山东省泰安市2021届高三3月统一质量检测(一模)数学试题(word版 含答案)

山东省泰安市2021届高三3月统一质量检测（一模）数学试
题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合{
}
2
2
{|60},|4A x x x B x x =--≤=> ，则A B =（ ）
A ．(2,3)
B ．[2,3]
C ．(]
2,3
D ．[2,3]{2}⋃-
2．已知i 是虚数单位，若复数5
43z i
=
+，则z 的共轭复数z =（ ） A ．
4355
i + B ．
4355i - C ．4355
i -
+ D ．4355
i -
- 3．已知命题p ：x R ∀∈，210ax ax ++>，命题q ：函数()1x
y a =-+是减函数，则命题p 成立是q 成立的（ ） A ．充分不必要条件 B ．充要条件
C ．必要不充分条件
D ．既不充分也不必要条件
4．2020年11月，中国国际进口博览会在上海举行，本次进博会设置了“云采访”区域，通过视频连线，帮助中外记者采访因疫情影响无法来沪参加进博会的跨国企业CEO 或海外负责人．某新闻机构安排4名记者和3名摄影师对本次进博会进行采访，其中2名记者和1名摄影师负责“云采访”区域的采访，另2名记者和2名摄影师分两组（每组记者和摄影师各1人），分别负责“汽车展区”和“技术装备展区”的现场采访．如果所有记者、摄影师都能承担三个采访区域的相应工作，则所有不同的安排方案有（ ） A ．36种
B ．48种
C ．72种
D ．144种
5．已知直线20x y ++=与圆22220x y x y a ++-+=有公共点,则实数a 的取值范围
为（ ） A ．(],0-∞
B ．[)0,+∞
C ．[)0,2
D ．(),2-∞
6．已知定义在R 上的偶函数()f x 在(),0-∞上单调递增，则（ ）
A ．3414412log 6log 5f f f -⎛⎫⎛⎫⎛
⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
B ．
3441412log log 65f f f -⎛⎫⎛⎫⎛
⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
C ．341441log 62log 5f f f -⎛⎫⎛⎫⎛
⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
D ．3
4144
1
(log 6)(log )(2)5f f f -<<
7．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为1，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ） A ．5π
B ．π
C ．
11
3
π D ．
73
π 8．设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若0n a >，11
2
a =，2n S <，则等比数列{}n a 的公比的取值范围是（ ） A ．30,4
⎛⎤ ⎥⎝
⎦
B ．20,3
⎛⎤ ⎥⎝
⎦
C ．30,4⎛⎫ ⎪⎝⎭
D ．20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭
二、多选题
9．设正实数a ，b 满足1a b +=，则（ ） A ．22log log 2a b +≥- B ．1174
ab ab +
≥ C
．
21
3a b
+≤+D ．122
a b ->
10．如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -，若AB BC =，E 、F 分别是1AB 、1BC 的中点，则下列结论中成立的是（ ）
A ．EF 与1B
B 垂直
B ．EF ⊥平面11BDD B
C ．EF 与1C
D 所成的角为45︒
D ．//EF 平面1111D C B A
11．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ＞时，()1
x x f x e
-=.则下列结论正确的是（ ）.
A ．当0x <时，()()1x
f x e
x =-+
B ．函数()f x 在R 上有且仅有三个零点
C ．若关于x 的方程()f x m =有解，则实数m 的取值范围是()()22f m f -≤≤
D ．12,x x ∀∈R ，()()212f x f x -<
12．已知函数()sin y x ωϕ=+与()cos 0,||2y x πωϕωϕ⎛
⎫=+>< ⎪⎝⎭在
x ⎡∈⎢⎣⎦
的图象恰有三个不同的交点P ，M ，N .若PMN 为直角三角形，则（ ）
A ．2ω=
B ．PMN 的面积S π=
C ．,44ππϕ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦
D ．两函数图象必在944x πϕ
ω
-=
处有交点
三、填空题
13．已知1
tan 2
α=-，则1sin 2α-=___________.
14．某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表：
根据上表可得回归方程ˆy bx a =+中的b 为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为______万元.
