高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2抛物线的简单性质二课件北师大版选修1_149
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解得b＝2，故直线过定点(2，0).
反思与感悟
在直线和抛物线的综合题中，经常遇到求定值、过定点问题，解决这 类问题的方法很多，如斜率法、方程法、向量法、参数法等，解决这 类问题的关键是代换和转化.
跟踪训练3 如图，过抛物线y2＝x上一点A(4，2)作倾斜角互补的两条直线 AB、AC交抛物线于B、C两点，求证：直线BC的斜率是定值. 证明
跟踪训练1 设抛物线y2＝8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与 抛物线有公共点，则直线l斜率的取值范围是 答案 解析 A.[－12，12 ] B.[－2，2] C.[－1，1] D.[－4，4]
准线方程为x＝－2，Q(－2，0). 设l：y＝k(x＋2)，由yy＝ 2＝k8xx＋，2， 得k2x2＋4(k2－2)x＋4k2＝0. 当k＝0时，x＝0，即交点为(0，0)； 当k≠0时，由Δ≥0，得－1≤k<0或0<k≤1，综上，k的取值范围是[－1， 1].
由于抛物线的焦点为(1，0)，所以p2＝1，p＝2， 所以所求抛物线的方程为 y2＝4x.
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(2)求直线AB的方程； 解答
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则 y21＝4x1，
①
y22＝4x2，
②
且x1＋x2＝4，y1＋y2＝2. 由②－①得，(y1＋y2)(y2－y1)＝4(x2－x1)， 所以yx22－－yx11＝2. 所以所求直线AB的方程为y－1＝2(x－2)，即2x－y－3＝0.
→→ C1 相交于 A，B 两点，与 C2 相交于 C，D 两点，且AC与BD同向.
(1)求C2的方程； 解答
(2)若|AC|＝|BD|，求直线l的斜率. 解答
类型三 抛物线中的定点(定值)问题
例3 在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y2＝4x相交于不同的A、B
两点.
(1)如果直线
l
→→ 过抛物线的焦点，求OA·OB的值；
第二章 §2 抛物线
2.2 抛物线的简单性质(二)
学习目标
1.掌握抛物线的几何特性. 2.学会解决直线与抛物线相关的综合问题.
内容索引
问题导学 题型探究 当堂训练
问题导学
知识点 直线与抛物线的位置关系
思考1
直线与抛物线有哪几种位置关系？ 答案 三种：相离、相切、相交.
思考2
若直线与抛物线只有一个交点，直线与抛物线一定相切吗？ 答案
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(3)求弦AB的长. 解答
y2＝4x， 2x－y－3＝0，
得 y2－2y－6＝0，y1＋y2＝2，y1y2＝－6，
|AB|＝
1＋14 y1＋y22－4y1y2
＝ 25× 22－4×－6＝ 35.
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规律与方法
求抛物线的方程常用待定系数法和定义法：直线和抛物线的弦长问 题、中点弦问题及垂直、对称等可利用判别式、根与系数的关系解 决；抛物线的综合问题要深刻分析条件和结论，灵活选择解题策略， 对题目进行转化.
题型探究
类型一 直线与抛物线的位置关系
例1 已知直线l：y＝k(x＋1)与抛物线C：y2＝4x，问：k为何值时，直线l 与抛物线C有两个交点，一个交点，无交点？ 解答
反思与感悟
直线与抛物线交点的个数，等价于直线方程与抛物线方程联立得到的 方程组解的个数.注意直线斜率不存在和得到的方程二次项系数为0的 情况.
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2.若抛物线 y2＝2x 上有两点 A，B，且 AB 垂直于 x 轴，若|AB|＝2 2，
则抛物线的焦点到直线 AB 的距离为 答案 解析
√A.12
1 B.4
C.16
D.18
线段 AB 所在的直线的方程为 x＝1，抛物线的焦点坐标为12，0， 则焦点到直线 AB 的距离为 1－12＝12.
类型二 弦长与中点弦问题
例2 已知抛物线y2＝6x，过点P(4，1)引一条弦P1P2使它恰好被点P平 分，求这条弦所在的直线方程及|P1P解2|答.
