕色内饰2010米色内饰
15
5
17．（15分）
已知函数3()e x f x ax a =--．
(1)当1a =时，求曲线()y f x =在点()1,(1)f 处的切线方程；(2)若()f x 有极小值，且极小值小于0，求实数a 的取值范围．
18．（17分）
在某次人工智能知识问答中，考生甲需要依次回答n 道试题.若甲答对某道试题，则下一道试题也答对的概率为
13，若甲答错某道试题，则下一道试题答对的概率为2
3
.(1)若3n =，考生甲第1道试题答对与答错的概率相等，记考生甲答对试题的道数为X ，求X 的分布列与期望；
(2)若10n =，且考生甲答对第1道试题，求他第10道试题也答对的概率.
19．（17分）已知函数()3
22133
f x x ax a x =
+-，a R ∈(1)讨论()f x 的单调性；
(2)当1a =时，以()()00,0A f 为切点，作直线1l 交()f x 的图象于异于0A 的点()()
111,A x f x ，再以1A 为切点，作直线2l 交()f x 的图象于异于1A 的点()()
222,A x f x ，…，依此类推，以
()(),n n n A x f x 为切点，作直线1n l +交()f x 的图象于异于n A 的点()()111,n n n A x f x +++，其中
n N +∈．求{}n x 的通项公式；
(3)在(2)的条件下，证明：1231111
(1)(1)(1(1)e 1111
n x x x x +
+++<++++ .
南山中学高二下期数学期末热身考试
数学（参考答案）
一、单选题：题号12345678答案
D
C
A
C
D
A
D
B
二、多选题：题号91011答案
BCD
BD
BCD
三、填空题：12.x =1
13.729(或36)14.4049
四、解答题：
15.解（1）因为()12
n n n a S +=
①，所以当2n ≥时，1
1
2
n n na S
--=
②，由①-②得到1
(1)22
n n n n a na a -+=-，整理得到1(1)-=-n n na n a ，又11a =，所以0n a ≠，得到
11n n a n
a n -=-，……………………………………………4分所以当2n ≥时，1221
1231121121
n n n n n n n a a a a n n a a n a a a a n n ------=⋅⋅⋅=⨯⨯⨯⨯=-- ，当1n =，满足n a n =，所以n a n =.……………………………………………7分（2）由（1）知122222212111
(1)(1)n n n n n a a n b a a n n n n ++++===-⋅++，………………………9分
所以12222222
11111111223(1)(1)n n T b b b n n n =+++=-+-++-=-++ ，……11分
因为
2
10(1)
n >+，且0n b >，所以n T 是关于n 的递增数列，由*
,n n T m ∀∈<N 恒成立，得到1m ≥，所以实数m 的最小值为1.
……………………………………………13分
16.解：（1）模型内饰为米色的共有20个，所以()1201502
5C P B C ==，…………2分
红色外观的模型有35个，其中内饰为米色的共有15个，所()1151353
7
C P B A C ==，4分
红色外观模型且内饰为米色的共有15个，
所以()115150310C P AB C ==，()1351507
10
C P A C ==，……………………………………6分
因为()()()P AB P A P B ≠，所以A ，B 不独立；……………………………………
7分
（2）设事件C =“取出的模型外观和内饰均为同色”，事件D =“取出的模型外观和内饰都异色”，事件E =“仅外观或仅内饰同色”，
()222220101552
502
7C C C C P C C +++==，……………………………………9分
()1111
20510152
5010
49
C C C C P
D C +==，……………………………………11分
()11111111
201510520101552
5025
49
C C C C C C C C P E C +++==，……………………………13分因为()()()P E P C P
D >>，所以获得一等奖的概率为1049
，二等奖的概率为2
7，三等奖的概率为2549，
其分布列为
……………………………………
14分
期望为()225300020001000169449749
E X =⨯
+⨯+⨯≈.……………………………15分
17.解:（1）当1a =时，则()e 1x f x x =--，()e 1x f x '=-，可得(1)e 2f =-，(1)e 1f '=-，
……………………………3分
即切点坐标为()1,e 2-，切线斜率e 1k =-，
所以切线方程为()()()e 2e 11y x --=--，即()e 110x y ---=.……………5分
（2）解法一：因为()f x 的定义域为R ，且()e '=-x f x a ，若0a ≤，则()0f x '≥对任意x ∈R 恒成立，可知()f x 在R 上单调递增，无极值，不合题意；
……………………………7分
若0a >，令()0f x '>，解得ln x a >；令()0f x '<，解得ln x a <；
可知()f x 在(),ln a ∞-内单调递减，在()ln ,a ∞+内单调递增，………………9分
则()f x 有极小值()3
ln ln f a a a a a =--，无极大值，……………………………11分
由题意可得：()3
ln ln 0f a a a a a =--<，即2ln 10a a +->，
构建()2
ln 1,0g a a a a =+->，则()1
20g a a a
+
'=>，………………………13分可知()g a 在()0,∞+内单调递增，且()10g =，
不等式2ln 10a a +->等价于()()1g a g >，解得1a >，所以a 的取值范围为()1,∞+；
……………………………15分
解法二：因为()f x 的定义域为R ，且()e '=-x f x a ，若()f x 有极小值，则()e '=-x f x a 有零点，令()e 0x f x a '=-=，可得e x a =，可知e x y =与y a =有交点，则0a >，
若0a >，令()0f x '>，解得ln x a >；令()0f x '<，解得ln x a <；可知()f x 在(),ln a ∞-内单调递减，在()ln ,a ∞+内单调递增，
则()f x 有极小值()3
ln ln f a a a a a =--，无极大值，符合题意，
由题意可得：()3
ln ln 0f a a a a a =--<，即2ln 10a a +->，
构建()2
ln 1,0g a a a a =+->，
因为则2,ln 1y a y a ==-在()0,∞+内单调递增，可知()g a 在()0,∞+内单调递增，且()10g =，
不等式2ln 10a a +->等价于()()1g a g >，解得1a >，所以a 的取值范围为()1,+∞.