15．如图，在平面四边形ABCD 中，已知AD =3，4BC =，E ，F 为AB ，CD 的中点，P ，Q 为对角线AC ，BD 的中点，则PQ EF ⋅的值为________.
16．过抛物线()2
:20C y px p =>的焦点F 的直线l ，交抛物线C 的准线于点A ，与
抛物线C 的一个交点为B ，且(
AB k BF k =≥
.若l 与双曲线
()22
22
10,0x y a b a b -=>>的一条渐近线垂直，则该双曲线离心率的取值范围是___________.
四、解答题
17．在①4821a a =+，
②4是13 ,a a 的等比中项，③125 4S a a =这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答.
问题：已知各项均为正数的等差数列{}n a 的前n 项和为
n S ，361S a a =-，且 .
（1）求
n a ； （2）设数列1n S n ⎧
⎫
⎨
⎬+⎩⎭
的前n 项和为n T ，试比较n
T 与1n n a a +的大小，并说明理由. 18．已知函数()2
sin cos cos 6f x x x x π⎛
⎫
=+
+ ⎪⎝
⎭
. （1）求()f x 在0,
4⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
π上的最值； （2）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，12A f ⎛⎫
=
⎪⎝⎭
，a =ABC
sin sin B C +的值.
19．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，22AB AD ==，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 中点.
（1）若1PA =，求证：AE ⊥平面PCD ；
（2）当直线PC 与平面ACE 所成角最大时，求三棱锥E ABC -的体积.
20．某市为了了解本市初中生周末运动时间，随机调查了3000
名学生，统计了他们的
周末运动时间，制成如图所示的频率分布直方图.
（1）按照分层抽样，从[)40,50和[)80,90中随机抽取了9名学生.现从已抽取的9名学生中随机推荐3名学生参加体能测试.记推荐的3名学生来自[)40,50的人数为X ，求
X 的分布列和数学期望；
（2）由频率分布直方图可认为：周末运动时间t 服从正态分布(
)2
,N μσ
，其中，μ为
周末运动时间的平均数t ，σ近似为样本的标准差s ，并已求得14.6s ≈.可以用该样本的频率估计总体的概率，现从本市所有初中生中随机抽取12名学生，记周末运动时间在(]
43.9,87.7之外的人数为Y ，求()3P Y =(精确到0.001). 参考数据1：当()2,t
N μσ时，()0.6826P t μσμσ-<≤+=，
()220.9544P t μσμσ-<≤+=，()330.9974P t μσμσ-<≤+=.
参考数据2：90.81850.16490= 30.18150.0060=.
21．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>，短轴长为（1）求椭圆C 的方程；
（2）已知A ，B 是椭圆C 上的两个不同的动点，以线段AB 为直径的圆经过坐标原点O .是否存在以O 为圆心的定圆恒与直线AB 相切？若存在，求出定圆方程；若不存在，请说明理由.
22．已知函数()()()2
1ln 212
f x x x x a x a R =-
+-∈. （1）讨论函数()f x 的极值点的个数；
（2）已知函数()()x
e g x
f x x
'=-有两个不同的零点12 ,
x x ，且12 x x <.证明：
221421
21
a a x x a ---<
-.