中点弦问题解题策略两方法
反思与感悟
跟踪训练 2 已知抛物线 C1：x2＝4y 的焦点 F 也是椭圆 C2：ya22＋xb22＝ 1(a>b>0)的一个焦点，C1 与 C2 的公共弦的长为 2 6，过点 F 的直线 l 与
不一定，当平行或重合于抛物线的对称轴的直线与抛物线相交 时，也只有一个交点.
梳理
直线与抛物线的位置关系与公共点个数.
位置关系 相交 相切 相离
公共点个数 有两个或一个公共点 有且只有一个公共点
无公共点
直线y＝kx＋b与抛物线y2＝2px(p>0)的交点个数决定于关于x的方程k2x2＋ 2(kb－p)x＋b2＝0的解的个数.当k≠0时，若Δ>0，则直线与抛物线有 两 个 不同的公共点；当Δ＝0时，直线与抛物线有 一 个公共点；当Δ<0时，直 线与抛物线 没有公共点.当k＝0时，直线与抛物线的对称轴 平行或重合 ， 此时直线与抛物线有 一 个公共点.
∴由|BK|2＝|AK|2－|AB|2，得 y20＝(x0＋2)2，即8x0＝(x0＋2)2， 解得A(2，±4). ∴△AFK 的面积为12|KF|·|y0|＝12×4×4＝8.
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4.设O为坐标原点，F为抛物线y2＝4x的焦点，A为抛物线上任意一点，若 O→A·A→F＝－4，则点A的坐标为_(_1_，__±__2_)_. 答案 解析
由题意知 F(1，0)，设 A(y420，y0)，O→A＝(y420，y0)， A→F＝(1－y420，－y0)，由O→A·A→F＝－4，可得 y0＝±2， 所以 A(1，±2).
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5.已知A，B为抛物线E上不同的两点，若抛物线E的焦点为(1，0)，线段 AB恰被M(2，1)所平分. (1)求抛物线E的方程； 解答
当堂训练
1.过点P(0，1)与抛物线y2＝x有且只有一个交点的直线有 答案 解析
A.4条
B.3条
√
CHale Waihona Puke 2条D.1条当斜率不存在时，过P(0，1)的直线是y轴，与抛物线y2＝x只有一个公 共点. 当由斜yy2＝率＝k存xx，＋在1时，，得设k2x直2＋线(为2ky－＝1k)xx＋＋11＝. 0，当k＝0时，符合题意； 当k≠0时，令Δ＝(2k－1)2－4k2＝0，得 k＝14. ∴与抛物线只有一个交点的直线共有3条.
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3.已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线与x轴的交点为K，点A在C上且
|AK|＝ 2 |AF|，则△AFK的面积为 答案 解析
A.4
√B.8C.16D.32
∵抛物线C：y2＝8x的焦点为F(2，0)， 准线为x＝－2，∴K(－2，0).
设A(x0，y0)，过A点向准线作垂线AB，垂足为B， 则B(－2，y0)，∵|AK|＝ 2|AF|，又|AF|＝|AB|＝x0＋2，
→→ (2)如果OA·OB＝－4，证明直线 l 必过一定点，并求出该定点. 解答
设l：x＝ty＋b，代入抛物线y2＝4x，消去x，得y2－4ty－4b＝0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝4t，y1y2＝－4b.
→→ 因为OA·OB＝x1x2＋y1y2＝(ty1＋b)(ty2＋b)＋y1y2 ＝t2y1y2＋bt(y1＋y2)＋b2＋y1y2 ＝－4bt2＋4bt2＋b2－4b＝b2－4b， 又O→A·O→B＝－4，∴b2－4b＝－4，
本课结束
解答
由题意知，抛物线的焦点为(1，0)， 设l：x＝ty＋1，代入抛物线方程y2＝4x，消去x，得y2－4ty－4＝0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝4t，y1y2＝－4. 所以O→A·O→B＝x1x2＋y1y2 ＝(ty1＋1)(ty2＋1)＋y1y2 ＝t2y1y2＋t(y1＋y2)＋1＋y1y2＝－4t2＋4t2＋1－4＝－3.
