中山区高中2018-2019学年上学期高三数学期末模拟试卷含答案

中山区高中2018-2019学年上学期高三数学期末模拟试卷含答案班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为40%．现采用随机模拟试验的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率：先利用计算器产生0到9之间取整数值的随机数，用1，2，3，4表示下雨，用5，6，7，8，9，0表示不下雨；再以每三个随机数作为一组，代表这三天的下雨情况．经随机模拟试验产生了如下20组随机数：907 966 191 925 271 932 812 458 569 683431 257
393
027
556
488
730
113 537
989
据此估计，这三天中恰有两天下雨的概率近似为（ ）
A ．0.35
B ．0.25
C ．0.20
D ．0.15
2． 设数集M={x|m ≤x ≤m+}，N={x|n ﹣≤x ≤n}，P={x|0≤x ≤1}，且M ，N 都是集合P 的子集，如果把b ﹣a 叫做集合{x|a ≤x ≤b}的“长度”，那么集合M ∩N 的“长度”的最小值是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
3． 空间直角坐标系中，点A （﹣2，1，3）关于点B （1，﹣1，2）的对称点C 的坐标为（ ）
A ．（4，1，1）
B ．（﹣1，0，5）
C ．（4，﹣3，1）
D ．（﹣5，3，4）4． 以下四个命题中，真命题的是（ ）
A ．2
,2
x R x x ∃∈≤- B ．“对任意的，”的否定是“存在，x R ∈210x x ++>0x R ∈20010x x ++< C ．，函数都不是偶函数
R θ∀∈()sin(2)f x x θ=+ D ．已知，表示两条不同的直线，，表示不同的平面，并且，，则“”是m n αβm α⊥n β⊂αβ⊥ “”的必要不充分条件
//m n 【命题意图】本题考查量词、充要条件等基础知识，意在考查逻辑推理能力．
5． 设D 、E 、F 分别是△ABC 的三边BC 、CA 、AB 上的点，且=2
，
=2
，
=2
，则
与
（
）
A ．互相垂直
B ．同向平行
C ．反向平行
D ．既不平行也不垂直
6． 函数y=e cosx （﹣π≤x ≤π）的大致图象为（
）
A ．
B ．
C ．
D ．
7． 若为等差数列，为其前项和，若，，，则成立的最大自{}n a n S 10a >0d <48S S =0n S >然数为（
）
A ．11
B ．12
C ．13
D ．14
8． 函数f （x ）=lnx ﹣+1的图象大致为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
9． 已知函数f （x ）=ax 3﹣3x 2+1，若f （x ）存在唯一的零点x 0，且x 0＞0，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．（1，+∞）
B ．（2，+∞）
C ．（﹣∞，﹣1）
D ．（﹣∞，﹣2）
10．在正方体中， 分别为的中点，则下列直线中与直线 EF
相交
1111ABCD A B C D -,E F 1,BC BB 的是（
）
A ．直线
B ．直线
C. 直线
D ．直线1AA 11A B 11A D 11
B C 11．在复平面内，复数所对应的点为，是虚数单位，则（ ）1z
i
+(2,1)-i z =A ．
B ．
C ．
D ．
3i
--3i -+3i -3i +12．一个几何体的三视图如图所示，且其侧视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积为（
）
A ．
B ．（4+π）
C ．
D ．
二、填空题
13．用描述法表示图中阴影部分的点（含边界）的坐标的集合为 ．
14
有两个不等实根，则的取值范围是
．
()23k x =-+15．在中，已知，则此三角形的最大内角的度数等ABC ∆sin :sin :sin 3:5:7A B C =于__________.