参考答案
1．C 【分析】
求出集合A 、B ，再利用集合的交运算即可求解. 【详解】
[2,3],(,2)(2,),(2,3]A B A B =-=-∞-⋃+∞⋂=
故选：C 2．A 【分析】
利用复数的四则运算以及共轭复数的概念即可求解. 【详解】
()()()()5435435434343432555
i i z i i i i --=
===-++-， 所以z =43
55
i +. 故选：A 3．D
【分析】
由命题条件得到对应的集合，根据集合的关系即可知命题p 、q 的关系. 【详解】
命题p ：x R ∀∈，210ax ax ++>有2
40
a a a >⎧⎨
∆=-<⎩或0a =，即04a ≤<，
命题q ：函数()1x
y a =-+是减函数有11a +>，即0a >， ∴p ⇏q ，q ⇏p ，
∴命题p 成立是q 成立的既不充分也不必要条件. 故选：D 4．C 【分析】
根据题意，分3步进行分析：①在4名记者中任选2人，在3名摄影师中选出1人，安排到“云采访”区域采访，②在剩下的外2名记者中选出1人，在2名摄影师中选出1人，安排到
“汽车展区”采访，③将最后的1名记者和1名摄影师，安排到“技术装备展区”采访，由分步计数原理计算可得答案． 【详解】
解：根据题意，分3步进行分析：
①在4名记者中任选2人，在3名摄影师中选出1人，安排到“云采访”区域采访，有21
4318
C C =种情况，
②在剩下的外2名记者中选出1人，在2名摄影师中选出1人，安排到“汽车展区”采访，有
11224C C =种情况，
③将最后的1名记者和1名摄影师，安排到“技术装备展区”采访，有1种情况， 则有18472⨯=种不同的安排方案， 故选：.C 5．A 【分析】
依题意可知，直线与圆相交或相切，所以由圆心到直线的距离小于等于半径，即可求出． 【详解】
依题意可知，直线与圆相交或相切．
22220x y x y a ++-+=即为()()22
112x y a ++-=-．
≤0a ≤．
故选：A ． 【点睛】
本题主要考查直线与圆的位置关系的应用，属于基础题． 6．D 【分析】
比较3
4
14
4
1
|log 6|,2,|log |5
-的大小，再根据单调性，即可得答案； 【详解】
偶函数()f x 在(),0-∞上单调递增，
∴函数()f x 在(0)+∞上单调递减，
114444
11
(log 6)(|log 6|),(log )(|log |)55f f f f ==，
又144
44
1|log 6|log 6,|log |log 55==，∴144
1
|log 6||log |15>>，34
21-< ∴3
41441
(|log 6|)(|log |)(2)5f f f -<<，
∴3
4144
1
(log 6)(log )(2)5f f f -<<，
故选：D. 【点睛】
根据偶函数的性质(||)()f x f x =，结合函数的单调性是求解的关键. 7．D 【分析】
易知此三棱柱为正三棱柱，上下底面中心连线的中点为球心，求出底面三角形外接圆半径，利用勾股定理即可得解. 【详解】
由三棱柱所有棱的长1a =，可知底面为正三角形， 底面三角形的外接圆直径122sin 603r =
=
，所以r = 设外接球的半径为R ，则有2
2
2
117()2
3412
a
R r =+=+=， 所以该球的表面积2
7
43
S R ππ==， 故选：D. 8．A 【分析】
根据等比数列前n 项和公式，结合题意和指数幂的性质进行求解即可. 【详解】
设等比数列{}n a 的公比为q ，
因为0n a >，11
2
a =
，2n S <，所以01q <<， 1
(1)
144342200111n n n n q q q q q S q q q
---+--+=<⇒<⇒<---，因为
01q <<， 所以有34034n
q q q -+<⇒-+<，
因为01q <<，所以01n q <<，
因此要想34n q q -+<对于n *∈N 恒成立，只需3
3404
q q -+≤⇒≤，而01q <<， 所以304
q <≤. 故选：A 9．BD 【分析】
根据基本不等式，结合对数的运算性质、对钩函数的单调性、指数函数的单调性进行判断即可. 【详解】
因为正实数a ，b 满足1a b +=，所以21
0()24
a b ab +<≤=，当且仅当12a b ==时，取
等号.