反思与感悟
在直线和抛物线的综合题中，经常遇到求定值、过定点问题，解决这 类问题的方法很多，如斜率法、方程法、向量法、参数法等，解决这 类问题的关键是代换和转化.
跟踪训练3 如图，过抛物线y2＝x上一点A(4，2)作倾斜角互补的两条直线 AB、AC交抛物线于B、C两点，求证：直线BC的斜率是定值. 证明
跟踪训练1 设抛物线y2＝8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与 抛物线有公共点，则直线l斜率的取值范围是 答案 解析 A.[－12，12 ] B.[－2，2] C.[－1，1] D.[－4，4]
准线方程为x＝－2，Q(－2，0). 设l：y＝k(x＋2)，由yy＝ 2＝k8xx＋，2， 得k2x2＋4(k2－2)x＋4k2＝0. 当k＝0时，x＝0，即交点为(0，0)； 当k≠0时，由Δ≥0，得－1≤k<0或0<k≤1，综上，k的取值范围是[－1， 1].
由于抛物线的焦点为(1，0)，所以p2＝1，p＝2， 所以所求抛物线的方程为 y2＝4x.
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(2)求直线AB的方程； 解答
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则 y21＝4x1，
①
y22＝4x2，
②
且x1＋x2＝4，y1＋y2＝2. 由②－①得，(y1＋y2)(y2－y1)＝4(x2－x1)， 所以yx22－－yx11＝2. 所以所求直线AB的方程为y－1＝2(x－2)，即2x－y－3＝0.
→→ C1 相交于 A，B 两点，与 C2 相交于 C，D 两点，且AC与BD同向.
(1)求C2的方程； 解答
(2)若|AC|＝|BD|，求直线l的斜率. 解答
类型三 抛物线中的定点(定值)问题
例3 在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y2＝4x相交于不同的A、B
两点.
(1)如果直线
l
→→ 过抛物线的焦点，求OA·OB的值；
第二章 §2 抛物线
2.2 抛物线的简单性质(二)
学习目标
1.掌握抛物线的几何特性. 2.学会解决直线与抛物线相关的综合问题.
内容索引
问题导学 题型探究 当堂训练
问题导学
知识点 直线与抛物线的位置关系
思考1
直线与抛物线有哪几种位置关系？ 答案 三种：相离、相切、相交.
思考2
若直线与抛物线只有一个交点，直线与抛物线一定相切吗？ 答案
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(3)求弦AB的长. 解答
y2＝4x， 2x－y－3＝0，
得 y2－2y－6＝0，y1＋y2＝2，y1y2＝－6，
|AB|＝
1＋14 y1＋y22－4y1y2
＝ 25× 22－4×－6＝ 35.
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规律与方法
求抛物线的方程常用待定系数法和定义法：直线和抛物线的弦长问 题、中点弦问题及垂直、对称等可利用判别式、根与系数的关系解 决；抛物线的综合问题要深刻分析条件和结论，灵活选择解题策略， 对题目进行转化.
题型探究
类型一 直线与抛物线的位置关系
例1 已知直线l：y＝k(x＋1)与抛物线C：y2＝4x，问：k为何值时，直线l 与抛物线C有两个交点，一个交点，无交点？ 解答
反思与感悟
直线与抛物线交点的个数，等价于直线方程与抛物线方程联立得到的 方程组解的个数.注意直线斜率不存在和得到的方程二次项系数为0的 情况.
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2.若抛物线 y2＝2x 上有两点 A，B，且 AB 垂直于 x 轴，若|AB|＝2 2，
则抛物线的焦点到直线 AB 的距离为 答案 解析
√A.12
1 B.4
C.16
D.18
线段 AB 所在的直线的方程为 x＝1，抛物线的焦点坐标为12，0， 则焦点到直线 AB 的距离为 1－12＝12.
类型二 弦长与中点弦问题
例2 已知抛物线y2＝6x，过点P(4，1)引一条弦P1P2使它恰好被点P平 分，求这条弦所在的直线方程及|P1P解2|答.
