贵阳市第三中学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

7 16
C．
1 2
D．
1 4
3． 设 F1，F2 为椭圆 ） A． B． C．
=1 的两个焦点，点 P 在椭圆上，若线段 PF1 的中点在 y 轴上，则
的值为（
D． ）
4． 棱长都是 1 的三棱锥的表面积为（ A． ） B． C． D．
5． 用反证法证明命题“a，b∈N，如果 ab 可被 5 整除，那么 a，b 至少有 1 个能被 5 整除．”则假设的内容是（ A．a，b 都能被 5 整除 B．a，b 都不能被 5 整除 C．a，b 不能被 5 整除 D．a，b 有 1 个不能被 5 整除 6． 函数 y=f′（x）是函数 y=f（x）的导函数，且函数 y=f（x）在点 p（x0，f（x0））处的切线为 l：y=g（x） =f′（x0）（x﹣x0）+f（x0） ，F（x）=f（x）﹣g（x） ，如果函数 y=f（x）在区间[a，b]上的图象如图所示，且 a＜ x0＜b，那么（ ）
（m 3m 3) x 15．幂函数 f ( x)
2
m 2 2 m 1
在区间 0, 上是增函数，则 m
16．在△ABC 中，角 A，B，C 所对边分别为 a，b，c，且 18．在极坐标系中，点（2， ）到直线 ρ（cosθ+
，B=45°，面积 S=2，则 b 等于 ．
∴tan∠BCA=
=
=
，
令 t=y+6（t＞0），则 tan∠BCA= ∴t=2
=
≥
时，位置 C 对隧道底 AB 的张角最大，
故选：A．
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【点评】本题考查抛物线的方程与应用，考查基本不等式，确定抛物线的方程及 tan∠BCA，正确运用基本不 等式是关键． 8． 【答案】A 【解析】解：画出满足条件的平面区域，如图示：
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A．F′（x0）=0，x=x0 是 F（x）的极大值点 B．F′（x0）=0，x=x0 是 F（x）的极小值点 C．F′（x0）≠0，x=x0 不是 F（x）极值点 D．F′（x0）≠0，x=x0 是 F（x）极值点 7． 如图，一隧道截面由一个长方形和抛物线构成现欲在随道抛物线拱顶上安装交通信息采集装置若位置 C 对隧道底 AB 的张角 θ 最大时采集效果最好，则采集效果最好时位置 C 到 AB 的距离是（ ）
2 ，半 3
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径 OA 为 1km ，为了便于游客观光休闲，拟在观光区内铺设一条从入口 A 到出口 B 的观光道路，道路由圆弧
AC 、线段 CD 及线段 BD 组成．其中 D 在线段 OB 上，且 CD / / AO ，设 AOC ．
（1）用 表示 CD 的长度，并写出 的取值范围； （2）当 为何值时，观光道路最长？
二、填空题
13 ．直线 l1 和 l2 是圆 x2+y2=2 的两条切线，若 l1 与 l2 的交点为（ 1 ， 3 ），则 l1 与 l2 的夹角的正切值等于 _________ 。 14．设 O 为坐标原点，抛物线 C： y2=2px（p＞0）的准线为 l，焦点为 F，过 F 斜率为 交于 A，B 两点，直线 AO 与 l 相交于 D，若|AF|＞|BF|，则 = ． ． 的直线与抛物线 C 相
A．2
m B．2
m C．4 m D．6 m ，则（x﹣3）2+y2 的最小值是（ D．2 ） ） ）
8． 若实数 x，y 满足 A． B．8 C．20
9． 已知集合 A={0，1，2}，则集合 B={x﹣y|x∈A，y∈A}的元素个数为（ A．4 B．5 C．6 D．9
10．袋内分别有红、白、黑球 3，2，1 个，从中任取 2 个，则互斥而不对立的两个事件是（ A．至少有一个白球；都是白球 B．至少有一个白球；至少有一个红球 C．恰有一个白球；一个白球一个黑球 D．至少有一个白球；红、黑球各一个
f ( x 5) x 2 x 2 x 2 ，则 f (2016) （ 11．已知函数 f ( x) e f ( x) x 2
A． e
2
）
B． e
C．1
D．
1 e
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【命题意图】本题考查分段函数的求值，意在考查分类讨论思想与计算能力． 12．下列函数中，既是奇函数又在区间（0，+∞）上单调递增的函数为（ A．y=sinx B．y=1g2x C．y=lnx D．y=﹣x3 【考点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断． 【专题】函数的性质及应用． 【分析】根据正弦函数的单调性，对数的运算，一次函数的单调性，对数函数的图象及单调性的定义即可判断 每个选项的正误，从而找出正确选项． ）
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23．已知函数 f（x）=ax2+bx+c，满足 f（1）=﹣ ，且 3a＞2c＞2b． （1）求证：a＞0 时， 的取值范围； （2）证明函数 f（x）在区间（0，2）内至少有一个零点； （3）设 x1，x2 是函数 f（x）的两个零点，求|x1﹣x2|的取值范围．
17．函数 f（x）=x2ex 在区间（a，a+1）上存在极值点，则实数 a 的取值范围为 ． sinθ）=6 的距离为 ．
三、解答题
19．已知矩阵 M 坐标． 所对应的线性变换把点 A（x，y）变成点 A′（13，5），试求 M 的逆矩阵及点 A 的
20．【南师附中 2017 届高三模拟二】如下图扇形 AOB 是一个观光区的平面示意图，其中 AOB 为
C． 3,5
D． 3,5