A ：因为22221
log log log log 24
a b ab +=≤=-，所以本选项不正确； B ：设1
=,(0,]4ab x x ∈，函数1y x x
=+
在1(0,]4x ∈时，单调递减，因此当1
=4x 时，函数
有最小值，最小值为
1117
=
144
4
y =
+，因此有174y ≥，即1174
ab ab +≥，所以本选项正确； C ：因为正实数a ，b 满足1a b +=，
所以
21222333a b a b b a a b a b a b +++=+=++≥+=+当且仅当2b a a b =时，
取等号，即21a b =-=
时，取等号，所以本选项不正确；
D ：因为正实数a ，b 满足1a b +=，所以2111
2222
a b a ---=>=，因此本选项正确. 故选：BD 10．ABD
证明出11//EF A C ，111BB A C ⊥，可判断A 选项的正误；证明出11A C ⊥平面11BB D D ，结合11//EF A C 可判断B 选项的正误；计算出11AC D ∠的值，结合11//EF A C 以及异面直线所成角的定义可判断C 选项的正误；利用线面平行的判定定理可判断D 选项的正误. 【详解】
连接1A B 、11A C 、1A D ，则E 为1A B 的中点，
对于A 选项，
1BB ⊥平面1111D C B A ，11A C ⊂平面1111D C B A ，111BB AC ∴⊥，
E 、
F 分别为1A B 、1BC 的中点，则11//EF A C ，1EF BB ∴⊥，A 选项正确；
对于B 选项，四边形1111D C B A 为正方形，则11
11AC B D ⊥， 又
111AC BB ⊥，1111B D BB B ⋂=，11A C ∴⊥平面11BDD B ， 11//EF AC ，EF ∴⊥平面11BDD B ，B 选项正确；
对于C 选项，易知11AC D 为等边三角形，则1160A C D ∠=，
11//EF AC ，则EF 与1C D 所成的角为1160A C D ∠=，C 选项错误；
对于D 选项，
11//EF AC ，EF ⊄平面1111D C B A ，11
A C ⊂平面1111D C
B A ，//EF ∴平面1111D
C B A ，
D 选项正确.
故选：ABD. 【点睛】
本题考查线线垂直、线面垂直、线面平行以及异面直线所成角的判断，属于中等题. 11．BD
根据函数的性质结合图象，逐项判断，即可得到本题答案. 【详解】
令0x <，则0x ->，所以1()(1)()x x
x f x e x f x e
----==-+=-，得()(1)x
f x e x =+，所以选项A 错误；
观察在0x <时的图象，令()(1)(2)0x
x
x
f x e x e e x '=++=+=，得2x =-，
可知()f x 在(,2)-∞-上单调递减，在(2,0)-上递增，且在(,1)-∞-上，()0f x <，在(1,0)-上，()0f x >，由此可判断在(,0)-∞仅有一个零点，由函数的对称性可知()f x 在(0,)+∞上也有一个零点，又因为(0)0f =，故该函数有三个零点，所以选项B 正确； 由图可知，若关于x 的方程()f x m =有解，则11m -<<，所以选项C 错误；
由图可知，()f x 的值域为(1,1)-，所以对12,x x ∀∈R ，()()212f x f x -<恒成立，所以选项D 正确. 故选：BD
【点睛】
本题主要考查函数的性质和导数在研究函数中的应用，体现了数形结合的数学思想，综合性较强. 12．ACD 【分析】
根据正余弦函数的性质，结合PMN ，斜边为
周期为. 【详解】
由()()sin cos x x ωϕωϕ+=+，得,4
x k k Z π
ωϕπ+=+∈，
而()cos 44i 2s n k k k Z ππππ⎛
⎫+
=+=±∈ ⎪⎝
⎭⎛⎫
⎪⎝
⎭， 因为函数()sin y x ωϕ=+与()cos y x ωϕ=+的图象恰有三个不同的交点P ，M ，N ，且PMN 为直角三角形，
所以PMN ⎛-= ⎝⎭
所以斜边为
所以22
T πω==
,故A 正确；
1
22
PMN
S
=⨯=，故B 错误；
因为x ⎡∈⎢⎣
⎦，则5,
2x πωϕϕϕ⎡⎤
+∈+⎢⎥⎣⎦， 由正余弦函数的性质得344ππϕ-<≤，且9513424
πππ
ϕ≤+<， 因为||2ϕπ<
，则,44ππϕ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦
，故C 正确； 因为134x πωϕ+<，解得1344x πϕ
ω
-<，故D 正确； 故选：ACD 【点睛】
易错点睛：由 0,2x ⎡∈⎢⎣
⎦，得到5,
2x πωϕϕϕ⎡⎤
+∈+⎢⎥⎣⎦，容易忽视确定344ππϕ-<≤，且9513424πππ
ϕ≤+<. 13．95
【分析】
根据同角三角函数基本关系式，二倍角正弦公式即可化简求值得解. 【详解】
因为 1
tan 2
α=-
所以221sin 2=sin cos 2sin cos ααααα-+-
2222
sin cos 2sin cos sin cos αααα
αα
+-=+ 221
11
tan 12tan 941tan 1514
ααα+++-===++
故答案为：9
5
.