16．设，实数，满足，若，则实数的取值范围是___________．
R m ∈x y 23603260y m x y x y ≥⎧⎪
-+≥⎨⎪--≤
⎩
182≤+y x m 【命题意图】本题考查二元不等式（组）表示平面区域以及含参范围等基础知识，意在考查数形结合的数学思想与运算求解能力．
17．圆柱形玻璃杯高8cm ，杯口周长为12cm ，内壁距杯口2cm 的点A 处有一点蜜糖．A 点正对面的外壁（不是A 点的外壁）距杯底2cm 的点B 处有一小虫．若小虫沿杯壁爬向蜜糖饱食一顿，最少要爬多少 cm ．（不计杯壁厚度与小虫的尺寸）
18．已知函数，则的值是_______，的最小正周期是______.2
2tan ()1tan x f x x =
-()3
f π
()f x 【命题意图】本题考查三角恒等变换，三角函数的性质等基础知识，意在考查运算求解能力．
三、解答题
19．
19．已知函数f （x ）=ln
．
20．某港口的水深y（米）是时间t（0≤t≤24，单位：小时）的函数，下面是每天时间与水深的关系表：
t03691215182124
y10139.97101310.1710
经过长期观测，y=f（t）可近似的看成是函数y=Asinωt+b
（1）根据以上数据，求出y=f（t）的解析式；
（2）若船舶航行时，水深至少要11.5米才是安全的，那么船舶在一天中的哪几段时间可以安全的进出该港？
21．某校从高一年级学生中随机抽取40名学生作为样本，将他们的期中考试数学成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：[40，50），[50，60），[90，100）后得到如图的频率分布直方图．（Ⅰ）求图中实数a的值；
（Ⅱ）根据频率分布直方图，试估计该校高一年级学生其中考试数学成绩的平均数；
（Ⅲ）若从样本中数学成绩在[40，50）与[90，100]两个分数段内的学生中随机选取2名学生，试用列举法求这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率．
22．（本小题满分12分）
如图，在四棱锥中，底面是菱形，且．点是棱的中点，平面P ABCD -ABCD 120ABC ∠=︒E PC ABE 与棱交于点．PD F （1）求证：；
//AB EF （2）若，且平面平面，求平面与平面所成的锐二面角的余2PA PD AD ===PAD ⊥ABCD PAF AFE 弦值．
【命题意图】本小题主要考查空间直线与平面，直线与直线垂直的判定，二面角等基础知识，
考查空间想象能力,推理论证能力,运算求解能力，以及数形结合思想、化归与转化思想.
23．一个几何体的三视图如图所示，已知正（主）视图是底边长为1的平行四边形，侧（左）视图，宽为1的矩形，俯视图为两个边长为1的正方形拼成的矩形．（1）求该几何体的体积；111]V （2）求该几何体的表面积．
S
24．已知函数，．（Ⅰ）求函数的最大值；
（Ⅱ）若，求函数的单调递增区间．
中山区高中2018-2019学年上学期高三数学期末模拟试卷含答案（参考答案）一、选择题
1．【答案】B
【解析】解：由题意知模拟三天中恰有两天下雨的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数，
在20组随机数中表示三天中恰有两天下雨的有：191、271、932、812、393，共5组随机数，
∴所求概率为．
故选B．
2．【答案】C
【解析】解：∵集M={x|m≤x≤m+}，N={x|n﹣≤x≤n}，
P={x|0≤x≤1}，且M，N都是集合P的子集，
∴根据题意，M的长度为，N的长度为，
当集合M∩N的长度的最小值时，
M与N应分别在区间[0，1]的左右两端，
故M∩N的长度的最小值是=．
故选：C．
3．【答案】C
【解析】解：设C（x，y，z），
∵点A（﹣2，1，3）关于点B（1，﹣1，2）的对称点C，
∴，解得x=4，y=﹣3，z=1，
∴C（4，﹣3，1）．
故选：C．
4．【答案】D
5．【答案】D
【解析】解：如图所示，
△ABC中，=2，=2，=2，
根据定比分点的向量式，得
==+，
=+，=+，
以上三式相加，得
++=﹣，
所以，与反向共线．
【点评】本题考查了平面向量的共线定理与定比分点的应用问题，是基础题目．
6．【答案】C
【解析】解：函数f（x）=e cosx（x∈[﹣π，π]）
∴f（﹣x）=e cos（﹣x）=e cosx=f（x），函数是偶函数，排除B、D选项．