(参考解法一：酌情给分)
18.解:（1）由题可知，X 的所有可能取值为0,1,2,3，且
()1111
023318
P X ==⨯⨯=，……………………………………2分
()1211221124
12332332339
P X ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=……………………………4分
()1121221214
22332332339P X ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=……………………………6分
()1111
323318
P X ==⨯⨯=
……………………………8分X 的分布列为……………………………
9分
X 0
1
2
3
P
1184949118
则()1441301231899182E X =⨯
+⨯+⨯+⨯=.……………………………
10分
（2）设i A =“考生甲答对第i 道试题”，则()
()
1112,33
i i i i P A A P A A ++=
=∣∣，……………………………12分
()()()()()()()
11112
33
i i i i i i i i
i P A P A P A A P A P A A P A P A +++=+=+∣∣()()()1212
13333
i i i P A P A P A ⎡⎤=+-=-+⎣⎦，则()()1111232i i P A P A +⎡⎤
-
=--⎢⎥⎣⎦
.……………………………14分
因为()11122P A -
=，所以()12i P A ⎧
⎫-⎨⎬⎩
⎭是以12为首项，13-为公比的等比数列，
则()1
111223i i P A -⎛⎫-=⨯- ⎪⎝⎭，即()1
111223i i P A -⎛⎫
=+⨯- ⎪⎝⎭，
则()9
109
11111
223223P A ⎛⎫=+⨯-=- ⎪⨯⎝⎭，
即他第10道试题也答对的概率为
911
223
-⨯.……………………………17分19.解：（1）()()()
22233f x x ax a x a x a =+-=+-'①若0a <，当()(),3,x a a ∈-∞-+∞ 时，()0f x '>；当(),3x a a ∈-时，()0f x '<故()f x 在(),a -∞上单调递增，在(),3a a -上单调递减，在()3,a -+∞上单调递增…2分②若0a =，则()20f x x '=≥，则()f x 在R 上单调递增
……………………
3分
③若0a >，当()(),3,x a a ∈-∞-+∞ 时，()0f x '>；当()3,x a a ∈-时，()0f x '<故()f x 在(),3a -∞-上单调递增，在()3,a a -上单调递减，在(),a +∞上单调递增…5分综上所述：
①当0a <时，()f x 在(),a -∞上单调递增，在(),3a a -上单调递减，在()3,a -+∞上单调递增；
②当0a =时，则()f x 在R 上单调递增；
③当0a >时，()f x 在(),3a -∞-上单调递增，在()3,a a -上单调递减，在(),a +∞上单调递增．
（2）当1a =时，()3
2133
f x x x x =
+-，()223f x x x =+-'，切点32
1,33n n n n n A x x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭
……………………………
7分
切线斜率：2
23n n x x +-，故切线方程为：(
)()2
321
23
33
n n n
n
n n
y x x x x x x x =+--++-联立得：(
)
()2
32
321123
3333
n n n n n n
x x x x x x x x x x +--++-=+-化简得：()
3
2
2
32
336230n n n n x x x x x x x +-+++=因式分解得：()()2
230n n x x x x -++=．
故123
n n x x +=--……………………………
9分
上式亦满足由0A 作切线而得到的1A 的横坐标1x ，故13
x =-()1121n n x x ++=-+，则{}1n x +是以2-为首项，以2-为公比的等比数列
故()12n
n x +=-，故()21
n
n x =--……………………………11分
（3）构造()()ln 1g x x x =+-，()
0x >()11011x g x x x
-=
'-=<++，故()g x 在()0,+∞上单调递减，故()()00g x g <=故当0x >时，()ln 1x x
+<……………………………
13分
故()1111
ln 11122n n n n x x ⎛⎫+<== ⎪ ⎪++-⎝⎭
则1111ln 112x ⎛⎫+
< ⎪ ⎪+⎝⎭，2211ln 112x ⎛⎫+< ⎪ ⎪+⎝⎭，……，11ln 112n n x ⎛⎫+< ⎪ ⎪+⎝
⎭…15分将上式累加，得
111111111111
ln 1ln 1ln 111112222n n x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++<+++=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭
故12111 ln 1111111n x x x ⎡⎤
⎛
⎫⎛⎫⎛⎫+
++<⎢⎥ ⎪⎪ ⎪⎪ +++⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
故12311111111e 1111n x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
++++< ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪++++⎝
⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ……………………17分。