【点睛】
本题注意“1”的替换，即22sin cos 1αα+=和齐次化正切的技巧. 14．65.5 【分析】
利用表格可得x ，y ，求出回归直线方程，将6x =代入可得此模型预报广告费用为6万元时销售额． 【详解】
由表可计算4235742x +++=
=，49263954424
y +++==，因为点7
(,42)2在回归直
线ˆˆˆy
bx a =+上,且ˆ9.4b =，所以7429.4ˆ2
a =⨯+, 解得ˆ9.1a =,故回归方程为ˆ9.49.1y
x =+，令6x =得ˆy =65.5 故答案为：65.5 15．7
4
-
【分析】
可连接FP ，FQ ，EP ，EQ ，根据题意即可得出四边形EPFQ 为平行四边形，从而可得出11
(),()22
PQ AD BC EF AD BC =-=+，然后进行数量积的运算即可．
【详解】
如图，连接FP ，FQ ，EP ，EQ ，
E ，
F 为AB ，CD 的中点，P ，Q 为对角线AC ，BD 的中点，
∴四边形EPFQ 为平行四边形，
∴1()2PQ EQ EP AD BC =-=-，1()2
EF EP EQ AD BC =+=+，且3AD =，4BC =， ∴2
2
17()4
4
PQ EF AD BC =-=-．
故答案为：74
-
．
【点睛】
本题考查了三角形中位线的性质、向量加法的平行四边形法则、向量减法和数乘的几何意义，考查了向量数量积的运算及计算公式，考查了计算能力，属于基础题．
16．1e <≤【分析】
不妨设直线l 的斜率为正数，过B 作BC 与抛物线的准线垂直，垂足为C ，根据抛物线的定
义可知||||BF BC =，结合(
AB k BF k =≥可得直线l 的斜率的取值范围，利用两直线
垂直可求出结果. 【详解】
依题意可知直线l 的斜率存在且不为0， 不妨设直线l 的斜率为正数，如图：
过B 作BC 与抛物线的准线垂直，垂足为C ， 根据抛物线的定义可知||||BF BC =，
因为(
AB k BF k =≥
，所以||||||AB k BF k BC ==，
所以1||||
BC k AB =cos ABC =∠
，
因为
k ≥
1(0,2k ∈，所以cos (0,]2
ABC ∠∈，所以[,)42ABC ππ∠∈，
所以tan [1,)ABC ∠∈+∞，即直线l 的斜率的取值范围为[1,)+∞，
又l 与双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的一条渐近线b y x a =-垂直，所以1a b ≥，
所以双曲线的离心率c e a ===≤=，又1e >
， 所以1
e <≤
1e <
≤故答案为：1e <≤【点睛】
关键点点睛：本题考查求双曲线的离心率的取值范围，解题关键是找到关于,,a b c 的不等关系．本题中利用抛物线的定义，结合向量关系求出直线l 的斜率的取值范围，再利用两直线垂直可得所要求的不等关系.
17．（1）*
31,n a n n N =-∈（2）1
n
n n a T a +>，理由见解析 【分析】
（1）设等差数列{a n }的公差为d ，根据所选条件求出数列{a
n }的首项和公差，进一步求出{a n }
的通项公式； （2）求得1
n S n +，运用数列的裂项相消求和求得n T ，将n T 与1
n n a a +作差，通分化简可得大小． 【详解】
设等差数列{} n a 的公差为()0d d >，则
132
352
a d d ⨯+
=， 132a d ∴=.
方案一：选条件①
()1由18
43221a d a a =⎧⎨=+⎩，
解得12a =，3d =，
()*23131,n a n n n ∴=+-=-∈N .