x 3 , A B （

【命题意图】本题考查二次函数的图象和函数定义域等基础知识，意在考查基本运算能力． 2． 已知 f ( x) （ A． ）
ax 2 x, x 0 2 x,
B．
x0
9 16
，若不等式 f ( x 2) f ( x) 对一切 x R 恒成立，则 a 的最大值为
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贵阳市第三中学校 2018-2019 学年高二上学期第二次月考试卷数学 班级__________ 一、选择题
A． 1,
姓名__________
分数__________
）
1． 已知集合 A y | y x 5 , B x | y
2


B． 1,3
2

x 3 x | x 3 , A B 3,5 ，故选 D.

9 8 1 2 ，切点横坐标为 ，函数 y ax x 图象经过点 (2, 0) 时， a ， 16 3 2
观察图象可得 a 3． 【答案】C
1 ，选 C． 2
=1 的两个焦点，可得 F1（﹣ ，0），F2（ ）．a=2，b=1．
1． 【答案】D 【解析】 A y | y 5 , B x | y 2． 【答案】C 【解析】解析：本题考查用图象法解决与函数有关的不等式恒成立问题． 当 a 0 （如图 1）、 a 0 （如图 2）时，不等式不可能恒成立；当 a 0 时，如图 3，直线 y 2( x 2) 与 函数 y ax x 图象相切时， a
【解析】解：F1，F2 为椭圆
点 P 在椭圆上，若线段 PF1 的中点在 y 轴上，PF1⊥F1F2， |PF2|= = ，由勾股定理可得：|PF1|= = ．
= = ． 故选：C． 【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查计算能力． 4． 【答案】A 【解析】解：因为四个面是全等的正三角形 则 故选 A 5． 【答案】B 【解析】解 ： 由于反证法是命题的否定的一个运用，故用反证法证明命题时，可以设其否定成立进行推证． 命题“a，b∈N，如果 ab 可被 5 整除，那么 a，b 至少有 1 个能被 5 整除．”的否定是“a，b 都不能被 5 整除”． ． ，
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【解析】解：从 3 个红球，2 个白球，1 个黑球中任取 2 个球的取法有： 2 个红球，2 个白球，1 红 1 黑，1 红 1 白，1 黑 1 白共 5 类情况， 所以至少有一个白球，至多有一个白球不互斥； 至少有一个白球，至少有一个红球不互斥； 至少有一个白球，没有白球互斥且对立； 至少有一个白球，红球黑球各一个包括 1 红 1 白，1 黑 1 白两类情况，为互斥而不对立事件， 故选：D 【点评】本题考查了互斥事件和对立事件，是基础的概念题． 11．【答案】B 【解析】 f ( 2016) f (2016) f (5 403 1) f (1) e ，故选 B． 12．【答案】B 【解析】解：根据 y=sinx 图象知该函数在（0，+∞）不具有单调性； y=lg2x=xlg2，所以该函数是奇函数，且在（0，+∞）上单调递增，所以选项 B 正确； 根据 y=lnx 的图象，该函数非奇非偶； 根据单调性定义知 y=﹣x3 在（0，+∞）上单调递减． 故选 B． 【点评】考查正弦函数的单调性，对数的运算，以及一次函数的单调性，对数函数的图象，奇偶函数图象的对 称性，函数单调性的定义．
