【2019高考理科真题】分类汇编： 6.1考点1 由数列的递推关系求通项公式

高考真题
（2019•浙江卷）设，数列中，， ,则（ ）
A ．当
B ．当
C ．当
D ．当
【解析】对于B ，令0，得λ， 取，∴， ∴当b 时，a 10＜10，故B 错误； 对于C ，令x 2﹣λ﹣2＝0，得λ＝2或λ＝﹣1， 取a 1＝2，∴a 2＝2，…，a n ＝2＜10， ∴当b ＝﹣2时，a 10＜10，故C 错误； 对于D ，令x 2﹣λ﹣4＝0，得
取，∴，…，10， ∴当b
＝﹣4时，a 10＜10，故D 错误； 对于
A ，，， ，
a n +1﹣a n
＞0，{a n }递增，
,a b ∈R {}n a 2
11,n n a a a a b +==+N n *∈101
,102b a =
>101
,104
b a =
>102,10b a =->104,10b a =->2
14x λ-+
=12
=112a =
211
1022n a a ==，，＜
1
4
=
λ=
1a =
2a =n a =2
21122a a =+
≥223113
()224
a a =++≥4224319117
()14216216
a a a =+++≥+=＞
当n ≥4时，a n 1， ∴，∴
（）6，∴a 1010．故A 正确． 故选：A ． 【答案】A
（2019•北京卷（理））已知数列{a n }，从中选取第i 1项、第i 2项、…、第i m 项（i 1<i 2<…<i m ），若，
则称新数列为{a n }的长度为m 的递增子列．规定：数列{a n }的任意一项都是{a n }的长度为1的递增子列．
（Ⅰ）写出数列1，8，3，7，5，6，9的一个长度为4的递增子列；
（Ⅱ）已知数列{a n }的长度为p 的递增子列的末项的最小值为，长度为q 的递增子列的末项的最小值为
.若p <q ，求证：<；
（Ⅲ）设无穷数列{a n }的各项均为正整数，且任意两项均不相等.若{a n }的长度为s 的递增子列末项的最小值为2s –1，且长度为s 末项为2s –1的递增子列恰有2s -1个（s =1，2，…），求数列{a n }的通项公式．
【解析】（Ⅰ）满足题意的一个长度为4的递增子列为：1,3,5,6. （Ⅱ）对于每一个长度为的递增子列，都能从其中找到若干个长度为的递增子列
，此时，
设所有长度为的子列的末项分别为：， 所有长度为的子列的末项分别为：，
则，
1
n n
a a +=1
2n
a +＞1322+=54
45109323232
a a a a a
a ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⋅⎨⎪⋅
⎪⋅⎪⎪⎪⎪⎩＞＞＞104a a ＞3272964＞＞12m i i i a a a <<⋅⋅⋅<12m i i i a a a ⋅⋅⋅，，
，0m a 0n a 0m a 0n a q 12,,
q a a a p 12,,p a a a p q a a ≤q {}123,,,q q q a a a p {
}123,,,p p p a a a {}0123min ,,,
n q q q a a a a =
注意到长度为的子列可能无法进一步找到长度为的子列， 故，
据此可得：.
（Ⅲ）满足题意的一个数列的通项公式可以是，
下面说明此数列满足题意.
很明显数列为无穷数列，且各项均为正整数，任意两项均不相等. 长度为的递增子列末项的最小值为2s -1，
下面用数学归纳法证明长度为s 末项为2s -1的递增子列恰有个：
当时命题显然成立，
假设当时命题成立，即长度为k 末项为2k -1的递增子列恰有个， 则当时，对于时得到的每一个子列，
可构造：和两个满足题意的递增子列，
则长度为k +1末项为2k +1的递增子列恰有个， 综上可得，数列是一个满足题意的数列的通项公式.
注：当时，所有满足题意的数列为：， 当时，数列对应的两个递增子列为：和. 【答案】（Ⅰ） 1,3,5,6. （Ⅱ）见解析； （Ⅲ）见解析.
p q {}0123min ,,,m p p p a a a a ≤00m n a a <1,2,1,4,3,6,5,8,7,
1,n n n a n n -⎧==⎨+⎩
为偶数
为奇数s 12s -()1,2,s =1n =n k =12k -1n k =+n k =121,,,,21k s s s a a a k --()121,,
,,21,211k s s s a a a k k --+-()121,,,,2,211k s s s a a a k k -+-()1112222k k k +--⨯==1,2,1,4,3,6,5,8,7,
1,n n n a n n -⎧==⎨
+⎩为偶数
为奇数
3s ={}{}{}{}2,3,5,1,3,5,2,4,5,1,4,54s ={}2,3,5{}2,3,5,7{}2,3,6,7。