令t=cosx，则t=cosx当0≤x≤π时递减，而y=e t单调递增，
由复合函数的单调性知函数y=e cosx在（0，π）递减，所以C选项符合，
故选：C．
【点评】本题考查函数的图象的判断，考查同学们对函数基础知识的把握程度以及数形结合的思维能力．　
7． 【答案】A 【解析】
考
点：得出数列的性质及前项和．
【方法点晴】本题主要考查了等差出数列的性质及前项和问题的应用，其中解答中涉及到等差数列的性质，等差数列的前项和等公式的灵活应用的知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，属于中档题，本题的解答中，由“，”判断前项和的符号问题是解答的关键．
10a >0d <
8． 【答案】A
【解析】解：∵f （x ）=lnx ﹣+1，
∴f ′（x ）=﹣
=
，
∴f （x ）在（0，4）上单调递增，在（4，+∞）上单调递减；且f （4）=ln4﹣2+1=ln4﹣1＞0；故选A ．
【点评】本题考查了导数的综合应用及函数的图象的应用．　
9． 【答案】D
【解析】解：∵f （x ）=ax 3﹣3x 2+1，∴f ′（x ）=3ax 2﹣6x=3x （ax ﹣2），f （0）=1；
①当a=0时，f （x ）=﹣3x 2+1有两个零点，不成立；
②当a ＞0时，f （x ）=ax 3﹣3x 2+1在（﹣∞，0）上有零点，故不成立；③当a ＜0时，f （x ）=ax 3﹣3x 2+1在（0，+∞）上有且只有一个零点；故f （x ）=ax 3﹣3x 2+1在（﹣∞，0）上没有零点；
而当x=时，f （x ）=ax 3﹣3x 2+1在（﹣∞，0）上取得最小值；故f （）=﹣3•
+1＞0；
故a ＜﹣2；综上所述，
实数a 的取值范围是（﹣∞，﹣2）；
故选：D ．　
10．【答案】D 【解析】
试题分析：根据已满治安的概念可得直线都和直线为异面直线，和在同一个平11111,,AA A B A D EF 11B C EF 面内，且这两条直线不平行；所以直线和相交，故选D.11B C EF 考点：异面直线的概念与判断.11．【答案】D
【解析】解析：本题考查复数的点的表示与复数的乘法运算，，，选D ．21z
i i
=-+(1)(2)3z i i i =+-=+12．【答案】 D
【解析】解：由三视图知，几何体是一个组合体，是由半个圆锥和一个四棱锥组合成的几何体，圆柱的底面直径和母线长都是2，四棱锥的底面是一个边长是2的正方形，四棱锥的高与圆锥的高相同，高是=
，
∴几何体的体积是=
，
故选D ．
【点评】本题考查由三视图求组合体的体积，考查由三视图还原直观图，本题的三视图比较特殊，不容易看出直观图，需要仔细观察．　
二、填空题
13．【答案】　{（x ，y ）|xy ＞0，且﹣1≤x ≤2，﹣≤y ≤1}　．
【解析】解：图中的阴影部分的点设为（x ，y ）则{x ，y ）|﹣1≤x ≤0，﹣≤y ≤0或0≤x ≤2，0≤y ≤1}
={（x ，y ）|xy ＞0且﹣1≤x ≤2，﹣≤y ≤1}
故答案为：{（x ，y ）|xy ＞0，且﹣1≤x ≤2，﹣≤y ≤1}．　
14．【答案】53,124⎛⎤
⎥⎝
⎦【解析】
试题分析：作出函数和的图象，如图所示，函数
的图象是一个半圆，y =()23y k x =-
+y =直线的图象恒过定点，结合图象，可知，当过点时，，当直线()23y k x =-+()2,3()2,0-303224
k -==+
，解得，所以实数的取值范围是.111]()23y k x =-+2
512k =53,124⎛⎤ ⎥⎝⎦考点：直线与圆的位置关系的应用．
【方法点晴】本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，其中解答中涉及到点到直线的距离公式、两点间的斜率公式，以及函数的图像的应用等知识点的综合考查，着重考查了转化与化归思想和学生的分析问题和解答问题的能力，属于中档试题，本题的解答中把方程的根转化为直线与半圆的交点是解答的关键.
15．【答案】120
【解析】考
点：解三角形．
【方法点晴】本题主要考查了解三角形问题，其中解答中涉及到三角形的正弦定理、余弦定理的综合应用，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，属于基础题，本题的解答中根据，根据正弦定理，可设，即可利用余弦定理求解最大角的余弦，sin :sin :sin 3:5:7A B C =3,5,7a b ===熟记正弦、余弦定理的公式是解答的关键．
16．【答案】.