()2()21323222
n n n n
S n n -=+
=+ ()()2
31322
n n n S n n n +∴+=
+= ()1212113131n S n n n n n ⎛⎫
∴
==- ⎪+++⎝⎭
21111113223
1n T n n ⎛⎫∴=-+-+
+
- ⎪+⎝⎭
21131n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭ 233
n
n =+ 又
131
32
n n a n a n +-=+ ()()
2131323322 333233n n n n a n n n T a n n n n +-+-∴-=-=++++
*n N ∈
232332320n n ∴+-≥+-=>
1
0n
n n a T a +∴
-> 1
n
n n a T a +∴
> 方案二：选条件②
由113
3216a d
a a =⎧⎨
=⎩ 解得1
2a =，3d = ()*23131,n a n n n N ∴=+-=-∈
()2同方案一()2
方案三：选条件③ 由1512
324a d
S a a =⎧⎨
=⎩
解得1
2a =，3d = ()23131,n a n n n N *∴=+-=-∈
()2同方案一()2
【点睛】
规律方法点睛：使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点． 18．（1）(
)min f x =(
)max
f x =；（2
【分析】
（1）利用二倍角公式和两角和的正弦公式化简()f x ，进而由x 的取值范围得出函数的最值；
（2）利用面积公式，余弦定理和正弦定理求解即可．
【详解】
（1）()2
1sin cos sin cos 22f x x x x x ⎛⎫=-+ ⎪
⎪⎝⎭
221
cos sin cos 22x x x x =
-+
1cos 21cos 22442x x
x -+=
-+
312cos 244
x x =
++
1234x π⎛⎫=
++ ⎪⎝
⎭ 0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
523
3
6
x π
π
π∴
≤+
≤
1sin 2123x π⎛
⎫∴≤+≤ ⎪⎝
⎭ ∴当0,4x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦时，
()14min f x =
，()1
4
max
f x =.
（2）11234A f A π⎛⎫⎛⎫=++=
⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭
sin 3A π⎛⎫∴+=
⎪⎝⎭
()0,A π∈
4,333
A π
ππ⎛⎫∴+
∈ ⎪⎝⎭
3
A π
∴=
1
sin 2ABC
S
bc A === 4bc ∴=
又a =222cos 2b c a A bc +-∴=22128b c +-=()2
208b c +-=1
2= ()2
24b c ∴+=
b c ∴+=又
4sin sin sin a b c
A B C
===
()1sin sin 4B C b c ∴+=
+=
19．（1）证明见解析；（2. 【分析】
（1）分别证明AE CD ⊥和AE PD ⊥，再由线面垂直的判定定理即证明；
（2）设()0AP a a =>，建立空间直角坐标系，找出平面ACE 的法向量，把直线PC 与平面ACE 所成角的正弦表示成a 的函数，再用均值不等式，即可算出a ，从而求得三棱锥
E ABC -的体积.
【详解】 （1）证明：
PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD
PA CD ∴⊥
四边形ABCD 为矩形
AD CD ∴⊥
又AD PA A ⋂=，,AD PA ⊂平面PAD
CD 平面PAD
AE ⊂平面PAD
CD AE ∴⊥
在PAD △中，1PA AD ==，E 为PD 中点
AE PD ∴⊥
又PD CD D ⋂=，,PD CD ⊂平面PCD
AE ∴⊥平面PCD
（2）以A 为原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
设()0AP a a =>，则()2,1,0C ，()0,0,P a ，10,,22
a E ⎛⎫
⎪⎝⎭
，
()2,1,0AC ∴=，10,,22a AE ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，()2,1,PC a =-，
设平面ACE 的一个法向量为(),,n x y z =，则
AC n AE n ⎧⋅=⎪⎨
⋅=⎪⎩ 20102
2x y a
y z +=⎧⎪∴⎨+=⎪⎩ 令y a =-，解得21a x z ⎧
=⎪
⎨⎪=⎩
,,12a n a ⎛⎫
∴=- ⎪⎝⎭
设直线PC 与平面ACE 所成角为θ，则
||
sin cos ,||||
n PC n PC n PC
θα⋅=<>=
=
2
7=
≤
当且仅当a =
∴三棱锥E ABC -的体积11213226
E ABC V -=⨯⨯⨯⨯=
【点睛】
方法点睛：对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.