中点弦问题解题策略两方法
反思与感悟
跟踪训练 2 已知抛物线 C1：x2＝4y 的焦点 F 也是椭圆 C2：ya22＋xb22＝ 1(a>b>0)的一个焦点，C1 与 C2 的公共弦的长为 2 6，过点 F 的直线 l 与
不一定，当平行或重合于抛物线的对称轴的直线与抛物线相交 时，也只有一个交点.
梳理
直线与抛物线的位置关系与公共点个数.
位置关系 相交 相切 相离
公共点个数 有两个或一个公共点 有且只有一个公共点
无公共点
直线y＝kx＋b与抛物线y2＝2px(p>0)的交点个数决定于关于x的方程k2x2＋ 2(kb－p)x＋b2＝0的解的个数.当k≠0时，若Δ>0，则直线与抛物线有 两 个 不同的公共点；当Δ＝0时，直线与抛物线有 一 个公共点；当Δ<0时，直 线与抛物线 没有公共点.当k＝0时，直线与抛物线的对称轴 平行或重合 ， 此时直线与抛物线有 一 个公共点.
∴由|BK|2＝|AK|2－|AB|2，得 y20＝(x0＋2)2，即8x0＝(x0＋2)2， 解得A(2，±4). ∴△AFK 的面积为12|KF|·|y0|＝12×4×4＝8.
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4.设O为坐标原点，F为抛物线y2＝4x的焦点，A为抛物线上任意一点，若 O→A·A→F＝－4，则点A的坐标为_(_1_，__±__2_)_. 答案 解析
由题意知 F(1，0)，设 A(y420，y0)，O→A＝(y420，y0)， A→F＝(1－y420，－y0)，由O→A·A→F＝－4，可得 y0＝±2， 所以 A(1，±2).
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5.已知A，B为抛物线E上不同的两点，若抛物线E的焦点为(1，0)，线段 AB恰被M(2，1)所平分. (1)求抛物线E的方程； 解答
当堂训练
1.过点P(0，1)与抛物线y2＝x有且只有一个交点的直线有 答案 解析
A.4条
B.3条
√
CHale Waihona Puke 2条D.1条当斜率不存在时，过P(0，1)的直线是y轴，与抛物线y2＝x只有一个公 共点. 当由斜yy2＝率＝k存xx，＋在1时，，得设k2x直2＋线(为2ky－＝1k)xx＋＋11＝. 0，当k＝0时，符合题意； 当k≠0时，令Δ＝(2k－1)2－4k2＝0，得 k＝14. ∴与抛物线只有一个交点的直线共有3条.
12345
3.已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线与x轴的交点为K，点A在C上且
|AK|＝ 2 |AF|，则△AFK的面积为 答案 解析
A.4
√B.8C.16D.32
∵抛物线C：y2＝8x的焦点为F(2，0)， 准线为x＝－2，∴K(－2，0).
设A(x0，y0)，过A点向准线作垂线AB，垂足为B， 则B(－2，y0)，∵|AK|＝ 2|AF|，又|AF|＝|AB|＝x0＋2，
→→ (2)如果OA·OB＝－4，证明直线 l 必过一定点，并求出该定点. 解答
设l：x＝ty＋b，代入抛物线y2＝4x，消去x，得y2－4ty－4b＝0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝4t，y1y2＝－4b.
→→ 因为OA·OB＝x1x2＋y1y2＝(ty1＋b)(ty2＋b)＋y1y2 ＝t2y1y2＋bt(y1＋y2)＋b2＋y1y2 ＝－4bt2＋4bt2＋b2－4b＝b2－4b， 又O→A·O→B＝－4，∴b2－4b＝－4，
本课结束
解答
由题意知，抛物线的焦点为(1，0)， 设l：x＝ty＋1，代入抛物线方程y2＝4x，消去x，得y2－4ty－4＝0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝4t，y1y2＝－4. 所以O→A·O→B＝x1x2＋y1y2 ＝(ty1＋1)(ty2＋1)＋y1y2 ＝t2y1y2＋t(y1＋y2)＋1＋y1y2＝－4t2＋4t2＋1－4＝－3.