[3,6]-【解析】
17．【答案】　10　cm
【解析】解：作出圆柱的侧面展开图如图所示，设A关于茶杯口的对称点为A′，则A′A=4cm，BC=6cm，∴A′C=8cm，
∴A′B==10cm．
故答案为：10．
【点评】本题考查了曲面的最短距离问题，通常转化为平面图形来解决．
π
18．【答案】，.
【解析】∵，∴，又∵，∴的定义域为22tan ()tan 21tan x f x x x ==
-2(tan 33f ππ==221tan 0x k x ππ⎧≠+⎪⎨⎪-≠⎩
()f x ，，将的图象如下图画出，从而(,)(,)(,)244
442
k k k k k k ππππππ
ππππππ-+-+-++++ k Z ∈()f x 可知其最小正周期为，故填：.ππ三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（1）∵f （x ）是奇函数，
∴设x ＞0，则﹣x ＜0，
∴f （﹣x ）=（﹣x ）2﹣mx=﹣
f （x ）=﹣（﹣x 2+2x ）
从而m=2．
（2）由f （x ）的图象知，若函数f （x ）在区间[﹣1，a ﹣2]上单调递增，
则﹣1≤a ﹣2≤1
∴1≤a ≤3
【点评】本题主要考查函数奇偶性的应用以及函数单调性的判断，利用数形结合是解决本题的关键．
20．【答案】
【解析】解：（1）由表中数据可以看到：水深最大值为13，最小值为7，
∴=10，
且相隔9小时达到一次最大值说明周期为12，
因此，，
故（0≤t≤24）
（2）要想船舶安全，必须深度f（t）≥11.5，即
∴，
解得：12k+1≤t≤5+12k k∈Z
又0≤t≤24
当k=0时，1≤t≤5；
当k=1时，13≤t≤17；
故船舶安全进港的时间段为（1：00﹣5：00），（13：00﹣17：00）．
【点评】本题主要考查三角函数知识的应用问题．解决本题的关键在于求出函数解析式．求三角函数的解析式注意由题中条件求出周期，最大最小值等．
21．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）由频率分布直方图，得：
10×（0.005+0.01+0.025+a+0.01）=1，
解得a=0.03．
（Ⅱ）由频率分布直方图得到平均分：
=0.05×45+0.1×55+0.2×65+0.3×75+0.25×85+0.1×95=74（分）．
（Ⅲ）由频率分布直方图，得数学成绩在[40，50）内的学生人数为40×0.05=2，这两人分别记为A，B，
数学成绩在[90，100）内的学生人数为40×0.1=4，这4人分别记为C，D，E，F，
若从数学成绩在[40，50）与[90，100）两个分数段内的学生中随机选取2名学生，
则所有的基本事件有：
（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（A，F），（B，C），（B，D），（B，E），
（B，F），（C，D），（C，E），（C，F），（D，E），（D，F），（E，F），共15个，
如果这两名学生的数学成绩都在[40，50）或都在[90，100）内，
则这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10，
记“这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10”为事件M，
则事件M包含的基本事件有：（A，B），（C，D），（C，E），（C，F），（D，E），（D，F），（E，F），共7个，
所以这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率P=．
【点评】本题考查频率和概率的求法，二查平均分的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意频率分布直方图和列举法的合理运用．
22．【答案】
【解析】
∵平面，∴是平面的一个法向量，
BG ⊥PAD )0,3,0(=GB PAF
23．【答案】（1；（2）．6+【解析】
（2）由三视图可知，
该平行六面体中平面，平面，
1A D ⊥ABCD CD ⊥11BCC B ∴，侧面，均为矩形，
12AA =11ABB A 11CDD C
．1
2(11112)6S =⨯++⨯=+
考点：几何体的三视图；几何体的表面积与体积．
【方法点晴】本题主要考查了空间几何体的三视图、解题的表面积与体积的计算，其中解答中涉及到几何体的表面积和体积公式的应用，着重考查了推理和运算能力及空间想象能力，属于中档试题，解答此类问题的关键是根据三视图的规则“长对正、宽相等、高平齐”的原则，还原出原几何体的形状是解答的关键．
24．【答案】
【解析】【知识点】三角函数的图像与性质恒等变换综合
【试题解析】（Ⅰ）由已知
当
，即， 时，
（Ⅱ)当时，递增即，令，且注意到函数的递增区间为。