20．（1）分布列见解析，2；（2）0.218. 【分析】
（1）根据频率分布直方图求出在[)40,50上抽取的人数为 6人，在[)80,90上抽取的人数为 3人，随机变量 X 的所有可能取值为0，1，2，3，利用组合数得出各随机变量的概率，进而得出分布列，即可求出数学期望.
（2）利用频率分布直方图求出平均数，得出μ，利用正态分布的性质得出
()~12,0.1815Y B ，再根据二项分布的概率计算公式即可求解.
【详解】
解：()1运动时间在[)40,50的人数为30000.0210600⨯⨯=人. 运动时间在[) 80,90的人数为30000.0110300⨯⨯=人. 按照分层抽样共抽取 9人，则在[)40,50上抽取的人数为 6人， 在[)80,90上抽取的人数为 3人.
∴随机变量 X 的所有可能取值为0，1，2，3.
()3633
901
084C C P X C === ()1263393
114C C P X C ===
()21633315
228C C P X C ===
()30363
95
321
C C P X C === 所以随机变量 X 的分布列为
()0123284142821
E X ∴=⨯
+⨯+⨯+⨯= ()2350.1450.2550.3650.15750.1585.158.5t
μ==⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=
14.6σ
= 43.958.514.6μσ-∴==-，87.758.514.622μσ=+⨯=+
()()0.68260.9544
43.987.720.81852
P t P t μσμσ+<≤=-<≤=
=∴+
P ∴（t μσ≤-或2t μσ>+）10.81850.1815=-=
()~12,0.1815Y B ∴
()5
391230.18150.8185P Y C ∴==⨯⨯
2200.00600.16490.218=⨯⨯≈
【点睛】
关键点点睛：本题考查了离散型随机变量的分布列、频率分布直方图以及正态分布，二项分布求概率，解题的关键是根据频率分布直方图求均值以及利用正态分布的性质求出p ，考查了计算能力.
21．（1）22162
x y +=；
（2）存在，2232x y +=.
【分析】
（1
）由题意可得b =
c e a ==求出26a =，即可求解.
（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，分情况讨论，当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y kx m =+，将直线方程与椭圆联立，利用韦达定理，求出12120OA OB x x y y ⋅=+=，从而可得(
)2
2
231m k
=+，再利用点到直线的距离公式即可求出半径，再求出直线AB 的
斜率不存在时圆的半径，从而得出圆的方程. 【详解】
解：()1
由题意知，b =
又3
c e a a ===
26a ∴=
∴ 椭圆C 的方程为22
162
x y +=
()2设()11,A x y ，()22,B x y
当直线AB 的斜率存在时， 设直线AB 的方程为y kx m =+，
由22
16
2y kx m
x y =+⎧⎪
⎨+=⎪⎩ 得(
)
2
22
316360k x kmx m +++-=
122631km x x k -∴+=+，2122
36
31
m x x k -=+ ()()1212y y kx m kx m =++
()221212k x x km x x m =+++
以线段AB 为直径的圆过坐标原点O
1212OA OB x x y y ∴⋅=+
()()2212121k x x km x x m =++++ ()222
2
22236613131
m k m k m k k -=+-+++
222
466031
m k k --==+ ()22231m k ∴=+，且()()222612246910h m k ∆=-+=+> ∴坐标原点O 到直线AB 的距离
d =
=
=
当直线AB 的斜率不存在时，由题知，11x y =
2211162
x x ∴+= 213
2
x ∴=
∴坐标原点O 到直线AB
的距离1||2
d x ==
综上所述，存在以O 为圆心的定圆恒与直线AB 相切，定圆的方程为2
2
32
x y +=. 【点睛】
关键点点睛：本题考查了直线与椭圆的位置关系，解题的关键是根据0OA OB ⋅=，得出
()22231m k =+，考查了运算求解能力、分析能力.