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故应选 B． 【点评】 反证法是命题的否定的一个重要运用， 用反证法证明问题大大拓展了解决证明问题的技巧． 6． 【答案】 B 【解析】解：∵F（x）=f（x）﹣g（x）=f（x）﹣f′（x0）（x﹣x0）﹣f（x0）， ∴F'（x）=f'（x）﹣f′（x0） ∴F'（x0）=0， 又由 a＜x0＜b，得出 当 a＜x＜x0 时，f'（x）＜f′（x0），F'（x）＜0， 当 x0＜x＜b 时，f'（x）＜f′（x0），F'（x）＞0， ∴x=x0 是 F（x）的极小值点 故选 B． 【点评】本题主要考查函数的极值与其导函数的关系，即当函数取到极值时导函数一定等于 0，反之当导函数 等于 0 时还要判断原函数的单调性才能确定是否有极值． 7． 【答案】A 【解析】解：建立如图所示的坐标系，设抛物线方程为 x2=﹣2py（p＞0）， 将点（4，﹣4）代入，可得 p=2， 所以抛物线方程为 x2=﹣4y， 设 C（x，y）（y＞﹣6），则 由 A（﹣4，﹣6），B（4，﹣6），可得 kCA= ，kCB= ，
21．已知函数 f（x）=sin2x+ （Ⅱ）当 x∈[﹣
（1﹣2sin2x）．
（Ⅰ）求 f（x）的单调减区间； ， ]时，求 f（x）的值域．
22．已知圆 C 经过点 A（﹣2，0），B（0，2），且圆心在直线 y=x 上，且，又直线 l：y=kx+1 与圆 C 相交于 P、Q 两点． （Ⅰ）求圆 C 的方程； （Ⅱ）若 ，求实数 k 的值； （Ⅲ）过点（0，1）作直线 l1 与 l 垂直，且直线 l1 与圆 C 交于 M、N 两点，求四边形 PMQN 面积的最大值．
，
由图象得 P（3，0）到平面区域的最短距离 dmin= ∴（x﹣3）2+y2 的最小值是： 故选：A． ．
，
【点评】本题考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，是一道基础题． 9． 【答案】B 【解析】解：①x=0 时，y=0，1，2，∴x﹣y=0，﹣1，﹣2； ②x=1 时，y=0，1，2，∴x﹣y=1，0，﹣1； ③x=2 时，y=0，1，2，∴x﹣y=2，1，0； ∴B={0，﹣1，﹣2，1，2}，共 5 个元素． 故选：B． 10．【答案】D
二、填空题
13．【答案】 【解析】设 l1 与 l2 的夹角为 2θ，由于 l1 与 l2 的交点 A（1，3）在圆的外部， 且点 A 与圆心 O 之间的距离为 OA= 圆的半径为 r= ， = ，
24．如图，在底面是矩形的四棱锥 P﹣ABCD 中，PA⊥平面 ABCD，PA=AB=2，BC=2，E 是 PD 的中点． （1）求证：平面 PDC⊥平面 PAD； （2）求二面角 E﹣AC﹣D 所成平面角的余弦值．
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
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贵阳市第三中学校 2018-2019 学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案） 一、选择题