22．（1）当1
2a ≤时，()f x 无极值点；当12
a >时，()f x 有2个极值点；（2）证明见解析. 【分析】
（1）易知函数()f x 的定义域为()0,∞+，求导可得()2f x lnx x a '=-+，令
()2h x lnx x a =-+，则()111x
h x x x
-'=-=，由()h x 的单调性可得
()()121max h x h a ==-，再分1
2a ≤和12
a >讨论即可得解；
（2）由题意知()2x e g x lnx x a x =-+-，()()()()
221111x x
x e x e x g x x x x
-+-'=-+=， 由()g x 的单调性可得()()112min g x g e a ==+-，若要函数()g x 有两个不同零点
则有()10g <，即120e a +-<，再根据()222222222a a
e e g a ln a a a ln a a a
=-+-=-，
令()()x
e x lnx x e x
ϕ=-≥，
可得22x a <，令()()10n x lnx x x =-+>，可得1121x a >-，作差即可得解. 【详解】
（1）函数()f x 的定义域为()0,∞+，
()2f x lnx x a '=-+，
令()2h x lnx x a =-+， 则()111x
h x x x
-'=
-=
当()0,1x ∈时，()0h x '>，()h x 单调递增； 当()1,x ∈+∞时，()0h x '<，()h x 单调递减
()()121max h x h a ∴==-
当1
2
a ≤
时，()1210h a =-≤， ()0f x '∴≤
()f x ∴在()0,∞+上单调递减，
此时，()f x 无极值点； 当1
2
a >
时，()1210h a =-> 201a e -<<，()222220a
a
a h e a e
a e ---=--+=-<
()h x ∴在()0,1上有且只有一个零点. ()f x ∴在()0,1上有且只有一个极值点.
又521a e e >>，()()()55442527770a
a
a a h e
a e
a a e a a e a e =-+<-=-<-<
()h x ∴在()1,+∞上有且只有一个零点.
()f x ∴在()1,+∞上有且只有一个极值点.
综上所述，当1
2
a ≤时，()f x 无极值点； 当1
2
a >
时，()f x 有2个极值点； （2）()2x
e g x lnx x a x
=-+-，则
()()()()22
111
1x x x e x e x g x x x x -+-'=-+=
当()0,1x ∈时，()0g x '<，()g x 单调递减.
当()
1,x ∈+∞时，()0g x '>，()g x 单调递增. ()()112min g x g e a ∴==+-
函数()g x 有两个不同零点12,x x ，且12x x <
()10g ∴<，即120e a +-<
21a e ∴>+
又()222222222a a
e e g a ln a a a ln a a a =-+-=-
令()()x
e x lnx x e x ϕ=-≥，
则()()2
1x e x x
x x
ϕ--'= 令()()()1x
m x e
x x x e =--≥，
则()1
110x
e m x xe e
+'=-≥->
()m x ∴单调递增
()()()10e m x m e e e e ∴≥=-->
()0x ϕ'∴> ()x ϕ∴单调递增.
()()()12110e a e e e ϕϕϕ-∴>+>=-> ()20g a ∴>，
22x a ∴<
令()()10n x lnx x x =-+>， 则()111x n x x x
-'=
-= 当()0,1x ∈时，()0n x '>，()n x 单调递增， 当()1,x ∈+∞时，()0n x '<，()n x 单调递减
()()10max n x n ∴== ()0n x ∴≤即1lnx x ≤-
1
121
21
11121211212121
2121
a a e g ln a a a a a a a e --⎛⎫⎛⎫
=-+-≥+- ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭--∴ 令10,121P a e ⎛⎫
=
∈ ⎪-⎝⎭，则()10p e g p p p
>-> 11
21
x a ∴>
- 2211421
22121
a a x x a a a --∴-<-=
--. 【点睛】
本题考查了利用导数研究函数的性质，考查了分类讨论思想和证明推理能力，在高考中考查压轴题，要求较高的计算能力和逻辑思维能力，属于难题.本题的关键点有： （1）分类讨论思想的应用，分类讨论的关键是找到讨论点； （2）反复的构造函数，并用导数研究相关构造的函数.。